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1、2.3.2抛物线的简 单几何性质（1 ） 高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 一、温故知新 (一) 圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比 为常数e的点的轨迹, 当e1时，是双曲线 .当00) (2)开口向左 y2 = -2px (p0) (3)开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下 x2 = -2py (p0) 范围1、 由抛物线y2 =2px（p0） 有 所以抛物线的范围为 二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质? x y 对称性2、 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p0)关
2、于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， x y 顶点3、 定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线 的顶点。 y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）. x y 离心率4、 抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线 的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1. x y x y OF A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特
3、征的草图. 2p 通径5、 2p越大，抛物线张口越大. 练习1:已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直 线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 . 16 通径的长度|AB|= 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 |PF|=x0+p/2 焦半径公式： 焦半径6、 x y OF P 焦点弦长度公式： 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 的长度 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yRx0 yR xR y0 y
4、0xR l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称 （0,0）（0,0）（0,0）（0,0） 二、讲授新课 特点: 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以 无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（， ）， 解: 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 所以： 因此所求抛物线标准方程为： 例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在
5、坐标 原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程. 三、典例精析 题型一：求抛物线的标准方程-待定系数法 当焦点在x(y)轴上，开口方向不定时， 设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0)，可避免 讨论 练习：P63 1、2、3 想一想 这是一道简单，但解法 丰富的典型的抛物线问题 ，你能给出它的几种解法 吗？ 题型二：弦长问题 具体步骤由同学们给出. 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 计算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维. 【变式训练】 A 练习
6、2: 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线, 则被抛物线截得的弦长为_ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且 |AB|=4 ,求直线AB的方程. y2 = 8x X=3 16 （1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。 （2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。 4 2 （3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是 。 四、课堂练习 5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动 点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
7、 4、求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点在直线x-2y-4=0上. (2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点， 则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. B C 五、归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口 越大. 1、范围： 2、对称性： 3、顶点： 4、离心率： 5、通径： 6、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反
8、射就 变成了平行光束. 作 业： 课本 P64：A组 3 探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。 平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。 例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。 x y O (40,30) 解: 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径. 在探照灯的轴截面 设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30),代入方程得: 302=2p40解之: p= 故所求抛物线的标准方程为: y2= x, 焦点为( ,0) 2 4 l 例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离 水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少 ？ x o A A y 若在水面上有一宽为2米,高 为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？ 思考题 2 B A（2,2） x2=2y B（1，y） y=0.5 B到水面的距离为1.5米 不能安全通过 y=3代入得