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1、圆中有关的辅助线 一、选择题 1. (2015 广东梅州) 如图，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心若B 20，则C的大小等于 ( ) A. 20 B. 25 C. 40 D. 50 ,( 第 1 题) ,( 第 2 题) 2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为 6 dm. 如果再注入一些油后，油 面AB上升 1 dm，油面宽为8 dm，那么圆柱形油槽的直径MN为( ) A. 6 dm B. 8 dm C. 10 dm D. 12 dm 3. 如图，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD 的长为1 3， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 1 6 B
2、. 3 16 C. 1 24 D. 1 12 1 4 3 ,( 第 3 题) ,( 第 4 题) 4. 如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是 (2 ，a)(a2) ，半径为 2，函数yx的图象 被P截得的弦AB的长为 23，则a的值是 ( ) A. 3 B. 22 C. 23 D. 23 5. (2015浙江温州) 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为 边向外作正方形ACDE和正方形BCFG.DE，FG，AC ，BC 的中点分别是M，N，P，Q. 若MPNQ14，AC BC 18，则AB的长为 ( ) A. 92 B. 90 7 C. 13 D. 16
3、,( 第 5 题) ,( 第 6 题) 6. 如图，在半径为5 的A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是BAC，EAD. 若DE6，BAC EAD180，则弦BC的弦心距等于( ) A. 41 2 B. 3 C. 4 D. 3 二、填空题 7. (2014 四川宜宾) 如图，已知AB为O的直径，AB2，AD和BE是O的两条切线，A，B 为切点过圆上一点C作O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连结AC，CB. 若ABC30， 则AM_ ,( 第 7 题) ,( 第 8 题) 8. 如图，直线AB与O相切于点A，弦CDAB，E，F为圆上的两点，且CDEADF. 若O 的半径为 5 2，CD 4
4、，则弦EF的长为 _ 9. 如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm 2 ，则正八边形的面积为 _cm 2. ,( 第 9 题) ,( 第 10 题) 10. 如图，在RtABC中，ACB90，A30，AB43. 若动点D在线段AC上(不与点 A，C重合 ) 运动，过点D作DEAC交AB边于点E. (1) 当点D运动到线段AC的中点时，DE_ (2) 若点A关于点D的对称点为F，以FC为半径作C，当DE_时，C与直线AB相 切 三、解答题 11. 如图，AC，BD为O的两条弦，且ACBD，O的半径为 1 2，求 AB 2 CD 2 的值 ( 第 11 题) 12.
5、(201 5浙江丽水 ) 如图， 在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D， E. 过点D作O的切线DF，交AC于点F. ( 第 12 题) (1) 求证：DFAC. (2) 若O的半径为4，CDF22.5，求阴影部分的面积 13. 如图，O是ABC的内切圆，O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，DEF45. 连结BO并延长，交AC于点G，AB4，AG2. 求： (1) A的度数 (2) O的半径 ( 第 13 题) 14. 如图，已知O的半径为 2，弦AB的长为 23，C与D分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任意一 点( 点C，D均不与点A，B重合 ) (1) 求
6、ACB的度数 (2) 求ABD的最大面积 ( 第 14 题) 15. (2014 江苏苏州) 如图，已知O上依次有A，B，C，D四点，AD BC ，连结AB，AD，BD， 弦AB不经过圆心O，延长AB到点E，使BEAB，连结EC，F是EC的中点，连结BF. (1) 若O的半径为3，DAB120，求BD 的长 (2) 求证：BF 1 2BD . (3) 设G是BD的中点，探索：在O上是否存在一点P( 不同于点B) ，使得PGPF？并说明PB 与AE的位置关系 ( 第 15 题) 参考答案 1D 2 C设AB上升 1 dm 后的油面为PQ，如解图，过点O作OCAB于点C，交PQ于点D，连结 OP，
