[创新设计,教师用书](人教A版,理科)2016年高考数学第一轮复习细致讲解练-第五篇数列.pdf

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1、WORD 格式整理版 学习好帮手 第五篇数列A 第 1 讲数列的概念与简单表示法 最新考纲 1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式 ) 2了解数列是自变量为正整数的一类函数. 知 识 梳 理 1数列的概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排 在第一位的数称为这个数列的第1 项，通常也叫做首项 (2)数列的通项公式 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公 式叫做这个数列的通项公式 (3)数列的前 n 项和 在数列 an 中，Sna1a2 an叫做数列的前 n 项和 2数列的表示方法

2、(1)表示方法 列表法列表格表达 n 与 f(n)的对应关系 图象法把点(n，f(n)画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法 递推 公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1，a2和 an1f(an，an1)等表达数列 的方法 WORD 格式整理版 学习好帮手 (2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以 看作是定义域为正整数集(或它的有限子集 1,2，n的函数 anf(n)当自变量 由小到大依次取值时所对应的一列函数值 * 3数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 单 调 性

3、 递增数列an1an 其中 nN * 递减数列an1an 常数列an1an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它 的前一项，有些项小于它的 前一项的数列 周期性? nN * ，存在正整数常数 k，ankan 4.an与 Sn的关系 若数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 an S1，n1， SnSn1，n2. 辨 析 感 悟 1对数列概念的认识 (1)数列 1,2,3,4,5,6与数列 6,5,4,3,2,1表示同一数列 () (2)1,1,1,1，不能构成一个数列() 2对数列的性质及表示法的理解 (3)(教材练习改编 )数列 1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an1 1 n1 2

4、.() (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列() WORD 格式整理版 学习好帮手 (5)(2013 开封模拟改编 )已知 Sn3 n1，则 a n2 3 n1.() 感悟 提升 1一个区别“数列”与“数集” 数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的， 而数集中的元 素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现， 而数集中的元素是互异的， 如(1)、 (2) 2三个防范一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列， 如(4) 二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为an 1，n为奇数， 0，n为偶数 . 三是已知 Sn求 an时，一定要验证 n1 的特殊情

5、形，如 (5). 学生用书第 79 页 考点一由数列的前几项求数列的通项 【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)1,7，13,19，； (2)2 3， 4 15， 6 35， 8 63， 10 99，； (3)1 2，2， 9 2，8， 25 2 ，； (4)5,55,555,5 555 ，. 解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝 对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an (1)n(6n5) (2) 这 是 一 个 分 数 数 列 ， 其 分 子 构 成 偶 数 数 列 ， 而 分 母 可 分

6、 解 为 13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列 的一个通项公式为an 2n 2n1 2n1 . WORD 格式整理版 学习好帮手 (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观 察即 1 2， 4 2， 9 2， 16 2 ， 25 2 ，从而可得数列的一个通项公式为ann 2 2 . (4)将原数列改写为 5 99， 5 999， 5 9999，易知数列 9,99,999，的通项为 10 n1， 故所求的数列的一个通项公式为an5 9(10 n1) 规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面 的特征：分式中

7、分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特 征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想 【训练 1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)1 2， 1 4， 5 8， 13 16， 29 32， 61 64，； (2)3 2，1， 7 10， 9 17，. 解(1)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 23 2 ，原数列可化为 2 13 2 1 ， 2 23 2 2 ，2 33 2 3 ，2 43 2 4 ， 因此可得数列的一个通项公式为an(1)n 2 n3 2

8、 n . (2)将数列统一为 3 2， 5 5， 7， 10 ， 9 17，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1， 可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列 n 2，可得分母的通项公式为 cnn 21，因此可得数列的 一个通项公式为 an2n1 n 21. 考点二由 an与 Sn的关系求通项 an 【例 2】 (2013 广东卷节选 )设数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 a11，2S n n an1 WORD 格式整理版 学习好帮手 1 3n 2n2 3，nN * . (1)求 a2的值； (2)求数列 an 的通项公

