函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料.pdf

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1、3.2函数模型及其应用新人教 A 版必修 1 优秀教案 3.2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描 述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线 上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函 数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活， 数学在现实生活中是有用的. 三维目标 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差 异. 2.恰当运用函数的三种表示方法(

2、解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题. 3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣. 重点难点 教学重点 :认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数 爆炸与对数增长的不同. 教学难点 :应用函数模型解决简单问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时几类不同增长的函数模型 导入新课 思路 1.(事例导入 ) 一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n 次的厚度和n 块砖的厚度， 列出函数关系式，并计算 n=20 时它们的厚度.你的直觉与结果一 致吗？ 解： 纸对折 n 次的厚度 :

3、f(n)=0.012n(cm),n 块砖的厚度 :g(n)=10n(cm),f(20) 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解. 思路 2.(直接导入 ) 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增 长差异 . 推进新课 新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1 元的蔬菜x 千克，需要支付y 元，把 y 表示为 x 的函数 . 正方形的边长为x，面积为y,把 y 表示为 x 的函数 . 某保护区有1 单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x 年 后湿地的面积为y,把 y

4、表示为 x 的函数 . 分别用表格、图象表示上述函数. 指出它们属于哪种函数模型. 讨论它们的单调性. 比较它们的增长差异. 另外还有哪种函数模型. 活动： 先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回 答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 总价等于单价与数量的积. 面积等于边长的平方. 由特殊到一般，先求出经过1年、 2 年、 . 列表画出函数图象. 引导学生回忆学过的函数模型. 结合函数表格与图象讨论它们的单调性. 让学生自己比较并体会. 另外还有与对数函数有关的函数模型. 讨论结果： y=x. y=x 2. y=(1+5%) x, 如下表 x 1 2 3

5、4 5 6 y=x 1 2 3 4 5 6 y=x 2 1 4 9 16 25 36 y=(1+5%) x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34 它们的图象分别为图3-2-1-1，图 3-2-1-2，图 3-2-1-3. 图 3-2-1-1 图 3-2-1-2 图 3-2-1-3 它们分别属于：y=kx+b( 直线型 ),y=ax 2+bx+c(a 0, 抛物线型 )，y=ka x+b(指数型 ). 从表格和图象得出它们都为增函数. 在不同区间增长速度不同，随着 x 的增大 y=(1+5%) x 的增长速度越来越快，会远远大于另 外两个函数 . 另外还有与对数函数有关的函

6、数模型,形如 y=logax+b,我们把它叫做对数型函数 . 应用示例 思路 1 例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40 元； 方案二：第一天回报10 元，以后每天比前一天多回报10 元； 方案三：第一天回报0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 活动： 学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投 资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解： 设第 x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数y=40(x N * )进行描述；方案

7、二可以用 函数 y=10x(x N *)进行描述；方案三可以用函数 y=0.4 2 x-1(x N* )进行描述 .三个模型中， 第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况 进行分析 .我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况. x/天 方案一方案二方案三 y/元增加量 /元y/元增加量 /元y/元增加量 /元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40

8、 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 再作出三个函数的图象(3-2-1-4). 图 3-2-1-4 由表和图 (3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1 天所得回 报分别是方案三的100 倍和 25 倍， 但它们的增长量固定不变，而方案三是 “ 指数增长 ” ，

9、其“ 增 长量 ” 是成倍增加的，从第7 天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是 方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第13 天，方案一最多；在第4 天，方 案一和方案二一样多，方案三最少；在第58 天方案二最多;第 9 天开始，方案三比其他两 个方案所得回报多得多，到第30 天，所得回报已超过2 亿元 . 下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 6

10、60 三0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资16 天，应选择方案一；投资7 天，应选择方案一或方案二；投资810 天， 应选择方案二；投资11 天(含 11 天)以上，则应选择方案三. 针对上例可以思考下面问题： 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数. 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ 由此得出怎样结论. 答案 :选择哪种方案依据的是累积回报数. 让我们体会每天回报数增长变化. 上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化 存在很大差异 . 变式训练 某市移动通讯公司开设

