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1、河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题学案 新人教 A版选修 1-1 【学习目标】 1. 理解平均变化率的概念 ; 2. 了解平均变化率的几何意义; 3. 会求函 数在某点处附近的平均变化率. 【重点难点】 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习内容】 一、学习背景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象, 在数学中引入了函数, 随着对函数的研 究, 产生了微积分, 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求 物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度
2、、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小) 值等问题最一般、 最有效的工具 . 导数 研究的问题即 变化率问题 : 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课学习 ( 一) 问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程, 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球 的半径增加越来越慢. 从数学角度 , 如何描述这种现象呢? 分析： (1) 当V从0增加到1时, 气球半径增加了 气球的平均 膨胀率 为 (2) 当V从1增加到2时, 气球半径增加了 气球的平均膨胀率 为 可以看出： 思考 : 当空气容量从V1增加
3、到V2时, 气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h( 单位 :m) 与起跳后的时间t(单位 :s) 存在函数关系105. 69. 4)( 2 ttth. 如何用运动员在某些时间段内的平均速v度 粗略 地描述其运动状态? 思考计算 : 5 .00t和21t的平均速度v 探究 : 计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度, 并思考 以下问题 :(1) 运动员在这段时间内是静止的吗？ (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ ( 二) 平均变化率概念 1. 上述问题中的变化率可用式子 12 12 )()( xx xfxf
4、 表示 , 称为函数 )(xf从 1 x到 2 x的平均变化率. 2. 若设 12 xxx, )()( 12 xfxff( 这里x看作是对于 1 x的一个“增量”可用 xx1 代替 2 x, 同样)()( 12 xfxfyf) 则平均变化率为 x f x y x xfxxf xx xfxf)()()()( 11 12 12 思考 : 观察函数)(xf的图象 平均变化率 x f 12 12 )()( xx xfxf 表示什么 ? 三、典例分析 例 1 已知函数xxxf 2 )(的图象上的一点)2,1(A及 临近一点)2,1(yxB则 x y . 解: h t o 例 2 求 2 xy在 0 xx
5、附近的平均变化率. 解: 四、课堂练习 1. 质点运动规律为3 2 ts,则 在时间)3,3(t中相应的平均速度为 . 2. 物体按照43)( 2 ttts的规律作直线运动, 求在s4附近的平均变化率. 3. 过曲线 3 )(xxfy上两点) 1 , 1(P和)1 ,1(yxQ作曲线的割线, 求出当1.0x 时割线的斜率 . 五 【课堂小结与反思】 【课后作业与练习】 1 设函数xfy，当自变量x由 0 x改变到xx0 时，函数的改变量y为（） A xxf 0 B xxf 0 C xxf 0 D 00 xfxxf 2 一质点运 动的方程为 2 21ts，则在一段时间2, 1内的平均速度为（）
6、A 4 B 8 C 6 D 6 3 将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加S等于（） A RR8 B 2 48RRR C 2 44RRRD 2 4R 4 在曲线1 2 xy的图象上取一点 （1,2 ）及附近一点yx 2,1，则 x y 为 （） A 2 1 x xB 2 1 x x C 2x D x x 1 2 5 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位： m ）与起跳后时间t （单位： s） 的函数关系是105 .69.4 2 ttth，则下列说法不正确的是（） A在10t这段时间里，平均速度是sm/6.1 B 在 49 65 0t这段时间里，平均速度是sm/0 C运 动员在 49 65 ,0时间段内，上升的速度越来越慢 D运动员在2 , 1内的平均速度比在3, 2的平均速度小 6函数xfy的平均变化率的物理意义是指把xfy看成物体运动方程时，在区间 21,t t内的 7函数xfy的 平均变化率的几何意义是指函数xfy图象 上两点 111 ,xfxP、 222 ,xfxP连 线的 8函数 823 2 xxy在 3 1 x处有增量5 .0x，则xf在 1 x到xx1上的平均变 化率是 9正弦 函数xysin在 区间 6 ,0 和 2 , 3 的 平均变化率哪一个较大？