9、式 解(1)依题意， 2S1a21 31 2 3， 又 S1a11，所以 a24； (2)由题意 2Snnan11 3n 3n22 3n， 所以当 n2 时， 2Sn1(n1)an1 3(n1) 3(n1)22 3(n1) 两式相减得 2annan1(n1)an1 3(3n 23n1)(2n1)2 3， 整理得 (n1)annan1n(n1)， 即 an1 n1 an n 1，又 a2 2 a1 1 1， 故数列 an n 是首项为 a1 1 1，公差为 1 的等差数列， 所以 an n 1(n1)1n，所以 ann2. 规律方法给出 Sn与 an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用SnS

10、n1 an(n2)转化为 an的递推关系， 再求其通项公式； 二是转化为 Sn的递推关系， 先 求出 Sn与 n 之间的关系，再求an. 【训练 2】 设数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn 2Snn 2，nN*. (1)求 a1的值； (2)求数列 an 的通项公式 解(1)令 n1 时，T12S11， T1S1a1，a12a11，a11. (2)n2 时，Tn12Sn1(n1) 2， 则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2 2(SnSn1)2n12an2n1. WORD 格式整理版 学习好帮手 因为当 n1 时，a1S11 也满足上式， 所

11、以 Sn2an2n1(n1)， 当 n2 时，Sn12an12(n1)1， 两式相减得 an2an2an12， 所以 an2an12(n2)，所以 an22(an12)， 因为 a1230， 所以数列 an2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列 所以 an232n 1，a n32 n12， 当 n1 时也成立， 所以 an32n 12. 学生用书第 80 页 考点三由递推公式求数列的通项公式 【例 3】 在数列 an中， (1)若 a12，an1ann1，则通项 an_； (2)若 a11，an13an2，则通项 an_. 审题路线(1)变形为 an1ann1? 用累加法，即 ana1(a

12、2a1)(a3a2) (anan1)? 得出 an. (2)变形为 an113(an1)? 再变形为 an11 an1 1 3? 用累乘法或迭代法可求 an. 解析(1)由题意得，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2 (23n)2 n1 2n 2 n n1 2 1. 又 a12 1 11 2 1，符合上式， 因此 an n n1 2 1. (2)an13an2，即 an113(an1)，即 an11 an1 3， WORD 格式整理版 学习好帮手 法一 a21 a11 3， a31 a213， a41 a313， an11 an1 3.将这些等式两边分别相 乘得 an

13、11 a11 3n. 因为 a11，所以 an11 11 3 n，即 a n123 n1(n1)，所以 a n23 n1 1(n2)，又 a11 也满足上式，故 an23 n11. 法二由 an11 an1 3，即 an113(an1)， 当 n2 时，an13(an11)， an13(an11)3 2(a n21)3 3(a n31)3 n1(a 11)23 n1， an23 n11； 当 n1 时，a1123 111 也满足 an23 n11. 答案(1)n n1 2 1(2)23 n11 规律方法数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关 系可以依次写出这个数列的各项，

14、 由递推关系求数列的通项公式， 常用的方法有： 求出数列的前几项， 再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式 整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项 【训练 3】 设an是首项为1 的正项数列，且 (n1)a2 n1na 2 nan1 an0(n 1,2,3，)，则它的通项公式an_. 解析 (n1)a2n1an1 anna2n0， (an1an)(n1)an1nan0， 又 an1an0，(n1)an1nan0， WORD 格式整理版 学习好帮手 即 an1 an n n1， a2 a1 a3 a2 a4 a3 a5 a4 an an1 1 2 2 3 3

15、4 4 5 n1 n ，an1 n. 答案 1 n 1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用 (1) n 或(1) n1 来区分奇偶项的符号 )；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项， 若求通项可用归纳、猜想和转化的方法 2 由 Sn求 an时，an S1n1 ， SnSn1n2 ， 注意验证 a1是否包含在后面 an的公式 中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与 Sn的关系的数列题均可考虑上 述公式 3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般 有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)“an1panq”这种形式通常转化为

16、an1 p(an )，由待定系数法求出 ，再化为等比数列； (3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法 4用函数的思想解决数列问题 【典例】(2013新课标全国卷 )等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 S100， S1525，则 nSn的最小值为 _ 解析由题意及等差数列的性质， 知 a1a100，a1a1510 3 . WORD 格式整理版 学习好帮手 两式相减，得 a15a1010 3 5d，所以 d2 3，a13. 所以 nSnn na1 n n1 2 d n 310n2 3 . 令 f(x) x 310x2 3 ，x0， 则 f(x) 1 3x(3x20)，由

