【优质文档】2011年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析.pdf

《【优质文档】2011年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】2011年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、2011年重庆市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分） 1 （ 5 分） （2011?重庆）在等差数列an中， a2=2，a3=4，则 a10=（） A12 B14 C16 D18 【考点】 等差数列的通项公式 【专题】 计算题 【分析】根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式， 用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果 【解答】 解：等差数列an中， a2=2， a3=4， d=a3a2=42=2， a10=a3+7d=4+14=18 故选 D 【点评】 本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项

2、公式，这是一个等差数列基本 量的运算，是一个数列中最常出现的基础题 2 （ 5 分） （2011?重庆）设U=R，M=a|a 22a0，则 C UM=（） A0，2B （0，2）C （ ，0）（ 2，+）D （ ，02，+） 【考点】 补集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 根据已知中M=a|a 22a0，我们易求出 M，再根据集合补集运算即可得到答案 【解答】 解： M=a|a 22a 0=a|a 0，或 a2， CUM=a|0 a 2， 即 CUM=0 ，2 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是集合的补集及其运算，在求连续数集的补集时，若子集不包括 端点，则补集一定要包括端点 3 （

3、5 分） （2011?重庆）曲线y= x 3+3x2 在点（ 1，2）处的切线方程为（） Ay=3x1 By=3x+5 Cy=3x+5 Dy=2x 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】 计算题 【分析】 根据导数的几何意义求出函数f（x）在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，再 用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可 【解答】 解： y=x3+3x 2y= 3x2+6x， y|x=1=（ 3x 2+6x）| x=1=3， 曲线 y=x 3+3x2 在点（ 1，2）处的切线方程为y2=3（x1） ， 即 y=3x1， 故选 A 【点评】 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方

4、程，属于基础题 4 （ 5 分） （2011?重庆）从一堆苹果中任取10 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在114.5，124.5）内的频率为（） A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 【考点】 频率分布表 【专题】 计算题 【分析】 从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有 4个，利用这个频数除 以样本容量，得到要求的频率 【解答】 解：在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 十个数字中， 样本数据落在 114.5，124.5）内的有116， 1

5、20，120，122 共有四个， 样本数据落在114.5，124.5）内的频率为=0.4， 故选 C 【点评】 本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问 题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中 5 （ 5分） （2011?重庆）已知向量=（ 1，k） ，=（2，2） ，且+与共线，那么? 的值 为（） A1 B2 C3 D4 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题 【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k； 利用向量的数量积公式求出值 【解答】 解：=（3，k+2） 共线 k+2

6、=3k 解得 k=1 =（1，1） =1 2+1 2=4 故选 D 【点评】 本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式 6 （5 分） （2011?重庆） 设 a=，b=，c=log3 ，则 a，b，c 的大小关系是 （） Aab c Bcba Cbac Db ca 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题 【分析】 可先由对数的运算法则，将a和 c 化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大 小；再比较 b 和 c 的大小， 用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案 即可 【解答】 解：由对数的运算法则，a=log32c；排除 A 和 C 因为

7、 b=log231，c=log341= ， 因为 3223，即 3，即有 log23log2 =， 则（ log23） 22，所以 log 23，所以 bc，排除 D 故选 B 【点评】 本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能 力 7 （ 5 分） （2011?重庆）若函数f（ x）=x+（x2） ，在 x=a 处取最小值，则a=（） A1+B1+C3 D 4 【考点】 基本不等式 【专题】 计算题 【分析】 把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x 的取值 【解答】 解： f（x）=x+=x2+2 4 当 x2=1 时，即 x=3 时等号

8、成立 x=a 处取最小值， a=3 故选 C 【点评】 本题主要考查了基本不等式的应用考查了分析问题和解决问题的能力 8 （5 分） （2011?重庆）若ABC 的内角 A，B，C 满足 6sinA=4sinB=3sinC ， 则 cosB=（） A BCD 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由题意利用正弦定理，推出a， b，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosB 的值 【解答】 解：ABC 的内角 A，B，C 满足 6sinA=4sinB=3sinC ，所以 6a=4b=3c，不妨令 a=2， b=3，c=4， 所以由余弦定理：b 2=a2+

