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1、精品资料欢迎下载 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内 容, 同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学 习数学分析和微积分的关键一环. 本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法 进行了归纳总结 , 并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以 便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算. 求函数极限的方法较多 , 但每种方法都有其局限性, 都不是万能的 , 对某个具体求极限的问题, 我们应该 选择合适的方法 . 一、函数极限概念 定义 1 1 设 f 为定义在,a上的函数，A为定数 . 若对任给的0，存在 正数M
2、（a） ，使得当Mx时有 ( )f xA， 则称函数 f 当 x趋于 +时以A为极限，记作 lim( ) x f xA或( ).f xA x 定义 2 1 （函数极限的-定义）设函数 f 在点 0 x的某个空心邻域 0 U （ 0 x ； ）内有定义，A为定数。若对任给的0，存在正数（0，M = 1 ，则当xM 时有， 1 0 x = 1 x 1 M =. 精品资料欢迎下载 所以有 1 lim0 x x . 例2 用极限的定义证明 2 0 2 11lim 0 xx xx 0 (| 1)x. 证明由于| | 1x , 0 | 1x , 因此 22 220 0 22 0 000 22 00 | 1
3、1 11 |2| . 11 xx xx xx xxxxxx xx 于是 , 对任给的)10(0 不妨设, 取, 2 1 2 0 x 则当 00|xx 时, 有.11 2 0 2 xx 注 用极限的定义时 , 只需要证明存在)(或N, 故求解的关键在于不等式的 建立. 在求解的过程中往往采用放大、 缩小等技巧 , 但不能把含有 n 的因子移到 不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有 时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N ( 或) 一致, 最后结合在 一起考虑 . 2利用极限的运算法则 定理 6 1（四则运算法则） 若极限 00 lim( )lim(
4、) xxxx f xg x 与都存在，则函数fg， . f g当 0 xx 时极限也存在，且 000 lim( )( )lim( )lim( ); xxxxxx f xg xf xg x 000 lim( ) ( )lim( ). lim( ) xxxxxx f x g xfxg x； 0 lim( ) xx g x 又若 0 0,fgxx则当时极限存在，且有 000 ( ) limlim( ) / lim( ). ( ) xxxxxx f x f xg x g x 精品资料欢迎下载 例 3 求 2 2 1 lim 1 n n n aaa bbb , 其中1, 1 ba. 解 分子分母均为无穷
5、多项的和, 应分别求和 , 再用四则运算法则求极限 b b bbb a a aaa n n n n 1 1 1 , 1 1 1 1 2 1 2 , 原式 1 1 11 lim 1 11 1 11 lim 1 1 n n n n a b aa ba b b 例4 求 2 0 211 lim x xx x . 解 原式 )211( 41121 lim 2 2 0 xxx xxx x )11)(211( )11 (2 lim 22 2 0 xxxx x x )11)(211( 2 lim 20 xxx x 4 1 . 注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限 , 可以采用极限运算法则 , 使用 时需
6、要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、 分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂 法等. 注2 运用极限法则时 , 必须注意只有各项极限都存在( 对商, 还要分母极限 不为零 ) 时才能适用 . 3利用迫敛性（夹逼准则） 定理 7 1 （迫敛性） 00 lim( )lim( ) xxxx f xg xA设，且在某 0 0 (;)Ux内有 ( )( )( )f xh xg x， 精品资料欢迎下载 则 0 lim( ). xx h xA 例 5 求下列函数的极限 . (1) cos lim x xx x ； (2) 2 sin lim 4
7、 x xx x . 解 (1) 因为-1cos1x，所以当0x时， 1cos1x xxx ， 于是 1cos1 11 xx xxx , 又因为 11 lim (1)lim (1)1 xx xx ， 由迫敛性得 cos lim1. x xx x （2）因为1sin1,x 2 - 2 4 x x x 所以当时， 22 sin 44 xxx xx ， 又因为 22 2 1 limlim0, lim0 4 44 1 xxx xx x xx x ， 又迫敛性得 2 sin lim 4 x xx x =0. 例6 求 x x x x 1 sinsin 1 lim 2 0 . 解当0x时, 有 222 11
8、1 |sinsin| |sin|xxx xxx , 从而 211 0 |sinsin| |xx xx , 由夹逼准则得 2 0 11 lim |sinsin| 0 x x xx , 所以 0 1 sinsin 1 lim 2 0 x x x x . 注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转 精品资料欢迎下载 化为求放大或缩小的函数或数列的极限. 注2 利用夹逼准则求函数极限的关键： （1）构造函数)(xf, )(xh, 使)(xf)(xg)(xh； （2）Axhxf xxxx )(lim)(li
9、m 00 , 由此可得Axg xx )(lim 0 . 4利用两个重要极限 两个重要极限 : （1)1 sin lim 0 x x x ； (2)e x x x 1 1lim. 根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1 )( )(sin lim 0 xf xf xx ()(, sin , 0)(lim 0 xfu u u yxf xx )； (2)e xg xg xx )( )( 1 1lim 0 )(, 1 1,)(lim 0 xgu u yxg u xx . 例7 求下列函数的极限 （1） 1 limsin; x x x （2） 3 0 tansin lim x