17、函数的单调性，可知函数 f(x)在 x 20 3 时取得最小值， 检验 n6 时，6S648，而 n7 时，7S749，故 nSn的最小值为 49. 答案49 反思感悟 (1)本题求出的 nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的 三次函数，因此可以采用导数法求解 (2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将 20 3 代入求最值，这是考生容易忽略 而产生错误的地方 【自主体验】 1设 an3n 215n18，则数列 a n 中的最大项的值是 () A. 16 3 B.13 3 C4 D0 解析 an3 n5 2 23 4，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时，an最大，最 大为

18、0. 答案D 2已知an是递增数列，且对于任意的nN *，a nn 2n 恒成立，则实数 的 取值范围是 _ 解析设 f(n)ann2n ，其图象的对称轴为直线n 2，要使数列 an 为递 增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足 2 3 2，即 WORD 格式整理版 学习好帮手 3. 答案(3， ) 对应学生用书 P285 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟) 一、选择题 1(2014 深圳中学模拟 )数列 0，2 3， 4 5， 6 7，的一个通项公式为 ( ) Aann1 n1(nN *) Ban n1 2n1(nN *) Can2 n1 2n1 (nN *)

19、Dan 2n 2n1(nN *) 解析将 0 写成 0 1，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表 示为 2(n1)，nN *；分母为奇数列，可表示为 2n1，nN *，故选 C. 答案C 2若 Sn为数列 an的前 n 项和，且 Sn n n1，则 1 a5( ) A. 5 6 B.6 5 C. 1 30 D30 解析当 n2 时，anSnSn1 n n1 n1 n 1 n n1 ，1 a55(51)30. 答案D 3 (2014 贵阳模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn， 且 Sn2n 21， 则 a 3() A10 B6 C10 D14 解析a3S3S223 21(

20、2221)10. 答案C 4已知 a11，ann(an1an)(nN * )，则数列 an 的通项公式是 () WORD 格式整理版 学习好帮手 A2n1 B. n1 n n1 Cn 2 Dn 解析法一(构造法 )由已知整理得 (n1)annan1， an1 n1 an n ，数列 an n 是常数列 且 an n a 1 1 1，ann. 法二(累乘法 )：n2 时， an an1 n n1， an1 an2 n1 n2. a3 a2 3 2， a2 a1 2 1， 两边分别相乘得 an a1n，又因为 a11，ann. 答案D 5已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1

21、，则 Sn() A2 n1 B. 3 2 n1 C. 2 3 n1 D. 1 2 n1 解析 Sn2an1，当n2 时，Sn12an， anSnSn12an12an(n2)， 即 an1 an 3 2(n2)， 又 a21 2，an 1 2 3 2 n2(n2) 当 n1 时，a111 2 3 2 11 3， an 1，n1， 1 2 3 2 n2，n2， WORD 格式整理版 学习好帮手 Sn2an121 2 3 2 n1 3 2 n1. 答案B 二、填空题 6 (2013 蚌埠模拟 )数列an 的通项公式 ann 210n11， 则该数列前 _ 项的和最大 解析易知 a1200，显然要想使

22、和最大，则应把所有的非负项求和即可，令 an0，则n 210n110，1n11，可见，当 n11时，a 110，故 a10 是最后一个正项， a110，故前 10或 11项和最大 答案10 或 11 7(2014 广州模拟 )设数列 an 满足 a13a23 2a 3 3 n1a nn 3，则数列 an 的通项公式为 _ 解析 a13a232a33n1ann 3，则当 n2 时，a 13a232a33n 2a n1 n1 3 ，两式左右两边分别相减得3 n1a n1 3，a n 1 3 n(n2)由题意知， a11 3，符合上式， an 1 3 n(nN*) 答案an 1 3 n 8(2013