9、c22accosB，所以 cosB= ， 故选 D 【点评】 本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型 9 （ 5 分） （2011?重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B 两点，左焦点为在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（） A （0，）B （1，）C （，1）D （，+） 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 压轴题 【分析】 求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B 的坐标；利用圆内的点到圆心 距离小于半径，列出参数a，b， c 满足的不等式，求出离心率的范围 【解答】 解：渐近线y= x 准线 x=， 求得 A（） B（） ，

10、 左焦点为在以AB 为直径的圆内， 得出， ， ba， c 22a2 ， 故选 B 【点评】 本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双 曲线离心率本身要大于1 10 （5 分） （2011?重庆）高为的四棱锥SABCD 的底面是边长为1 的正方形， 点 S，A， B，C，D 均在半径为1 的同一球面上， 则底面 ABCD 的中心与顶点S之间的距离为 （） A BCD 【考点】 球内接多面体；点、线、面间的距离计算 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱 锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利

11、用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶 点 S 之间的距离 【解答】 解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点 S，A，B， C，D 均在半径为1 的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个 顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离为： = 故选 A 【点评】 本题是基础题， 考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直 底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力 二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分 25 分） 11 （5 分） （2011?重庆）（1+2x） 6 的展开式

12、中x4的系数是240 【考点】 二项式系数的性质 【专题】 计算题 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令 x 的指数为4，求出展开式中x4 的系数 【解答】 解：展开式的通项为Tr+1=2 rC 6 rxr 令 r=4 得展开式中x4的系数是24C64=240 故答案为： 240 【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 12 （5 分） （2011?重庆）若cos =，且 （ ，） ，则 tan = 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 三角函数的求值 【分析】 根据 （ ，） ， cos =，求出 sin ，然后求出tan ，即可 【解答

13、】 解：因为 （ ，） ，cos =，所以 sin =，所以 tan = 故答案为： 【点评】 本题是基础题， 考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的 符号，是本题解答的关键 13 （5 分） （2011?重庆）过原点的直线与圆x 2+y22x4y+4=0 相交所得的弦长为 2，则该 直线的方程为2xy=0 【考点】 直线与圆相交的性质 【专题】 计算题 【分析】 用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx ， 求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可 【解答】 解：直线方程为y=kx ， 圆 x2+y 2 2x4y

14、+4=0 即（ x1）2+（y2）2=1 即圆心坐标为（1，2） ，半径为r=1 因为弦长为2，为直径，故y=kx 过圆心，所以k=2 所以该直线的方程为：y=2x 故答案为： 2xy=0 【点评】 本题考查直线和圆的相交弦长问题，属基础知识的考查注意弦长和半径的关系 14 （5 分） （2011?重庆）从甲、乙等10 位同学中任选3 位去参加某项活动，则所选3位中 有甲但没有乙的概率为 【考点】 排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 根据题意， 分析可得从10 人中任取3 人参加活动的取法数，进而可得 “ 有甲但没有 乙” 的取法相当于“ 从除甲乙之

15、外的8 人中任取2 人” ，可得其情况数目，由等可能事件的概 率公式，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，从10 人中任取3 人参加活动，有C10 3=120 种取法； 分析可得有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的8 人中任取 2 人即可， 则所选 3 位中有甲但没有乙的情况有C82=28 种； 则其概率为=； 故答案为： 【点评】 本题考查排列、组合的运用；涉及等可能事件的概率计算，解题时注意排列、组合 是解决问题的基本思路与突破口 15 （5 分） （2011?重庆）若实数a， b，c 满足 2 a+2b=2a+b，2a +2 b+2c=2a+b+c，则 c 的最大值 是2log23 【考

