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1、新课程理念下对数学实验的认识、实践与思考 摘要： 数学教学是“数学活动”的教学。在教学过程中应经历“再发现” ， “再创造”的过程，而“数学实验”正是发 现和创造的一个重要途经。在数学教学中引入“数学实验”已成为新的课题，笔者经过几年的实践研究表明： 创设“数学实验”，不仅能深刻理解数学概念牢固掌握数学知识，而且能激发学生学习兴趣，培养他们探索精 神和创新能力。 关键词： 数学实验作用思考 新课程标准的一个突出特点：就是通过情景材料感悟知识的生成过程，数学实验就是其中的常用方法。 数学家欧拉曾说： “数学这门科学需要观察，也需要实验”。数学实验是数学学习的一种方法。在数学实验 中，可以通过实验
2、的手段、产生的现象、出现的结果，进行判断、推理、归纳、总结，能更好地感悟数学 知识产生的背景、发展的动机、解决的问题。本文就以几个实验为例来体会，感悟新课标的内涵。 一、通过数学实验，培养学生思维的严密性和逻辑性 思维的严密性和逻辑推理能力是一个高中学生必须具备的能力,也是平时提高学习效率,考试时答好试 题的重要一环。但是现在的高中学生在这一方面很缺乏。针对学生的这种情况，我在学生进入高中的第一 堂数学课就和他们一起做了以下实验。 把一个边长为8cm 的正方形剪成如图（1）所示的四块，记为1、2、3 和 4。然后把这四块重新组合 成一个如图 （2）所示的长方形。 然后请他们计算两个图形的面积。
3、同学们很快得到图 （1）的面积为64cm2， 图（ 2）的面积为65cm2，于是就出现面积增加了1cm2的结论。 在学生的惊奇中又做了第二个实验。再把另一个边长为13cm 的正方形照样也剪成如图（3）所示标号 为 1、2、 3 和 4 的四块。这四块也正好拼成一个边长为21cm 和 8cm 的长方形如图（4）所示。同样经过 计算面积可得现在面积减少了1cm2。 1 2 3 4 图（ 2） 1 2 3 4 图（ 1） 1 2 3 1 2 3 图（ 4） 4 4 图（ 3） 高中数学论文 为什么正方形通过重新组合面积会发生变化呢？这不可能呀？学生在不断地重复以上问题。这时向学 生指出其实面积既没有
4、增加也没有减少，我们不要被表面现象所迷惑。 上述拼图引起面积增加或减少的原因是这样的：在图（1）中 1、2、3 和 4 这四快图形没有填满整个 长方形。如图（5）所示，中间还留着一条狭缝。这条 狭缝的面积正好是1cm2，它与整个长方形的面积的比的比值 很小（ 1：65） ，拼图时不容易察觉到，因此我们才错误地认为 面积增加了1cm2。同样在在图（3）中 1、2、3 和 4 这四快图形 发生了重叠现象。如图（6）所示，重叠部分的面积正好是1cm2， 它与整个长方形的面积的比的比值更小小（1：168） ，拼图时更 不容易察觉到，因此我们才错误地认为面积增加了1cm2。 学生就要问：怎么知道图（5）
5、中间留有一条缝而图（6） 中间重叠呢？证明如下（上课时只证明第一个结论，第二个由学生自己完成） 证明：实际上只需证明A、B、 C 三点不在同一条直线上即可。 因为 8 3 tan， 5 2 tan， 所以。 通过本次实验，使学生明白要想得到正确无误的数学结论，不能依靠简单的观察和实验，还要依靠严 密的逻辑推理。开展数学实验教学活动，可以培养学生理论联系实际的作风和一丝不苟的态度，而这种品 质正是将来走上社会做好任何工作所必须的。 二、通过数学实验，探索概念的形成 通常数学概念教学是教师给出概念，学生加以记忆,但学生往往对其本质属性理解不够，一知半解，更 别提运用了。正如列夫 托尔斯泰所说： “
6、知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候， 才是真正的知识。 ”新理念就要求教师在概念教学中注重知识的生成，引导学生从已有的知识背景和活动 经验出发，提供大量操作、思考与交流的机会，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流与反思等过程， 进而在增加感性认识的基础上，帮助学生形成数学概念。 例如在圆锥曲线中学习椭圆、双曲线、抛物线等有关概念时，笔者就是通过以下实验而进行的，学生 反映良好。 1， 椭圆概念的教学 课本上的引入是这样的：取一条一定长的细绳，把它的两个端点固定在小黑板上的 1 F和 2 F两点，当绳 长大于 1 F和 2 F的距离时，用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢地移
7、动，画出一条曲线。（请两位同学帮 忙，将图形画在黑板的中间位置）（实物演示椭圆生成过程） 这样做很直观也很容易接受，但是学生可能会有这样的疑问： “这个定义记是比较好记，但是这个概念是怎样来的。” 为了打消学生的疑问，在教学中我先做了以下实验。 A C B 3 4 1 2 图（ 5） 3 4 1 2 图（ 6） 图（ 7）图（ 8） 实验内容：准备一张纸片（如图7）（ O 为圆心，F 表示圆内除 O 点以外的任意一点。）将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过 F点（图 8），将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。 观察看到了什么？直线围成了椭圆（图9）想一想为什么？ 设折痕为l，那么F 点