23、 淄博二模 )在如图所示的数阵中，第9 行的第 2 个数为 _ 解析每行的第二个数构成一个数列an，由题意知a23，a36，a411，a5 18，所以 a3a23，a4a35，a5a47， anan12(n1)12n3，等式两边同时相加得 ana2 2n33 n2 2 n 22n， WORD 格式整理版 学习好帮手 所以 ann 22na 2n 22n3(n2)，所以 a 99 229366. 答案66 三、解答题 9数列 an的通项公式是 ann 27n6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是

24、正数？ 解(1)当 n4 时，a4424766. (2)令 an150，即 n 27n6150， 解得 n16 或 n9(舍去)，即 150 是这个数列的第 16 项 (3)令 ann 27n60，解得 n6 或 n7， 数列 an满足 anf(n)，n N *，且数列 a n 是递增数列，则实数a 的取值范围是 () A. 9 4，3 B. 9 4，3 C(1,3) D(2,3) 解析数列an是递增数列，又 anf(n)(nN * )， 3a0， a1， f 8 f 7 ? 2a1. 综上，所求的 a 的取值范围是 9， ). WORD 格式整理版 学习好帮手 学生用书第 81 页 第 2

25、讲等差数列及其前n 项和 最新考纲 1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问 题 4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 知 识 梳 理 1等差数列的定义 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 数学语言表达式： an1and(nN*)，d 为常数 2等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d. 若等差数列 an的第

26、 m 项为 am，则其第 n 项 an可以表示为 anam(nm)d. (2)等差数列的前 n 项和公式 Snn a 1an 2 na1n n1 2 d.(其中 nN *，a 1为首项， d 为公差， an为第 n 项) 3等差数列及前 n 项和的性质 (1)若 a，A，b成等差数列，则A 叫做 a，b 的等差中项，且 A ab 2 . (2)若 an为等差数列，当 mnpq，amanapaq(m，n，p，qN * ) (3)若 an是等差数列，公差为d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN *)是公差为 md 的等差数列 (4)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (5)S2

27、n1(2n1)an. (6)若 n 为偶数，则 S偶S奇nd 2 ； WORD 格式整理版 学习好帮手 若 n 为奇数，则 S奇S偶a中(中间项 ) 4等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列一次函数 解析式anknb(nN * )f(x)kxb(k0) 不同点 定义域为 N*，图象是一系列孤 立的点 (在直线上 )，k 为公差 定义域为 R，图象是一条直线， k 为斜率 相同点 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数k0 时，数列 anknb(nN*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x) kxb(k0)的图象上；k0 时， 数列为递增数列， 函数为增函

28、数； k0 时，数列为递减数列，函数为减函数 (2)等差数列前 n 项和公式可变形为Snd 2n 2 a 1d 2 n，当 d0 时，它是关于 n 的二次函数， 它的图象是抛物线y d 2x 2 a 1 d 2 x 上横坐标为正整数的均匀分布 的一群孤立的点 辨 析 感 悟 1对等差数列概念的理解 (1)若一个数列从第2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等 差数列 () (2)等差数列的公差是相邻两项的差() (3)(教材习题改编 )数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函 数() 2等差数列的通项公式与前n 项和 (4)数列 an 为等差数列的充要条件是对任

29、意nN * ，都有 2an1anan2.() (5)等差数列 an的单调性是由公差d 决定的 () (6)等差数列的前 n 项和公式是常数项为0 的二次函数 () 3等差数列性质的活用 (7)(2013 广东卷改编 )在等差数列 an中，已知 a3a810，则 3a5a720.() (8)(2013 辽宁卷改编 )已知关于 d0 的等差数列 an ，则数列 an，nan ， an n ， WORD 格式整理版 学习好帮手 an3nd 都是递增数列 () 感悟 提升 一点注意等差数列概念中的 “从第 2 项起 ”与“同一个常数 ”的重要性，如 (1)、(2) 等差数列与函数的区别一是当公差 d0

30、 时，等差数列的通项公式是n 的一次 函数，当公差 d0 时，an为常数，如 (3)；二是公差不为 0 的等差数列的前 n 项 和公式是 n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列 an 的单调性是由公差d 决定的，如 (8)中若 an3n12，则满足已知，但nan3n 212n 并非递增；若 ann1，则满足已知，但 an n 11 n是递减数列；设 ana1(n1)ddnm， 则 an3nd4dnm 是递增数列 . 学生用书第 82 页 考点一等差数列的基本量的求解 【例 1】 在等差数列 an中，a11，a33. (1)求数列 an 的通项公式； (2)若数列 an 的前 k 项和 Sk