11、了两种通讯业务：全球通使用者先缴50 元基础费，然后每通话1 分 钟付话费0.4 元；神州行不交月基础费，每通话1 分钟付话费0.6 元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和 y2元，那么 (1)写出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同； (4)若某人预计一个月内使用话费200 元，应选择哪种通讯业务较合算. 思路分析： 我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变 化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通

12、话 费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可 利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200 元时，哪个函数所对应 的自变量的值较大. 解： (1)y1=500.4x(x 0)，y2=0.6x(x 0). (2)图象如图 (3-2-1-5)所示 . 图 3-2-1-5 (3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250， 所以在一个月内通话250 分钟时， 两 种通讯业务的收费相同. (4)当通话费为200 元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于 y2所对应的自变量的值, 即选取全球通更合算. 另解： 当 y1=200 时

13、有 0.4x 50=200,x1=375； 当 y2=200 时有 0.6x=200,x2= 3 1000 .显然 375 3 1000 , 选用全球通更合算. 点评： 在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读 图的能力 .另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例 2 某公司为了实现1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销 售利润达到10 万元时， 按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位： 万元 )随着利润x(单位：万元 ) 的增加而增加， 但奖金总数不超过5万元， 同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模

14、型： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？ 活动： 学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司 要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5 万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只 需在区间 10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过 观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果. 解： 借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002 x 的图象 (

15、图 3-2-1-6). 图 3-2-1-6 观察函数的图象，在区间10,1 000上，模型y=0.25x,y=1.002 x 的图象都有一部分在直线 y=5 的上方，只有模型y=log7x+1 的图象始终在y=5 的下方，这说明只有按模型y=log7x+1 进行奖励时才符合公司的要求. 下面通过计算确认上述判断. 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5 万. 对于模型y=0.25x ，它在区间10,1 000上递增，而且当x=20 时， y=5,因此 ,当 x20 时， y5,所以该模型不符合要求； 对于模型y=1.002 x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间 (805，806)内有一个点x0

16、满足 1.002 x0=5,由于它在区间 10,1 000上递增，因此当xx0时， y5，所以该模型也不符合要 求； 对于模型y=log7x+1， 它在区间10,1 000 上递增，而且当 x=1 000 时，y=log71 000+1 4.550) ， 销售数量就减少kx%(其中 k 为正常数 ).目前，该商品定价为a 元， 统计其销售数量为b 个. (1)当 k= 2 1 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围 . 解： 依题意，价格上涨x%后，销售总金额为 y=a(1+x%) b(1-kx%)= 10000

17、 ab -kx 2+100(1-k)x+10 000 . (1)取 k= 2 1 ,y= 10000 ab ( 2 1 x 2+50x+10 000), 所以 x=50,即商品价格上涨50%，y 最大为 8 9 ab. (2)因为 y= 10000 ab -kx 2+100(1-k)x+10 000 , 此二次函数的开口向下，对称轴为x= k k)1(50 ，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加， 即要求此函数当自变量x 在x|x0 的一个子集内增大时，y 也增大 . 所以 k k)1 (50 0,解得 00. 当 00,g(x)-h(x)0,g(x)h(x)； 当 87x20000 时， y

18、2y1. 当 x=20000 时， y1=y2；当 x0 且 a 1). 由图知2=a1. a=2,即底数为2. 25=3230,说法正确 . 指数函数增加速度越来越快，说法不正确. t1=1,t2=log23,t3=log26,说法正确 . 指数函数增加速度越来越快，说法不正确. 课堂小结 活动： 学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结. 答案 :(1)建立函数模型 ;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题. 作业 课本 P107 习题 3.2A 组 1、2. 设计感想 本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产

19、生浓厚的学习兴趣. 课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充 的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材. 其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得 的素材 . 第 2 课时几类不同增长的函数模型 导入新课 思路 1 情景导入 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么 .发明者说： “ 请在 棋盘的第一个格子里放上1 颗麦粒， 第 2 个格子里放上2 颗麦粒， 第 3 个格子里放上4 颗麦 粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2

20、倍，直到第64 个格 子.请给我足够的麦粒以实现上述要求. ” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦 子的质量为40 g，据查， 目前世界年度小麦产量为6 亿吨，但不能满足发明者要求，这就是 指数增长 .本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异. 思路 2 直接导入 我们知道，对数函数y=log ax(a1),指数函数y=a x(a1)与幂函数 y=x n(n0)在区间 (0，+) 上都 是增函数 .但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的 增长差异 . 推进新课 新知探究 提出问题 在区间 (0，+) 上判断 y=log2x,y=2 x,y