16、点】 基本不等式在最值问题中的应用 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 由基本不等式得2a+2b ，可求出2 a+b 的范围， 再由 2a+2b+2 c=2a+b+c=2a+b 2 c=2a+b+2c，2c 可用 2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可 【解答】 解：由基本不等式得2a+2 b ，即 2 a+b ，所 以 2a+b 4， 令 t=2a+b，由 2a+2b+2c=2 a+b+c 可得 2 a+b +2 c=2a+b2c，所以 2c= 因为 t 4，所以，即，所以 故答案为： 2log23 【点评】 本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强 三、解

17、答题（共6 小题，满分75 分） 16 （13 分） （2011?重庆）设 an 是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4 （）求 an 的通项公式； （）设 bn 是首项为 1，公差为2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn 【考点】 等比数列的通项公式；数列的求和 【专题】 计算题 【分析】（）由 an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用 a1=2，a3=a2+4 可求得 q，即可求得 an的通项公式 （）由 bn 是首项为 1，公差为2 的等差数列可求得 bn=1+（n 1） 2=2n1，然后利 用等比数列与等差数列的前n 项和公式即可求得数列an+bn的前 n

18、项和 Sn 【解答】 解： （）设 an是公比为正数的等比数列 设其公比为q，q0 a3=a2+4，a1=2 2 q2=2 q+4 解得 q=2 或 q=1 q0 q=2 an的通项公式为 an=2 2 n1=2n （） bn 是首项为 1，公差为2 的等差数列 bn=1+（n1） 2=2n1 数列 an+bn的前 n 项和 Sn= +=2 n+12+n2=2n+1+n22 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用在用等比数 列的前 n 项和公式时注意辨析q是否为 1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基 础题 17 （13 分） （2011?重庆）某市公租

19、房的房源位于A、B、C 三个片区，设每位申请人只申 请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的 4 位申请人中： （I）没有人申请A 片区房源的概率； （II ）每个片区的房源都有人申请的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率；n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 【专题】 计算题 【分析】（）解法一：首先分析所有的可能申请方式的情况数目，再分析没有人申请A 片 区房源的即所有的都申请BC 区的申请方式的情况数目，由古典概型概率公式，计算可得答 案； 解法二：视为独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的情况，设对每位申请人的观察为一次 试验，这是

20、4 次独立重复试验，记“ 申请 A 片区房源 ” 为事件 A，易得 P（A） ，进而由独立 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式计算可得答案； （）根据题意，分析可得所有的可能申请方式的种数；而“ 每个片区的房源都有人申请” 的申请方式的种数； 由古典概型概率公式，计算可得答案 【解答】 解： （I）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 解法一：所有的可能申请方式有34种；而 “ 没有人申请A 片区房源的 ” 的申请方式有24种； 记“ 没有人申请A 片区房源 ” 为事件 A， 则 P（ A）=； 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4 次独立重复试验， 记“ 申请 A 片区

21、房源 ” 为事件 A，则 P（ A） =； 由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式知： “ 没有人申请A 片区房源 ” 的概率为P4（0）=C3 0?（ ） 0（ ） 4= ； （） 所有的可能申请方式有34种；而“ 每个片区的房源都有人申请” 的申请方式有C42?A33 种； 记“ 每个片区的房源都有人申请” 为事件 B， 从而有 P（B）= 【点评】 本题考查等可能事件的概率，注意解题的格式应该规范，先有“ 记为事件 ”，进 而又公式进行计算 18 （13 分） （2011?重庆）设函数f（x）=sinxcosxcos（x+ ）cosx， （x R） （I）求 f（x）的最小