31、35，求 k 的值 解(1)设等差数列 an的公差为 d，则 ana1(n1)d. 由 a11，a33，可得 12d3. 解得 d2.从而，an1(n1)(2)32n. (2)由(1)可知 an32n. 所以 Sn n1 32n 2 2nn2. 进而由 Sk35 可得 2kk235. 即 k22k350，解得 k7 或5. 又 kN*，故 k7 为所求 规律方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式， 共涉及五个量 a1，an，d，n， WORD 格式整理版 学习好帮手 Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 (2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，

32、而a1和 d 是等 差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 【训练 1】 (1)(2013 浙江五校联考 )已知等差数列 an满足 a2a44，a3a5 10，则它的前 10 项的和 S10() A85 B135 C95 D23 (2)(2013 新课标全国卷 )设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 Sm12， Sm0， Sm13，则 m() A3 B4 C5 D6 解析(1)设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d， 则 2a14d4， 2a16d10， 解得 a14， d3. S1010(4)109 2 395. (2)法一Sm12，Sm0，Sm13， amSmS

33、m12，am1Sm1Sm3， 公差 dam1am1，由 Snna1n n1 2 dna1n n1 2 ， 得 ma1m m1 2 0， m1 a1 m1 m2 2 2， 由得 a11m 2 ，代入可得 m5. 法二数列 an 为等差数列，且前 n 项和为 Sn， 数列 Sn n 也为等差数列 Sm1 m1 Sm1 m1 2Sm m ，即 2 m1 3 m10， 解得 m5.经检验为原方程的解故选C. WORD 格式整理版 学习好帮手 答案(1)C(2)C 考点二等差数列的判定与证明 【例 2】 (2014梅州调研改编 )若数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn1 0(n2)

34、，a1 1 2. (1)求证： 1 Sn 成等差数列； (2)求数列 an 的通项公式 审题路线(1)利用 anSnSn1(n2)转化为关于 Sn与 Sn1的式子 ? 同除 Sn Sn 1 ? 利用定义证明 ? 得出结论 (2)由(1)求 1 Sn? 再求 S n? 再代入条件 an2SnSn1， 求 an? 验证 n1 的情况 ? 得 出结论 (1)证明当 n2 时，由 an2SnSn10， 得 SnSn12SnSn1，所以 1 Sn 1 Sn12， 又 1 S1 1 a12，故 1 Sn 是首项为 2，公差为 2的等差数列 (2)解由(1)可得 1 Sn2n，S n 1 2n. 当 n2

35、时， anSnSn1 1 2n 1 2 n1 n1n 2n n1 1 2n n1 . 当 n1 时，a11 2不适合上式 故 an 1 2，n1， 1 2n n1 ，n2. 规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明 anan1d(n2，d 为常数 )；二是等差中项法， 证明 2an1anan2.若证明一 个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法 WORD 格式整理版 学习好帮手 【训练 2】 已知数列 an满足： a12，an13an3 n12n. 设 bna n2 n 3 n .证明：数列 bn 为等差数列，并求 an的通项公式 证明bn1bna n

36、12 n1 3 n1a n2 n 3 n 3a n3 n12n2n1 3 n1 3an3 2 n 3 n11， bn 为等差数列，又 b1a 12 3 0. bnn1，an(n1)3n2n. 学生用书第 83 页 考点三等差数列的性质及应用 【例 3】 (1)设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，S84a3，a72，则 a9() A6 B4 C 2 D2 (2)在等差数列 an 中，前 m 项的和为 30，前 2m项的和为 100，则前 3m 项的和 为_ 解析(1)S84a3? 8 a1a8 2 4a3? a3a6a3， a60， d2， a9a72d 246. (2)记数列 an 的前

37、n 项和为 Sn，由等差数列前 n 项和的性质知 Sm，S2mSm，S3m S2m成等差数列，则 2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，又 Sm30，S2m100，S2m Sm1003070，所以 S3mS2m2(S2mSm)Sm110，所以 S3m110100 210. 答案(1)A(2)210 规律方法巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；若奇数个数成等差数列且和 为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值 时，可设中间两项为a d，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设 元 【训练 3】 (1)在等差数列 an 中若共有 n 项，且前四项之和为21，后四项