21、=x2 的单调性 . 列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象. 结合函数的图象找出其交点坐标. 请在图象上分别标出使不等式log2x1)和幂函数 y=x n(n0) ，通过探索可以发现，在区间 (0，+) 上，无论n 比 a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于 x n，但由于 a x 的增长快于 x n 的增长，因此总存在一个x0，当 xx 0时，就会有 axx n. 同样地，对于对数函数y=log ax(a1)和幂函数y=x n(n0)，在区间 (0，+) 上，随着 x 的增大， logax增长得越来越慢， 图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样 .尽管在 x 的一定变化范围内，

22、 logax 可能会大于x n，但由于 logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当 xx 0时，就会 有 logax1),指数函数 y=a x(a1)与幂函数 y=x n(n0)在区间 (0，+) 上都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个“ 档次 ” 上.随着 x 的增大， y=a x(a1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n0)的增长速度，而 y=logax(a1)的增长速度 则会越来越慢 .因此， 总会存在一个x0，当 xx0时，就会有 logax0) 增长快于对数函数y=logax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又 称“

23、 指数爆炸 ”. 应用示例 思路 1 例 1 某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20 元，卖出价是每份0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份0.05 元的价格退回报社.在一个月 (以 30 天计 )里，有20 天每 天可卖出400 份，其余10 天每天只能卖出250 份，但每天从报社买进的份数必须相同，这 个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多 少元？ 活动： 学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： 设摊主每天从报社买进x 份，显然当x 250，400时，每月所获利润才能最大.而每月所 获利润 =卖报收入的总价付给报社的总

24、价.卖报收入的总价包含三部分：可卖出 400 份的 20 天里，收入为20 0.30x；可卖出250 份的 10 天里，收入为10 0.30 250； 10 天里多进 的报刊退回给报社的收入为10 0.05(x-250). 付给报社的总价为30 0.20x. 解： 设摊主每天从报社买进x 份，显然当x250，400时，每月所获利润才能最大.于是 每月所获利润y 为 y=20 0.30x+10 0.30 250+10 0.05 (x-250)-300.20x=0.5x+625 ， x 250，400. 因函数 y 在 250，400上为增函数，故当x=400 时， y 有最大值825 元. 例

25、2 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测： 服药后每毫升血液 中的含药量y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与 t 之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次 服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共 4次 )效果最佳？ 图 3-2-1-15 解： (1)依题意 ,得 y= .101 , 3 20 3 2 , 10,6 tt tt (2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则 3 2 t1+ 3 20 =4,t1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第

26、一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有 3 2 t2+ 3 20 3 2 (t2-4)+ 3 20 =4,解得 t2=9 小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t3小时 (t310)，则此时第一次服进的药已吸收完， 此时血液中含药 量应为第二、三次的和， 3 2 (t2-4)+ 3 20 3 2 (t2-9)+ 3 20 =4,解得 t3=13.5 小时，故第四次服药 应在 20:30. 变式训练 通过研究学生的学习行为，心理学家发现， 学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题 所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴

27、趣保持较理 想的状态； 随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生接受概念的能 力 f(x) 的值愈大，表示接受的能力愈强，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分 )，可有 以下的公式： f(x)= .3016.1073 ,1610.59 ,100 .436.21.0 2 xx x xxx (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后 5 分钟与开讲后20 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 解： (1)当 087.5 可知， h(t)在区间 0，300上可以取得最大值100，此时 t=50，即从二 月一日开始的第50 天时，上市的西红柿纯

28、收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识 解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容 在函数应用中如何利用图象求解析式. 分段函数解析式的求法. 函数应用中的最大值、最小值问题. 举例探究： (2007 山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的 企业， 第一批产品A 上市销售40 天内全部售完， 该公司对第一批产品A 上市后的国内外市 场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1) 、图3-2-1-18(2) 、图3-2-1-18(3) 所示 .其中图 3-2-1-18(1) 的折线表示的是国外市场的日销售量与上市

