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1、 等差数列及其通项公式 一般地，如果一个数列 a1,a2,a3 ，an 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数d， a2 a1 = a3 - a2 = = an - an-1 = = d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数 列的公差。 知识回顾 an+1-an=d(nN *) 通 项 公 式 的 推 导1（归纳猜想） 设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, 所以有： a an n =a=a 1 1 +(n-1)d+(n-1)d 当当n=1n=1时，上式也成立。时，上式也成立。 所以等差数列的通项公式是： an=a
2、1+(n-1)d（nN*） 问an=? 通过观察：a2， a3，a4都可 以用a1与d 表示出来；a1与d的 系数有什么特点？ a1 、an、n、d知三 求一 a2=a1+ d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, an=a1+(n-1)d a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d 叠加得 等差数列的通项公式推导2（叠加 ） 例 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年 举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北京
3、奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？ 解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896 为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nN*) (2) 假设an=2008, 由 2008=1892+4n, 得 n=29. 假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解 答：所求通项公式为 an= 1892+4n(nN*) ， 2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会 例.在等差数列an中,已知a3=10, a9=28,求a12 。 推广：等差数列an中，am,an(nm) 等差数列的通项公式一般形式:
4、 an = am + (nm)d. 解：由题意得 a1+2d=10 a1+8d=28 所以 a12=4+(12-1) 3=37 注:a12=a1+11d=a a 1 1 +2d+2d+(12-3)d=a a 3 3 +(12-3)d =a a 1 1 +8d+8d+(12-9)d=a a 9 9 +(12-9)d 解得： a1=4 d=3 练一练：已知a5=11, a8=5, 求等差数列an的通项公 式. 练 习 1、填空题： (1)已知等差数列3，7，11，则a11= (2)已知等差数列11，6，1，则an = (3)已知等差数列10，8，6， ，中，-10是第（ ）项 43 -5n+16
5、11 练 习 2.已知等差数列an的通项公式为an=2n 1. 求首项a1和公差d. 变式引申: 如果一个数列an的通项公式an=kn+d, 其中k,b都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗? 语言描述这种现象 想一想！ 在等差数列中， 为为公差，若 且 求证证： 证明： 设首项为，则则 例2. 等差数列的性质 若p=q呢? 练习 .在等差数列an中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 分
6、析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15 例题分析 1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 B 2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)提示1: 提示：d=an+1an=4 -35 3. 在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( pq )，求ap+q d=2,a101=154 d= -1,
7、 a p+q =0 课堂练习 (4 ) 例3 练 习 已知 ，求 的值。 解: 小结 掌握等差数列的通项公式，并能运用公式 解决一些简单的问题 an=a1+(n1)d 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力 am+an=ap+aq 上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 【说明】 3.更一般的情形，an= ，d= 1. an为等差数列 2. a、b、c成等差数列 an+1- an=dan+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） am+(n - m) d b为a、c 的等差中项 2b= a+c 4.在等差数列an中，由 m+n=p+q 注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； 等差数列的性质 5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 = 作 业 书上39页，第 3题（2），第 4题 谢 谢！