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1、精品资料欢迎下载 二元一次方程组应用探索 二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大 多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下： 一、数字问题 例 1 一个两位数， 比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位 上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数 分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其 之间的关系可用下表表示： 解方程组 109 101027 xyxy yxxy ，得 1 4 x y ，因此，所求的两位数是 14 点评： 由于受一元一次方程先入为主的影响，不
2、少同学习惯于只设一元，然后列一元一 次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果 直接设这个两位数为x， 或只设十位上的数为x， 那将很难或根本就想象不出关于x 的方程一 般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“ 元” ，然后列多元方程 组解之 二、利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10 元， 问此商品的定价是多少？ 分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x 元，进价为 y 元，则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利 (0.9x-y) 元，因此得方程0.9x-y
3、=20%y ；打八折时 的卖出价为0.8x 元，获利 (0.8x-y) 元，可得方程0.8x-y=10. 解方程组 0.920% 0.810 xyy xy ，解得 200 150 x y ， 因此，此商品定价为 200元 十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系 原两位数x y 10x+y 10x+y=x+y+ 9 新两位数y 10y+x 10y+x=10x+ y+27 精品资料欢迎下载 点评： 商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利 润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价 -进价；二是：利润=进价 利润率（盈利百分 数） 特别注意 “ 利润 ” 和“ 利润率
4、 ” 是不同的两个概念 三、配套问题 例 3 某厂共有120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母20 个，如果一 个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能 使每天生产出来的产品配成最多套？ 分析： 要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据 题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数 2=每天生产的螺母数 1 因 此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓25个，螺母20个，依题 意，得 120 502201 xy xy ，解之，得 20 100 x y 故应安排 20 人生产螺栓， 100
5、 人生产螺母 点评： 产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好 配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关 系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是： （1）“ 二合一 ” 问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等 于乙产品数的倍，即 ab 甲产品数乙产品数 ； （2）“ 三合一 ” 问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种 产品数应满足的相等关系式是： abc 甲产品数乙产品数丙产品数 四、行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C 三个加油站， A 到 B 的距离为120 千米，
6、B 到 C 的距离也是120 千米分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时 以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令 后立即以相同的速度分别往A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在1 小时后就被 其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问 巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？ 精品资料欢迎下载 【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y 千米 /时，则 3120 120 xy xy ，整理，得 40 120 xy xy ，解得 80 40 x y ， 因此，巡逻车的速度是80 千米
7、 /时，犯罪团伙的车的速度是40 千米 /时 点评： “ 相向而遇 ” 和“ 同向追及 ” 是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存 在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在： “ 相向而遇 ” 时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离； “ 同向追及 ” 时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 五、货运问题 典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中 甲种货物每吨体积为6 立方米， 乙种货物每吨的体积为2 立方米， 要充分利用这艘船的载重 和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？ 分析：
8、 “ 充分利用这艘船的载重和容积” 的意思是 “ 货物的总重量等于船的载重量” 且“ 货 物的体积等于船的容积” 设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则 300 621200 xy xy ，整理，得 300 3600 xy xy ，解得 150 150 x y ， 因此，甲、乙两重货物应各装150 吨 点评： 由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此， 解实际问题的方程组时要注 意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或 两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等 六、工程问题 例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完
9、成，按照这个服 装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内 只能完成订货的 4 5 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求订做的工作服是几套？ 要求的期限是几天？ 分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得 4 150 5 200125 yx yx ，解得 3375 18 x y . 精品资料欢迎下载 点评： 工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“ 工作量 =工作时 间 工作效率 ” 以及它们的变式“ 工作时间 =工作量
10、工作效率，工作效率=工作量 工作时 间” 其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量 二元一次方程组实际问题赏析 【知识链接】 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“ 审、找、列、解、答” 五步，即： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表 示其中的两个未知数； （2）找：找出能够表示题意两个相等关系； （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 【典题精析】 例1（20XX 年南京市）某停车场的收
11、费标准如下：中型汽车的停车费为6元 /辆，小型汽 车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问 中、小型汽车各有多少辆？ 解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得 .23046 ,50 yx yx 解得， .35 ,15 y x 故中型汽车有 15辆，小型汽车有35辆. 例 2（ 20XX 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示： 销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售 每吨获利（元）100 250 450 现在该公司收购了140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6 吨或粗加工蔬菜16 吨（两种加工不能同时进行） （
12、1）如果要求在18 天内全部销售完这140 吨蔬菜，请完成下列表格： 销售方式全部直接 销售 全部粗加工后 销售 尽量精加工， 剩余部分直接 销售 精品资料欢迎下载 获利（元） （2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15 天内刚好加工完140 吨蔬菜，则 应如何分配加工时间？ 解： （1）全部直接销售获利为：100 140=14000（元）； 全部粗加工后销售获利为：250 140=35000（元） ； 尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450 （6 18） 100 （ 140 6 18）=51800 （元） . （2）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工. 由题意，得 .14
13、0166 ,15 yx yx 解得， .5 ,10 y x 故应安排 10 天进行精加工，5 天进行粗加工. 【跟踪练习】 为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建 造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700 元. 计划在年内拆除旧 校舍与建造新校舍共7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积. （1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？ （2）若绿化1 平方米需200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化 大约是多少平方米？ 答案： （1）原计划拆、建面积各是4800 平方米、 2400 平方米； （2）可绿化面积为1488 平方米 .