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1、 第二课时 直线和平面所成的角 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？ 定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直. 定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面. 2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形 ，我们需要从理论上作些分析. 知识探究（一）：平面的斜线 思考1:当直线与平面相交时，它们可能 垂直，也可能不垂直，如果一条直线和 一个平面相交但不垂直，这条直线叫做 这个平面的斜线，斜线和平面的交点
2、叫 做斜足.那么过一点作一个平面的斜线 有多少条？ l P 斜线 斜足 思考2:过斜线上斜足外一点向平面引 垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这 条斜线在这个平面上的射影.那么斜 线l在平面内的射影有几条？ l P AB 思考3:两条平行直线、相交直线、异 面直线在同一个平面内的射影可能是 哪些图形？ 思考4:如图，过平面外一点P引平 面的两条斜线段PA、PB，斜足为A 、B，再过点P引平面的垂线，垂 足为O，如果PAPB，那么OA与OB的 大小关系如何？反之成立吗？ O P A B 思考5:如图，过平面内一点P引平 面的两条斜线PA、PB，这两条斜 线段在平面内的射影分别为PC、 PD，如果PA
3、PB，那么PC与PD的大小 关系确定吗？ C P A B D 思考6:如图，直线l是平面的一条 斜线，它在平面内的射影为b，直 线a在平面内，如果ab，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？ a l b 知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？ l 思考2:如图，AB为平面的一条斜线 ，A为斜足，AC为平面内的任意一 条直线，能否用BAC反映斜线AB与 平面的相对倾斜度？为什么？ C A B 思考3:反映斜线与平面
4、相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？为什么？ P A B 思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中，怎样去求这个角？ P A B 思考5:特别地，当一条直线与平面垂 直时，规定它们所成的角为90；当 一条直线和平面平行或在平面内时， 规定它们所成的角为0.这样，任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映，那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么？ 思考6:如图，BAD为斜线AB与平面 所成的角，AC为平面内的一条直 线，那么BAD与BAC的大小关系如 何
5、？ D C A B BAC BAD 思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？ 思考8:过平面外一点P引平面的 斜线，斜足为A，若斜线PA与平面 所成的角为50，那么点A在平面 内的运动轨迹是什么图形？ P AO 理论迁移 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A B A1 C B1 C1 D O 例2 如图，AB为平面的一条斜线， B为斜足，AO平面，垂足为O，直 线BC在平面内，已知ABC=60， OBC=45，求斜线AB和平面所成 的角. A B C O D 作业: P67 练习：2. P74习题2.3A组：9.