8、关于直线l 的对称点N 一定在圆弧上连接ON，交 l 与 P 点，连结PF，则 |OP|+|PF|=|OP|+|PN|= 半径长（定值），然后再做书本上的引入的实验，从而得出椭圆的定义。这样得出的 椭圆定义，我相信学生的记忆会更深刻。 2. 双曲线 实验内容：准备一张纸片( 图 10) （O 为圆心， F 为圆外一点）将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过F 点 如图 11，将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。观察看到了什么？想一想为什么？ 直线围成了双曲线如图（12） 设折痕为l，那么F 点关于直线l 的对称点N 一定在圆弧上延长ON，交 l 与 P 点，连结PF，则 |PF|-|OP
9、|=|PN|-|OP|= 半径长（定值），于是得到了双曲线的定义。 3. 抛物线。 1）活动：在一纸上画一条直线及线外一点（焦点），将点与直线上任意点对折，如图13 示方法，将纸 折 20 到 30 次，形成一系列折痕。 2）观察、猜想：众多折痕围出一条抛物线。 3）发现 : 抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离。 4）形成定义： （学生概括，教师补充）平面内与一个定点 F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 由于将这个实验折纸引入“圆锥曲线”一章的教学中，学生学得轻松并能深刻理解概念、牢固掌握知 识，同时培养了学习数学的兴
10、趣和科学探索的精神。学生动手（或动脑）做实验，不仅能加快对知识的理 解和记忆，而且更能激发学生的学习兴趣，培养科学探索精神，使数学教学迈进崭新的天地。 三、通过数学实验，创设数学情景 心理学研究表明：经过精心设计的好的问题情境，有利于启发推动学生的思维。问题解决之时，就是 新知识获取之时，更是思维得到训练，能力得到提高之时。通过数学实验可以创设有趣的情景为课堂教学 服务。 例如在讲用二分法求方程的近似解这一课内容时，因为本校学生大多来自农村，对二分法较难理 解。因此我在上课前先让他们做一个实验：猜一只篮球的价格（仿照中央电视台幸运52） ，谁猜中所用的 次数最小篮球就归谁。在学生猜的同时我在黑
11、板上记录每一次的猜价，实验结束后，引导同学们对竞猜的 价格进行总结归类：引导怎样猜次数最少？学生也很容易得出猜两次价格的中间这样总次数会更少。到此 二分法的具体应用已经完成，接下去学生学习二分法的概念和求法和步骤就显得很容易“上手”。 图（ 11）图（ 10） 图（ 12） 图（ 13） 图（ 9） R R 又例如在讲必修 （1）中 3.2.1 几类不同增长的函数模型课题时，为了让学生明白指数模型是“爆炸式” 增长的。在上课时做了以下实验。 准备一张白纸，让一位同学上来。把白纸对折一次，再对折一次，学生感觉很轻松。这时乘机问他能 否对折 10 次。学生当然回答能。这时就让学生动手实验，但是一般
12、来说只能折8 次左右，就失败了。 此时学生对指数的增加速度有了一个初步的认识。接着笔者在黑板上写下这样一句话“给我一张白纸， 我就可以登上月球” 。 （学生大笑） ，这时我说，如果一张白纸的厚度是0.1mm。我只要对折50 次，它的高 度就超过月球，不信试试。列式请他们计算：0.00000001*2 50 km 112589999km 。超过地球和月球之间 的距离。 通过这样的实验，使学生在惊奇中体会指数模型的“爆炸式”增长。此，通过数学实验创设情景能非 常有效的激发学生的学习兴趣，从而提高学习效率。 四、通过实验，发现数学定理、公式 传统数学课堂教学忽略教学原理的来龙去脉,压缩了学习知识的思
13、维过程,往往造成感知与概括之间的 思维断层 ,既无法保证教学质量,更不可能发展学生的学习策略。新理念提倡重视过程教学，在揭示知识生 成规律上，让学生自己动手实验，自己去发现数学原理，从而理解更深刻。 “球的体积公式”这一课时我的教学实验如下。 提出 V球=？（让学生进行猜想） 教师出示模型让学生观察、对比。 问： V圆柱、 V半球、V圆锥、这三者之间的大小关系如何？ 学生易看出：V圆柱V半球V圆锥即 R 3 V半球 3 1 R 3 即 3 3 R3 V半球 3 1 R3 有一些学生会大胆提出他们的猜测：V半球= 3 2 R 3 实验验证 和学生做一次实验：取一个半径为R 的半球面，再取一个半径
