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1、专题 8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例 1.( )fx是 3 1 ( )21 3 f xxx的导函数，则( 1)f的值是。 解析： 2 2 xxf，所以3211 f 答案： 3 考点二：导数的几何意义。 例2.已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是 1 2 2 yx， 则 (1)(1)ff。 解析：因为 2 1 k，所以 2 1 1 f，由切线过点(1(1)Mf，可得点 M 的纵坐标为 2 5 ，所以 2 5 1f，所以311ff 答案： 3 例 3.曲线 32 242yxxx在点(13)，处的切线方程是。 解析：443 2
2、 xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切 线方程为bxy5， 将点(13)，带入切线方程可得2b， 所以，过曲线上点(13)， 处的切线方程为：025yx 答案：025yx 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C：xxxy23 23 ，直线kxyl :，且直线 l 与曲线C 相切于点 00, y x0 0 x，求直线l的方程及切点坐标。 解 析 ：直 线 过 原 点 ， 则0 0 0 0 x x y k。 由 点 00, y x在 曲 线C上 ， 则 0 2 0 3 00 23xxxy，23 0 2 0 0 0 xx x
3、y 。又263 2 xxy，在 00, y x处曲线C的切线斜率为263 0 2 00 xxxfk， 26323 0 2 00 2 0 xxxx， 整理得：032 00 xx， 解得： 2 3 0 x或0 0 x （舍），此时， 8 3 0 y， 4 1 k。所以，直线l的方程为xy 4 1 ，切点坐标是 8 3 , 2 3 。 答案：直线l的方程为xy 4 1 ，切点坐标是 8 3 , 2 3 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不 是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例
4、 5.已知13 23 xxaxxf在 R 上是减函数，求a的取值范围。 解析：函数xf的导数为163 2 xaxxf。对于Rx都有0 xf时，xf 为减函数。由 Rxxax0163 2 可得 01236 0 a a ，解得3a。所以， 当3a时，函数xf对Rx为减函数。 （1）当3a时， 9 8 3 1 3133 3 23 xxxxxf。 由函数 3 xy在 R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。 （2）当3a时， 函数 xf 在 R上存在增区间。 所以， 当3a时，函数 xf 在 R上不是单调递减函数。 综合（ 1）（ 2）（ 3）可知3a。 答案：3a 点评：本题考查导数在函
5、数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。 例 6. 设函数 32 ( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值。 （1）求 a、b 的值； （2）若对于任意的0 3x，都有 2 ( )f xc成立，求c 的取值范围。 解析： （ 1） 2 ( )663fxxaxb，因为函数( )f x在1x及2x取得极值，则有 (1)0f，(2)0f即 6630 24 1230 ab ab ， ，解得3a，4b。 （2） 由 （）可知， 32 ( )29128f xxxxc， 2 ( )618126(1)(2)fxxxxx。 当(0 1)x，时，( )0fx；当
6、(12)x，时，( )0fx；当(23)x，时，( )0fx。所以， 当1x时，( )f x取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc。则当0 3x， 时，( )f x的最大值为(3)98fc。因为对于任意的0 3x，有 2 ( )f xc恒成立， 所以 2 98cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，。 答案：（ 1）3a，4b；（ 2）(1)(9)，。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤： 求导数xf ； 求0 xf的根；将0 xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。 考点六：函数的
7、最值。 例 7. 已知a为实数，axxxf4 2 。求导数xf ； （2）若01f，求xf 在区间2,2上的最大值和最小值。 解析： （1）axaxxxf44 23 ，423 2 axxxf。 （2）04231af， 2 1 a。14343 2 xxxxxf 令0 xf， 即0143xx， 解得1x或 3 4 x， 则xf和xf 在区间2,2 上随x的变化情况如下表： x2 1,2 1 3 4 , 1 3 4 2, 3 4 2 xf 0 0 xf 0 增函数极大值减函数极小值增函数0 2 9 1f， 27 50 3 4 f。所以，xf在区间2 ,2上的最大值为 27 50 3 4 f，最 小值
8、为 2 9 1f。 答案： （1）423 2 axxxf； （2） 最大值为 27 50 3 4 f， 最小值为 2 9 1f。 点评： 本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值， 要先求 出函数xf在区间ba,上的极值， 然后与af和bf进行比较， 从而得出函数的最大最 小值。 考点七：导数的综合性问题。 例 8. 设函数 3 ( )f xaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1)f处的切线与直线 670xy垂直，导函数( )fx的最小值为12。（ 1）求a，b，c的值； （2）求函数( )f x的单调递增区间，并求函数( )f x在 1,3上的最大值和最小值。 解析： （1）( )fx为奇函数，()( )fxfx，即 33 axbxcaxbxc 0c， 2 ( )3fxaxb的最小值为12，12b，又直线670xy 的斜率为 1 6 ，因此，(1)36fab，2a，12b，0c （2） 3 ( )212f xxx。 2 ( )6126(2)(2)fxxxx，列表如下： x (,2)2(2,2)2( 2,) ( )fx00 ( )fx 增函数极大减函数极小增函数