29、时间的关系；图3-2-1-18(2) 的抛物线 表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图 3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系. 图 3-2-1-18 (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间t 的关系式； (2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300 万元 ? 分析： 1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在 t 0,40上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法. 解： (1)f(t)= ,4030,

30、2406 ,300 ,2 tt tt g(t)= 20 3 t 2+6t(0 t 40). (2)每件 A 产品销售利润h(t)= .4020,60 ,200,3 t tt . 该公司的日销售利润F(t)= ,4030),240 20 3 (60 ,3020),8 20 3 (60 ,200),8 20 3 (3 2 2 2 tt ttt tttt , 当 0t 20时， F(t)=3t( 20 3 t 2+8t),先判断其单调性 . 设 0t 1t2 20, 则 F(t1)-F(t2)=3t1( 20 3 t1 2 +8t1)-3t2( 20 3 t2 2+8t 2)= 20 9 (t1+t

31、2)(t1-t2) 2 . F(t)在 0,20上为增函数.F(t)max=F(20)=6 0006 300 ，则 3 70 f(x), 故选择方案A； 当客户通话时间为x200 分钟时， g(x)1.2, 所以这个男生偏胖. 图 3-2-2-7 图 3-2-2-8 变式训练 九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变 暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加 .据测，1990 年、 1991 年、 1992 年大气中的CO2浓度分别比 1989 年增加了1 个可比单位、3 个可比单位、 6 个可比单 位.若用一个函数模拟九十年代中每

32、年CO2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系， 模拟函数可选用二次函数或函数y=a bx+c（其中 a、b、c 为常数），且又知 1994 年大气中的 CO2浓度比 1989 年增加了 16 个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？ 解： (1)若以 f(x)=px 2+qx+r 作模拟函数， 则依题意得 6,r3q9p 3,r2q4p 1,rqp 解得 ,0 , 2 1 , 2 1 r q p 所以 f(x)= 2 1 x 2+ 2 1 x. (2)若以 g(x)=a b x+c 作模拟函数，则 6,cab 3,cab 1,cab 3 2 解得 3 , 2 3 , 3 8

33、c b a 所以 g(x)= 3 8 ( 2 3 ) x -3. (3)利用 f(x) 、g(x)对 1994 年 CO2浓度作估算，则其数值分别为： f(5)=15 可比单位， g(5)=17.25 可比单位， |f(5) 16|0，二次函数f(a)图象开口方向向上, 当 a= n 1 (a1+a2+ +an)时， y 有最小值 , 所以 a= n 1 (a1+a2+ +an)即为所求 . 点评： 此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物 理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义， 要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系， 将文字语言转化为符号语言，即 y=

34、(a-a1)2+(a-a2)2+ +(a-an)2,然后运用函数的思想方法去解决 问题 .解题关键是将函数式化成以a 为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问 题中的应用 . 课堂小结 1.巩固函数模型的应用. 2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题. 作业 课本 P107 习题 3.2B 组 1、 2. 设计感想 本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3 是函数模型 的应用，例4 是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题 进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序， 难度适

35、中贴近高考. 习题详解 (课本第 98 页练习 ) 1.y2. 2.设第 1 轮病毒发作时有a1=10 台被感染 ,第 2 轮,第 3 轮, , 依次有 a2台,a3台, 被感染 ,依题 意有 a5=10 204=160. 答:在第 5 轮病毒发作时会有160 万台被感染 . (课本第 101 页练习 ) 三个函数图象如下: 图 3-2-2-9 由图象可以看到,函数 (1)以“ 爆炸 ” 式的速度增长;函数 (2)增长缓慢 ,并渐渐趋于稳定;函数 (3)以 稳定的速度增加. (课本第 104 页练习 ) 1.(1)已知人口模型为y=y0e rt, 其中 y0表示 t=0 时的人口数 ,r 表示

36、人口的年增长率. 若按 1650 年世界人口5 亿 ,年增长率为0.3%估计 ,有 y=5e 0.003t. 当 y=10 时 ,解得 t 231. 所以 ,1881 年世界人口数约为1650 年的 2 倍. 同理 ,可知 2003 年世界人口数约为1970 年的 2 倍. (2)由此看出 ,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 2.由题意有75t-4.9t 2=100, 解得 t= 9.42 5 .6075 , 即 t1 1.480,t 2 13.827. 所以 ,子弹保持在100 m 以上的时间t=t2-t1 12.35, 在此过程中 ,子弹最大速率 v1=v0-9.8t=75