38、之 和为 67，前 n项和 Sn286，则 n_. WORD 格式整理版 学习好帮手 (2)已知等差数列 an 中，S39，S636，则 a7a8a9_. 解析(1)依题意知 a1a2a3a421，anan1an2an367. 由等差数列的性质知a1ana2an1a3an2a4an3，4(a1an)88， a1an22. 又 Sn n a1an 2 ，即 286 n22 2 ，n26. (2) an为等差数列， S3，S6S3，S9S6成等差数列， 2(S6S3)S3(S9S6) a7a8a9S9S6 2(S6S3)S3 2(369)945. 答案(1)26(2)45 1等差数列的判断方法 (

39、1)定义法： an1and(d 是常数 )? an是等差数列 (2)等差中项法： 2an1anan2(nN * )? an 是等差数列 (3)通项公式： anpnq(p，q 为常数 )? an是等差数列 (4)前 n 项和公式： SnAn 2Bn(A、B 为常数 )? a n是等差数列 2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和 d 等 基本量，通过建立方程 (组)获得解 WORD 格式整理版 学习好帮手 方法优化 4整体代入法 (整体相消法 )在数列解题中的应用 【典例】(1)(2012 辽宁卷 )在等差数列 an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11

40、() A58 B88 C143 D176 (2)(2013 北京卷 )若等比数列 an满足： a2a420，a3a540，则公比q _；前 n 项和 Sn_. 一般解法 (1)设数列 an 的公差为 d，则 a4a816，即 a13da17d16， 即 a185d，所以 S1111a11110 2 d11(85d)55d8855d55d88. (2)由 a2a420，a3a540，得 a1qa1q 320， a1q 2a 1q 440， 即 a1q 1q 2 20， a1q 2 1q 2 40， 解得 q2，a12， Sn a11q n 1q 2 12 n 12 2 n12. 优美解法 (1)

41、由 a1a11a4a816，得 S11 11 a1a11 2 11 a4a8 2 1116 2 88. (2)由已知，得 a3a5 a2a4 q a2a4 a2a4 q2， 又 a12，所以 Sn a11q n 1q 2 n12. WORD 格式整理版 学习好帮手 反思感悟 整体代入法是一种重要的解题方法和技巧，简化了解题过程，节省 了时间，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征 【自主体验】 在等差数列 an中，已知 Snm，Smn(mn)，则 Smn_. 解析设an 的公差为 d，则由 Snm，Smn， 得 Snna1 n n1 2 dm， Smma1 m m1 2 dn. 得 (mn)a

42、1 mn mn1 2 dnm， mn，a1 mn1 2 d1. Smn(mn)a1 mn mn1 2 d (mn) a1 mn1 2 d (mn) 答案(mn) 对应学生用书 P287 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟) 一、选择题 1(2013 温州二模 )记 Sn为等差数列 an前 n 项和，若 S3 3 S2 2 1，则其公差 d WORD 格式整理版 学习好帮手 () A. 1 2 B2 C3 D4 解析由 S3 3 S 2 2 1，得 a1a2a3 3 a1a2 2 1， 即 a1d a1d 2 1，d2. 答案B 2(2014 潍坊期末考试 )在等差数列 an中，a5a6a7

43、15，那么 a3a4 a9等于() A21 B30 C35 D40 解析由题意得 3a615，a65.所以 a3a4a97a67535. 答案C 3(2013 揭阳二模 )在等差数列 an中，首项 a10，公差 d0，若 ama1a2 a9，则 m 的值为 () A37 B36 C20 D19 解析由 ama1a2a9，得(m1)d9a536d? m37. 答案A 4(2014 郑州模拟 ) an为等差数列， Sn为其前 n 项和，已知 a75，S721，则 S10() A40 B35 C30 D28 解析设公差为 d，则由已知得 S7 7 a1a7 2 ，即 21 7 a15 2 ，解得 a11，所 以 a7a16d，所以 d2 3.所以 S 1010a1 109 2 d10 109 2 2 340. 答案A 5(2