14、和高都是R 的圆锥容器，将圆锥容器 内用细砂装满，并倒入半球内，再用细砂装满，再倒入半球容器内，恰好半球容器被装满。 这一实验还表明：2V圆锥=V半球，即 V半球= 3 2 R 3，即为 R 的圆柱挖去一个等底等高的圆锥所剩下的部 分的体积，这也为球体积公式推导过程中的参照体构造了基础。直观易懂的实验能激发学生的学习兴趣， 培养学生的探索能力。 五、借助数学实验，降低学生学习中抽象性的难度，突破课堂中的教学难点 许多数学规则具有严谨性和抽象性，不容易理解和掌握。对于教学中的一些疑难点，如不借助于一定 的实验手段，就不能调动学生思维的积极性，也很难达到预定的教学目标。 比如在教学“抽签有先有后，
15、对各人公平吗？”这一阅读材料的教学。学生对书本上的结果“公平” 很不理解。这时我就让同学们每三个人一组进行抽签实验，重复20 次以上。把结果记入。并填在下面表 格上（其中某组的数据如下） 甲先抽的情况乙先抽的情况丙先抽的情况 R R R R C O A A B D C A B C D 实验次数38 38 38 甲抽中的次数10 13 12 乙抽中的次数15 14 12 丙抽中的次数13 11 14 最后累计全班同学的试验结果，基本得到相似的结论。这样就顺利的突破课堂中的教学难点，提高学 生学习兴趣，从而提高学习效率。 再比如在学习反函数这节课时，在上课时我和学生做了以下实验，我发给他们每人一张
16、卡片，每张卡 片上写有不同的数字（从1-50） 。让他们把自己分到的卡片上的数字乘以2 加 3，再乘以 5 减去 25，只要 他们把计算结果告诉我，我就能马上猜出是写有什么数字的卡片。通过这样的实验就引发了学生学习这堂 课的好奇心，老师是怎样算出来的。从而培养谈们强烈探索新知识的愿望。在学生强烈的求知欲望下，学 习反函数的难点就很容易突破。 又比如许多同学对“球面上任意两点，经过该两点的大圆劣弧和长最短”产生疑问。如果仅仅用初 等数学知识也很难使学生明白，若用微积分的知识去严格论证，那太费劲了。我就用一个“地球模型”做 实验（如图14） ，在球面上选取上海和悉尼两点， 然后把这两点用一根细绳连
17、接让学生去探索、分析，当绳子处于什 么样的位置时，两点间的距离最近。学生借助于实验，很快明白： 通过经线时距离最近。从而得出“大圆劣弧的长最短”，学生就觉 得很自然，从而达到了良好的教学效果。 六、借助数学实验，培养学生探索精神和求知欲望 普通高中数学课程标准指出：提供积极主动，勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只 限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习 方式。这些方式有助于发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过 数学实验正好可以满足新课程的这些要求。 比如在讲“二面角的平面角”这一课时，在学习了二
18、面角的定义后。我和学生做了以下实验：拿出我 拿出事先准备好的长方形硬纸板，沿中间线折成如下的图形（图15） ：让学生指出那只角是二面角的平面 角。学生一般都能指出是AOB。并得出直观的结论：边所围成的平面角就是。 这时我拿出剪刀把刚才硬纸板的二面角剪成如下的图形（图16）这时再问平面角是什么？ 有些同学也说是AOC。但是也有疑问的声音。因为随着我剪的方向不同得出的角显然不等，但是 如果二面角一定的话其平面角也一定相等。因此二面角绝不是边所围成的平面角。通过实验使学生明白二 面角的本质。 又比如针对直线与平面垂直的判定定理时，笔者在教学中做了以下实验： 准备一张三角形的纸片，过三角形的顶点A 翻
19、折纸片，得到这痕AD 如图（ 18）, A O B 图（ 15） A O B 图（ 16） 图（ 14） A B 图（ 18） 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触如（图19） ） 然后问学生，如何翻折才能使折痕AD 与所在的桌面垂直？ 通过学生实验学生一般来说很容易得出只要折痕垂直于DB 、DC 即可。 从而直线与平面垂直的判定定理在学生的不断实验中迎刃而解。 让实验走进数学课堂，充分发挥其作用。我们坚信： 每当我们从数学的本质特点和学生的认知特点出 发，运用自然器材、数学模型、CAI 等多种工具和载体，通过数学实验这种教与学的方式，去致力于影响 学生数学认知结构的意义建
20、构，去帮助学生本质地理解数学，培养数学精神和发现、创造的能力时，我们 就把握住了数学教育的时代性、科学性，我们就深入到了数学素质教育的核心。 我们的数学实验教学，尚在起步阶段， 无论从理论和实践上都还在探索过程之中。希望得到同行指导 和帮助。 参考文献： 1 任勇数学学习指导与教学艺术人民教育出版社2004 2 孙国良应开展对数学实验的课题研究中学数学教学参考2004.3 3 孔令军、赵红革浅谈数学实验教学数学通报2004.8 4 韦辉梁数学实验的学习环境和教学方法2005.1 5 袁永超借助数学实验，突破函数难点，感悟新课标2007.3 6 徐江培创设“数学实验” ，培养科学探索精神2006.5 7 谢圣英、沈文选再谈数学中的折纸2005.3