22、正周期； （II ）若函数 y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g （x）在（ 0，上的最大值 【考点】 三角函数的周期性及其求法；函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换； 三角函数的最值 【专题】 计算题；综合题 【分析】（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周 期公式可求得函数的最小正周期 （II ）由（ I）得函数 y=f（x） ，利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨 角的范围，即可的函数g（x）的最大值 【解答】 解： （I） f（x）=sinxcosxcos（x+ ）cosx =sinxcosx

23、+cosxcosx =sin2x+cos2x+ =sin（2x+）+ f（x）的最小正周期T= （II ）函数y=f （x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（ x）的图象， g（x）=sin（2x+）+=sin（2x）+ 0x2x， y=g（x）在（ 0，上的最大值为： 【点评】 本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式 的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题 19 （12 分） （2011?重庆）设f（ x）=2x 3+ax2+bx+1 的导数为 f （x） ，若函数y=f （x）的图 象关于直线x=对称，且 f （1）=0 （）求实数a

24、，b 的值 （）求函数f（x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；二次函数的性质 【专题】 计算题 【分析】（）先对f（x）求导， f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由 f（ 1） =0 即可求出b （）对f（x）求导，分别令f（x）大于 0 和小于 0，即可解出f（x）的单调区间，继而 确定极值 【解答】 解： （）因 f（x）=2x 3+ax2+bx+1 ，故 f （ x）=6x 2+2ax+b 从而 f （x）=6y=f （x）关于直线x=对称， 从而由条件可知=，解得 a=3 又由于 f （x） =0，即 6+2a+b=0，解得 b=12 （）由（）知f（x）=2x

25、3+3x212x+1 f（x）=6x 2+6x12=6（x1） （x+2） 令 f（ x）=0，得 x=1 或 x=2 当 x （ ， 2）时， f（x） 0，f（x）在（ ， 2）上是增函数； 当 x （ 2，1）时， f （x） 0，f（x）在（ 2，1）上是减函数； 当 x （1，+）时， f （x） 0，f（x）在（ 1， +）上是增函数 从而 f（x）在 x=2 处取到极大值f（ 2）=21，在 x=1 处取到极小值f（ 1）=6 【点评】 本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力 20 （12 分） （2011?重庆）如图，在四面体ABCD 中，平面 ABC 平面

26、ACD ，AB BC， AC=AD=2 ， BC=CD=1 （）求四面体ABCD 的体积； （）求二面角C ABD 的平面角的正切值 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法 【专题】 综合题；压轴题；转化思想 【分析】 法一：几何法， （）过 D 作 DFAC ，垂足为F，由平面ABC 平面 ACD ，由面面垂直的性质，可得 DF 是四面体ABCD 的面 ABC 上的高； 设 G 为边 CD 的中点， 可得 AG CD，计算可得AG 与 DF 的长，进而可得SABC，由棱锥体积公式，计算可得答案； （）过 F 作 FEAB ，垂足为 E，连接 DE，分析可得 DEF 为二

27、面角 CAB D 的平面 角，计算可得EF 的长，由（）中DF 的值，结合正切的定义，可得答案 法二：向量法， （）首先建立坐标系，根据题意，设O 是 AC 的中点，过O 作 OHAC，交 AB 与 H， 过 O 作 OM AC ，交 AD 与 M；易知 OHOM ，因此可以以O 为原点，以射线OH、OC、 OM 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间坐标系O XYZ ， 进而可得B、 D 的坐标； 从而可得 ACD 边 AC 的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案； （）设非零向量=（l， m， n）是平面ABD 的法向量，由（）易得向量的坐标，同 时易得=（0，0，1）是平面ABC 的法向

28、量，由向量的夹角公式可得从而cos， 进而由同角三角函数的基本关系，可得tan，即可得答案 【解答】 解：法一 （）如图：过D 作 DFAC，垂足为F，由平面ABC 平面 ACD ， 可得 DF平面 ABC ，即 DF 是四面体ABCD 的面 ABC 上的高； 设 G 为边 CD 的中点，由AC=AD ，可得 AG CD， 则 AG=； 由 SADC= AC?DF=CD?AG 可得， DF=； 在 RtABC 中， AB=， SABC=AB ?BC=； 故四面体的体积V= SABC DF= ； （）如图，过F 作 FEAB ，垂足为E，连接 DE， 由（）知DF平面 ABC ，由三垂线定理可得