7、OA可得AC 3，PD 4，CD 1设OMROCODCD，R 2 3 2 R 2421，解得 R 5( 负值舍去 )MN10 dm ( 第 2 题解 ) 3A点C，D三等分半圆，CD 的度数为60， 60R 180 1 3 ， R1连结OC，OD，CD，则 OCD为正三角形，且CDAB，SACDSOCDS阴影S扇形OCD 1 6 R 21 6 4B易知点P到 AB的距离为d2 2（ 3） 2 1过点 P作PQx轴于点Q，交直线yx于点C则CQOQ2， PC2d2，aPQ22 5C连结OP，OQ，分别交AC，BC于点K，JP是AC 的中 点，OPAC，OPBC，K是AC的中点，MKBC，M，P，
8、K，O四点共线同理可得N，Q，J， O四点共线，J是BC的中点OK 1 2BC ，OJ 1 2AC ，OKOJ 1 2( BCAC) 9，PKQJ(MKNJ) (MPNQ) 18144，ABOPOQOKPKOJQJ 9413 6D过点A作AHBC 于点H，作直径CF，连结BFBACEAD180，BACBAF180，DAEBAF又 ADAB，AEAF，ADEABF(SAS)，BFDE6AHBC，CHBH又CAAF， AH为CBF的中位线，AH 1 2BF 3 7 3 3 连结OM，OCOBOC，ABC30，BCO ABC30AOC为BOC的外角，AOC2ABC60MA，MC分别为O的切线， MA
9、MC， MAOMCO90 在 RtAOM和 RtCOM中， MAMC， OMOM， RtAOMRtCOM(HL) ， AOMCOM 1 2AOC 30在 RtAOM中，OA1 2AB 1， AOM30，AMOAtan 30 3 3 825 连结AO并延长交CD于点H，连结OC 直线AB与O相切于点A，OAAB 弦CDAB，AHCD，CH 1 2CD 1 242 OAOC 5 2， OHOC 2CH2 5 2 2 2 23 2， AHOAOH 5 2 3 24， ACAH 2 CH 2 4 2222 5CDEADF，CE AF ，CE CF AF CF ，即EF AC ，EFAC25 940 连
10、结HE，AD，设HE与BG相交于点M，AD与BG 相交于点N在正八边形ABCDEFGH中，易得HEBG，ADBG正八边形的每个内角为 （82）180 8 135，HGM45，MHMG设MHMGx，则HGAHABGF2x， BGGF(2x2x)2x 2(21)x 220，四边形 ABGH的面积 1 2 (AHBG) HM (21)x 2 10，正八边形的面积为102 2040(cm 2) 10(1)3 ACB90，A30，AB 43，BC 1 2AB 23，AC6ACB90，DEAC，DEBCD为AC的中点，E为 AB的中点，DE1 2BC 3 (2) 3 2 或 33 2 过点C作CHAB于点
11、H又A30，AC6， CH 3分为两种情况： 如解图 CFCH3，AF633点A和点F关于点D对称， ADDF 1 2AF 3 2 DEAC，A30，DEADtan 30 3 2 ,( 第 10 题解 ),( 第 10 题解 ) 如解图同理于，可得DE 33 2 11112(1) 提示：连结OD，证ODAC(2)4 813 (1) 90 (2) 4 3 14(1) 连结OA，OB，过点O作OEAB于点EOAOB，AE BE在 RtAOE中，OA2，AE 1 2AB 3，OEOA 2 AE 21， OAE30，AOE 60，AOB2AOE120ADB 1 2 AOB，ADB60四边形ACBD为圆
12、内接四边 形，ACBADB 180，ACB180ADB120(2) 过点D作DFAB，垂足为F， 则SABD 1 22 3DF显然，当DF经过圆心O时，DF取得最大值，从而SABD取得最大值，此时DF DOOF2 13，S ABD 1 2 2 3333， ABD的最大面积是3315 (1) 连结OB，OD DAB120，BOD2(180120) 120O的半径为3，BD 的长为 1203 180 2 (2) 连结ACABBE，B为AE的中点又F是EC的中点，BF为EAC的中位线， BF1 2AC AD BC ，AD AB BC AB ，即DB CA ，BDACBF 1 2BD (3) 过点B作AE的 垂线，与O的交点即为所求的点P，则有PBAE理由如下：连结PG，PFBF为EAC的中位 线，BFAC，FBECAEAD BC ，CABDBAFBEDBAPBAE， PBAPBE90PBGPBFG为BD的中点，BG 1 2BD 由 (2) 可知BF 1 2BD BG BF又PBGPBF，BPBP，PBGPBF(SAS) ，PGPF