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1、选修 2-2第二章2.12.1.1第 1 课时 一、选择题 1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为() AB C?D 答案 A 解析 观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次， 每行、每列有两阴影一空白，即得结果 2在数列 an中， a10，an12an2，则猜想 an() A2 n21 2 B2n2 C2 n1 1 D2 n14 答案 B 解析 a102 12， a22a1 22222， a32a2242 62 32， a42a32122142 4 2， , 猜想 an2n2.故应选 B. 3数列 an ：2,5,11,20，x,47， , 中的x 等于
2、() A28 B32 C33 D27 答案 B 解析 因为 5231,115 632,2011933，猜测x2034,47x 35，推知 x32.故应选 B. 4用火柴棒摆“金鱼”，如图所示， 按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 答案 C 解析 从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴 棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8 根，故可归纳出第n 个“金鱼 ” 图需火柴棒的根数为6n2. 5图 (1)、图 (2)、图 (3)、图 (4)分别包含1、5、13 和 25 个互不重叠的单位正方形，按 同
3、样的方式构造图形，则第n 个图包含 _个互不重叠的单位正方形() An 2 2n1 B2n2 2n1 C2n 22 D2n2 n1 答案 B 解析 观察题中给出的四个图形，图 (1)共有 1 2 个正方形， 图(2)共有 1222个正方形； 图(3)共有 2 2 32 个正方形；图 (4)共有 3 2 42 个正方形；则第n 个图中共有 (n1) 2n2，即 2n 22n1 个正方形 6n 个连续自然数按规律排列下表： 01234567891011, 根据规律，从2010 到 2012 箭头的方向依次为() AB CD 答案 C 解析 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4 为公差的等差数列
4、，由234 可知 从 2010 到 2012 为 ，故应选C. 二、填空题 7观察下列等式： 1 21， 1 222 3， 1 222326， 1 2223242 10， , 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n? N *, 1 222 3242, ( 1) n1n2 _. 答案 (1) n1n 2n 2 解析 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的 所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于123,nn n1 2 n 2n 2 ，注意到右边 的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的 结果是 (1)n 1n 2n 2
5、. 8(2013 陕西文， 13)观察下列等式： (11)2 1； (21)(22)2 213； (31)(32)(33)2 3135； , 照此规律，第n 个等式可为 _ 答案 (n1)(n2),(nn)2 n13, (2n1) 解析 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n1 到 nn，等式右端是 2 n 与 等 差 数 列 2 n 1 前n 项 的 乘 积 ， 故 第n个 等 式 为 (n 1)(n 2),(n n) 2 n13, (2n1) 9观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈， 每个图案中圆圈的总数是S， 按此规律推出S与 n 的关系式为 _ 答案 S 4(
6、n1)(n2) 解析 每条边上有2 个圆圈时共有S 4个；每条边上有3 个圆圈时，共有S 8 个； 每条边上有4 个圆圈时，共有S12 个可见每条边上增加一个点，则S 增加 4， S与 n 的关系为S4(n 1)(n 2) 三、解答题 10证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论 2cos 4 2， 2cos 8 22， 2cos 16 222， , 证明 2cos 42 2 2 2 2cos 82 1cos 4 2 2 1 2 2 2 22 2cos 162 1cos 8 2 2 1 1 2 22 2 222 , 观察上述等式可以发现，第n 个等式右端有n 个根号， n 个 2，左端 “角
7、”的分母为 2 2,23,24，, ，故第 n 个等式的左端应为2cos 2 n1，由此可归纳出一般性的结论为： 2cos 2 n1222, n个根号 一、选择题 11已知数列 an的前 n 项和 Sn n 2a n(n 2)，而 a11，通过计算 a2、a3、a4，猜想 an 等于 () A 2 n1 2B 2 n n 1 C 2 2 n 1D 2 2n1 答案 B 解析 因为 Snn 2a n， a1 1， 所以 S24a2a1a2? a2 1 3 2 32， S39a3a1 a2 a3? a3 a1a2 8 1 6 2 43， S416a4a1a2a3a4 ? a4 a1a2a3 15
8、1 10 2 54. 所以猜想 an 2 n n1 ，故应选B. 12观察 (x 2) 2x，(x4) 4x3，(cosx) sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则g(x)() Af(x) B f(x) Cg(x) D g(x) 答案 D 解析 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成 了奇函数， g(x) g(x)，选 D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查 13把 1、3、6、10、 15、21、 , 这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以 排成一个正三角形(如下
9、图 )， 试求第七个三角形数是() A27 B28 C29 D30 答案 B 解析 观察归纳可知第n 个三角形数共有点数：1234 , n n n1 2 个， 第七个三角形数为 7 71 2 28. 二、填空题 14 下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线” 表示化学键，按图中结构第n 个图有 _个原子，有 _个化学键 答案 4n2,5n1 解析 第 1、2、3 个图形中分别有原子个数为6,64,642，故第 n 个图形有原子 64(n1)4n2 个 第 1、2、3 个图形中，化学键个数依次为6、65、652、, 第 n 个图形化学键个数为 65(n1)5n
10、1. 15(2014 三峡名校联盟联考)观察下列不等式： 1 1 2 23 2， 1 1 2 2 1 3 25 3， 1 1 2 2 1 3 2 1 4 27 4， , 照此规律，第五个 不等式为 _ 答案 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 211 6 解析 本题考查了归纳的思想方法 观察可以发现， 第 n(n2) 个不等式左端有n1 项，分子为 1， 分母依次为1 2、 22、 32、 , 、 (n1) 2；右端分母为 n1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1 1 2 2 1 3 2, 1 n1 2 2n1 n1 ， 所以第五个不等式为： 1 1 2 2 1 3
11、 2 1 4 2 1 5 2 1 6 211 6 . 16(2013 新疆兵团二师华山中学高二期中)在 ABC 中，不等式 1 A 1 B 1 C 9 成立， 在四边形 ABCD 中，不等式 1 A 1 B 1 C 1 D 16 2 成立， 在五边形ABCDE 中，不等式 1 A 1 B 1 C 1 D 1 E 25 3 成立，猜想在n 边形 A1A2,An中， 有不等式 _成立 答案 1 A1 1 A2, 1 An n 2 n2 (n 3) 解析 根据已知特殊的数值： 9 、 16 2 、 25 3 ， , ， 总结归纳出一般性的规律： n 2 n 2 (n3) 在 n 边形 A1A2, A
12、n中： 1 A1 1 A2, 1 An n 2 n 2 (n3) 三、解答题 17 (2013 西宁质检 )已知等式sin 210 cos240 sin10 cos40 3 4 ，sin 26 cos236 sin6 cos36 3 4.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结 论的正确性 解析 等式为 sin 2 cos2(30 )sin cos(30 )3 4.证明如下： sin 2 cos2(30 )sin cos(30 ) sin2 1cos 60 2a 2 sin (cos30 cos sin30 sin ) 1 2 sin 2 cos 60 2 2 3 4 sin2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2( 1 2cos2 3 2 sin2 ) 3 4 sin2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 4cos2 3 4 sin2 3 4 sin2 1 2sin 2 1 2 1 2sin 2 1 4(1 2sin 2 ) 3 4.