29、DEAB ，故 DEF 为二面角 CAB D 的平面角， 在 RtAFD 中， AF=； 在 RtABC 中， EFBC，从而，可得 EF=； 在 RtDEF 中， tanDEF= 则二面角 CAB D 的平面角的正切值为 解法二：（）如图（ 2） 设 O 是 AC 的中点，过O 作 OHAB，交 AB 与 H，过 O 作 OM AC ，交 AD 与 M； 由平面 ABC 平面 ACD ，知 OHOM ， 因此以 O 为原点，以射线OH、OC、OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间坐标系OXYZ ， 已知 AC=2 ，故 A、C 的坐标分别为A（0， 1，0） ，C（0，1，0） ；

30、设点 B 的坐标为（ x1，y1，0） ，由，|=1； 有， 解可得或（舍）； 即 B 的坐标为（，0） ， 又舍 D 的坐标为（ 0，y2，z2） ， 由|=1，|=2，有（ y2 1）2+z22=1 且（ y2+1） 2+z 2 2=1； 解可得或（舍）， 则 D 的坐标为（ 0，） ， 从而可得 ACD 边 AC 的高为 h=|z2|= 又|=，|=1； 故四面体的体积V= | |h=； （）由（）知=（， 0） ，=（0，） ， 设非零向量=（l，m，n）是平面ABD 的法向量，则由可得，l+m=0， （1） ； 由可得，m+n=0， （2） ； 取 m=1，由（ 1） （2）可得，

31、l=， n=，即=（， 1，） 显然=（0，0，1）是平面ABC 的法向量， 从而 cos， =； 故 tan，=； 则二面角 CAB D 的平面角的正切值为 【点评】 本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握 两种思路的特点，进行选择性的运用 21 （12 分） （2011?重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 x=2 （）求椭圆的标准方程； （）设动点P 满足：=+2，其中 M、N 是椭圆上的点，直线OM 与 ON 的斜率之 积为，问：是否存在定点F，使得 |PF|与点 P到直线 l：x=2的距离之比为定值；若 存在，求F 的坐标，若

32、不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的定义 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】（）由题意得=，=2，解出 a、b 的值，即得椭 圆的标准方程 （）设动点P（x，y） ，M（x1， y1 ） 、N（x2，y2） 由向量间的关系得到x=x1+2x2， y=y1+2y2，据 M、N 是椭圆上的点可得x 2+2y2=20+4（x 1x2+2y1y2） 再根据直线OM 与 ON 的斜率之积 为，得到点P 是椭圆 x 2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点 F（，0） ，满足条件 【解答】 解： （）由题意得=，=2， a=2，b=， 故椭圆的标准

33、方程为+=1 （）设动点P（x，y） ，M（x1， y1 ） 、N（x2，y2） 动点P 满足：=+2， （ x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ） ， x=x1+2x2，y=y1+2y2， M、 N 是椭圆上的点，x12+2y124=0，x22+2y2 24=0 x 2+2y2=（x 1+2x2） 2+2 （y 1+2y2） 2=（x 1 2+2y 1 2 ）+4（x2 2+2y 2 2 ）+4（x1x2+2y1y2） =4+4 4+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2） 直线 OM 与 ON 的斜率之积为，?=， x 2+2y2=20， 故点 P 是椭圆=1 上的点，焦点F（，0） ，准线 l：x=2，离心率为， 根据椭圆的第二定义，|PF|与点 P 到直线 l：x=2的距离之比为定值， 故存在点F（，0） ，满足 |PF|与点 P到直线 l：x=2的距离之比为定值 【点评】 本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的 第二定义，属于中档题