10、xx x . 解（1）令 1 t x ， 0 t0 . 1sin limsinlim1. xt x t x xt 则当时， 于是 (2) 2 333 000 2sinsin tansinsin (1 cos ) 2 limlimlim coscos xxx x x xxxx xxxxx 精品资料欢迎下载 2 2 0 sin sin1 2 lim 2cos 2 1 1.1. 2 1 . 2 x x x xx x 例 8 求下列函数的极限 （1） 0 2 lim(1); x x x （2） 1 0 1 lim() 1 x x x x . 解（1） 2 2 2 21 lim(1)= lim1+ -
11、2 x x xx e x x . （2） 1112 21 00 122 lim()lim(1)lim(1) 111 x xxxx xnx xxx xxx = 2 1 1 2 2 0 2 lim1 1 x x x x x e x . 5利用无穷小的性质和等价无穷小代换 定理8 1 设函数( ),( ),( )fxg xh x在 0 (,)U x内有定义 , 且有 )()(xgxf)( 0 xx. (1) 若Axhxf xx )()(lim 0 , 则Axhxg xx )()(lim 0 ； (2) 若B xf xh xx )( )( lim 0 , 则B xg xh xx )( )( lim 0
12、 . 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 精品资料欢迎下载 性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 定理9 1 设,均为无穷小 , 且 , , 且 lim存在, 则limlim. 例9 求极限 2 22 0 1cos lim sin x x xx . 解 因为 22 2 () 1cos; 2 x x 所以 22 2 0 sin cos1 lim xx x x = 2 1 2 )( 22 22 xx x . 例10 计算 3 0 sin sintan lim x xx x . 解由于)cos1( cos sin sintanx x x xx,
13、而)0(sinxxx, )0( 2 cos1 2 x x x, )0(sin 33 xxx, 故有 2 1 2 cos 1 lim sin sintan lim 3 2 0 3 0 x x x xx xx xx . 例 6 11计算 2 0 11 lim 1cos x x x . 解 因为 21 1cos(0), 2 xxx 且 2 2 000 22 2sinsin 1cos 22 limlimlim1 11 222 xxx xx x x xx . 由定理得， 2 0 11 lim 1cos x x x 22 2000 222 112 limlimlim1 11 11 11 22 xxx xx
14、 x xxx . 精品资料欢迎下载 注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注2 7 常用等价代换公式 : 当0x时, xx sin, xx arcsin, xx tan, xx arctan, xe x 1, axa x ln1等. 在求解极限的时候要特别注意无穷小 等价替换 , 无穷小等价替换可以很好的简化解题. 6. 利用恒等变形法 在求函数极限时， 利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段 有约分法有和有理化法 . （1）约分法 适用于计算 0 0 型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子 （特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值. 例 1
15、2 3 计算 2 1 lim 1 n x xxxn x 的值（ n为正整数） . 解 原式= 2 1 (1)(1)(1) lim 1 n x xxx x = 12 1 lim 1(1)(1) nn x xxxx 1 2n = (1) 2 n n . 注 要首先将分子分母因式分解， 找到公因子 （特别是零因子），接着即可约 去公因子，求函数极限 . （2）有理化法 在求解存在根号的函数极限时， 通过选择分子或分母， 或分子分母同时有理 化约去零因子，即可转化为一般的极限问题. 例 13 4 计算： 2 0 lim x axa x （其中0a）. 解 原式= 22 20 ()() lim () x
16、 axaaxa xaxa = 22 20 () lim () x axa xaxa 精品资料欢迎下载 = 20 1 lim x axa = 1 2a 注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选 择何种方式的有理化 . 7.利用洛必达法则 （1） 0 0 型不定式极限 定理10 1 若函数)(xf和)(xg满足： (i ) 0)(lim)(lim 00 xgxf xxxx ； (ii ) 在点 0 x的某空心邻域 0 0 (,)Ux内两者都可导 , 且0)(xg； ( iii ) A xg xf xx )( )( lim 0 ( A可为实数 , 也可为), 则 )( )(
17、 lim 0 xg xf xx A xg xf xx )( )( lim 0 . （2）型不定式极限 定理 11 1 若函数 f 和 g 满足： (i ) )(lim)(lim 00 xgxf xxxx ； (ii ) 在点 0 x的某空心邻域 0 0 (,)Ux内两者都可导 , 且0)(xg； (iii ) A xg xf xx )( )( lim 0 ( A可为实数 , 也可为), 则 )( )( lim 0 xg xf xx A xg xf xx )( )( lim 0 . 注 8 洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同 精品资料欢迎下载 一运算过程中可连续使用,
18、直到求出所求极限 . 但是 , 对于其他不定式的极限 （如,0 00 1 ,0 ,等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失 败, 但只需经过简单变换 , 它们一般可以化为 0 0 型和型的极限 . 例 12 3 计算： （1） 3 0 arcsin lim; (arcsin) x xx x （2） 0 limln x xx; （3） 1 ln2 lim1 x x xx. 解 （1）这是一个 0 0 型的不定式极限 , 直接应用洛必达法则得 : 2 2 32 22000 1 1 arcsin11 1 limlimlim 3 31 xxx xxx x xx xx ) 11(13 lim 2