37、-9.81.480=60.498 m/s. 答 :子 弹保持在100 米以上高度的时间是12.35 秒 ,在此过程中 ,子弹速率的范围是 v(0,60.498). (课本第 106 页练习 ) 1.(1)由题意可得y1=150+0.25x, y2= x 150 +0.25, y3=0.35x, y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出 y4=0.1x-150 的图象如下 . 图 3-2-2-10 由图象可知 ,当 x1500 件时 ,公司赢利 . 2.(1)列表 . (2)画散点图 . 图 3-2-2-11 3.确定函数模型. 甲:y1=-x 2+12x+41,

38、 乙:y2=-52.07 0.778 x+92.5. (4)做出函数图象进行比较. 图 3-2-2-12 图 3-2-2-13 图 3-2-2-14 计算 x=6 时,y1=77,y2=80.9. 可见 ,乙选择的模型较好. (课本第 107 页习题 3.2) A 组 1.(1)列表 . (2)描点 . 图 3-2-2-15 (3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据 (1,14.2)、(4,57.5),有 57.5,b4k 14.2,bk 解得 -0.2.b 14.4,k 所以 d=14.4f-0.2. 将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以

39、发现 ,这个函数模型与已知数据拟合程度较 好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系. 图 3-2-2-16 2.由 3 10 20 =(60) 2 a,得 a= 3536 1 .由 3 10 50 = 3536 1 x 2 ,得 x=3010. 因为 3010100,所以这辆车没有超速. 3.(1)x= .5.65.3),5.3(50150 ,5.35.2,150 ,5 .20,60 ttt t tt (2)v= .5 .65.3,50 , 5.35.2,0 ,5.20,60 t t t 图略 . 4.设水池总造价为y 元,水池长度为x m,则 y=(12x+ x 2400 )95+ 6 120

40、0 135, 画出函数y1=(12x+ x 2400 )95+ 6 1200 135 和函数 y2=7 的图象 . 图 3-2-2-17 由图可知 ,若 y1 7, 则 x 应介于 x1,x2之间 ,x1,x2即为方程 (12x+ x 2400 )95+ 6 1200 135=70 000 的两个根 . 解得 x1 6.4,x 2 31.3. 答:水池的长与宽应该控制在6.4,31.3之间 . 5.将 x=0,y=1.0110 5 和 x=2400,y=0.90 10 5 分别代入y=ce kx,得到 ,1090.0 ,1001.1 24005 5 k ce c 解得 c= ,10805.4

41、,1001.1 5 5 k c 所以 y=1.01 10 5 e 5 10805. 4 x. 当 x=5596m 时 ,y=0.772 105(Pa)0.775 10 5(Pa). 答:这位游客的决定是冒险的决定. 6.由 500 2500( 10 8 ) t1500,解得 2.3t 7.2. 答:应该在用药2.3 小时后及 7.2 小时以前补充药. B 组 1.(1)利用计算器画出19902000 年国内生产总值的图象如下. 图 3-2-2-18 (2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 取(1994,46670)(1998,76967.1) 两组

42、数据代入上式,得 b,1998k76967.1 b,1994k46670 解得 35.-15056434.b 7574.275,k 这样 ,我们就得到了函数模型y=7574.275x-15056434.35. 作出上述函数图象如下. 图 3-2-2-19 根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反 映国民生产总值的发展变化. (3)以 x=2 004 代入以上模型可得y=122 412.75 亿元 ,由此可预测2004年的国民生产总值约为 122 412.75 亿元 . 2.(1)点 A,B 的实际意义为当乘客量为0 时,亏损 1(单位 );当乘客量为1.5 单位时 ,收支持平 ;射 线 AB 上的点的实际意义为当乘客量小于1.5 时公司将亏损 ,当乘客量大于1.5 时公司将赢利. (2)图 2 的建议是 :降低成本而保持票价不变;图 3 的建议是 :提高票价而保持成本不变.