19、22 2 0 xxx x x 6 1 . （2）这是一个0型的不定式极限 , 用恒等变形 x x xx 1 ln ln将它转化 为型不定式极限 , 并应用洛必达法则得到 xx x lnlim 0 0)(lim 1 1 lim 1 ln lim 0 2 00 x x x x x xxx . （3）这是个 0型不定式极限 .类似地先求其对数的极限（ 型） ： 2 2 + 1 ln1 1 limlim1 1 ln xx xx x x x 于是有 1 ln2 lim1 x x xx=e. 注 1 要注意条件，也即是说，在没有化为 0 , 0 时不可求导 . 精品资料欢迎下载 注 2 应用洛必达法则，要
20、分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式 的导数 . 注 3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式， 若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误. 8. 利用泰勒展开式 泰勒展开式 9 ：若( )f x在0x点有直到1n阶连续导数 , 那么 ,( ) 2 (0)(0) ( )(0)(0).() 2! n nn ff f xffxxxo x n ， 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便， 下列为常用的展开式： (1) 2 1() 2! n xn xx exo x n (2) 3521 12 sin( 1)() 3!5!(21)!
21、 n nn xxx xxo x n (3) 242 21 cos1( 1)() 2!4!(2 )! n nnxxx xo x n (4) 2 1 ln(1)( 1)() 2 n nnxx xxo x n (5) 2 (1)(1)(1) (1)1() 2! nn n xxxxo x n (6) 21 1xx() 1 nn xo x x 上述展开式中的符号)( n xo都有: 0 )( lim 0 n n x x xo 例 13 1 计算 2 2 4 0 cos lim x x xe x . 解 利用泰勒公式求解 24 5 cos1() 224 xx xo x 精品资料欢迎下载 2 2 5 2 1
22、() 28 x xx eo x 2 4 5 2 cos() 12 x x xeo x 因而求得 2 45 2 44 00 1 0() cos1 12 limlim 12 x xx xx xe xx . 9. 利用拉格朗日中值定理 定理 12 1 若函数f满足如下条件： (1)f在闭区间上连续 ; (2)f在( , )a b内可导 ; 则在( , )a b内至少存在一点, 使得 ( )( ) ( ). f bf a f ba 此式变形可为 : )10()( )()( abaf ab afbf 例 14 10 求 xx ee xx x sin lim sin 0 . 解 令 x exf)(对它应用
23、中值定理得 sin ( )(sin)(sin)(sin(sin) (01). xx eefxfxxx fxxx 即 sin (sin(sin) (01). sin xx ee fxxx xx x exf)( 连续, 0 lim(sin(sin )(0)1. x fxxxf 从而有 sin 0 lim1. sin xx x ee xx 精品资料欢迎下载 结论 求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的. 对同一题也 可能有多种求法， 有难有易， 有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要 细心分析仔细甄选，选择出适当的方法. 这样不仅准确率更高，而且会省去许多 不必要的麻烦，起到事
24、半功倍的效果. 这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的 道理，体会出做题的窍门 . 达到这样的境界非一日之功， 必须要多做题善于总结， 日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手. 从上述的介绍中可以看出 求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析, 不能机械地用某种方法， 对 具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用. 精品资料欢迎下载 参考文献： 1 华东师范大学数学系. 数学分析 M. 第三版 . 北京 : 高等教育出版社, 2001. 2 彭辉 . 高等数学辅导M .北京 : 高等教育出版社, 2003. 3 裴礼文 . 数学分析中的典型问题与方法M. 北京
25、: 高等教育出版社, 1995. 4 丁家泰 . 微积分解题方法M. 北京 : 北京师范大学出版社, 1981. 5 刘三阳 . 高等数学典型题解M. 西安 : 西北工业大学出版社, 2003. 6 吉米多维奇 . 数学分析习题集解题M. 济南 : 山东科学技术出版社, 1999. 7 钱志良 . 谈极限的求法J. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26. 8 张敏捷 . 函数极限的几种特殊求法J. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58. 9 程 鹏 , 张 洪 瑞 , 李 占 现 . 求 函 数 极 限 的 方 法 J. 河 南 科 技 学 院 学 报
26、 , 2008, 9(36):133-134. 10 Rudin W. Principle of Mathematical AnalysisM. New York: John Pearson Edution, 1990. 精品资料欢迎下载 致谢 在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定 方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结 学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任 感. 在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福. 四年大学生活即将结束， 回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。 他们严谨的治学，优良的作风和敬业的态度，为我们树立了为人师表的典范. 在 此，我对信息学院的老师表示感谢，祝你们身体健康，工作顺利！ 最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的 各位老师表示感谢 .