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1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛专项训练 （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图 8-1，已知 AB10，P是线段 AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD，则线段CD 的长度的最小值是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. )15(5 2、如图 8-2，四边形 ABCD 中 A60， B D90，AD 8，AB 7，则 BCCD 等于（） A. 36B. 53C. 43D. 33 3、如图 8-3，在梯形ABCD 中， AD BC，AD 3，BC 9，AB 6，CD4，若 EFBC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的
2、周长相等，则EF 的长为（） A. 7 45 B. 5 33 C. 5 39 D. 2 15 4、已知 ABC 的三个内角为A、 B、C 且 A+B ， C+A ，C+B，则 、中，锐角的个数 最多为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD 9cm，宽 AB 3cm，将其折叠，使点D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（） A. 4cm cm10B. 5cm cm10 C. 4cm cm32D. 5cm cm32 6、一个三角形的三边长分别为a，a，b，另一个三角形的三边长分别为a， b，b，其中ab，若两个三角 形的最
3、小内角相等，则 b a 的值等于（） A. 2 13 B. 2 15 C. 2 23 D. 2 25 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数)0(kkxy与函数 x y 1 的图象相交于A，C 两点， AB 垂直 x 轴于 B， 则 ABC 的面积为 （） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d，另一组对边的长分别为a，b，则 d 与 2 ba 的大小关系是 60 A B C D A B C D P 图 8-1 图 8-2 A D C B E F 图 8-3 图 8-4
4、 A B C D A D C F C B E 学习必备欢迎下载 2、如图 8-5， AA 、 BB分别是 EAB 、 DBC 的平分线，若AA BB AB ，则 BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （ 5、9、 11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长 4、如图 8-6， P是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD 5、如图 8-7，甲楼楼高16 米，乙 楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12 时太阳光线与水平面的夹 角为 30，此时求如果两楼相距20 米，那么甲楼的影子
5、落在乙楼上有多高？如果甲 楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。 6、如图 8-8，在 ABC 中， ABC 60，点 P 是 ABC 内的一点，使得APB BPC CPA，且 PA8，PC6，则 PB 三、解答题 1、如图 8-9， AD 是 ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD 2 1 （AB+AC ） 2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？ 图 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8-7 图 8-8 B A C P A B D C 图 8-9 A B B D C 图 8-5 E A 学习必备欢迎下载
6、3、如图 8-10，在 RtABC 中， ACB 90， CD 是角平分线， DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形CEDF 是正方形。 CD 22AEBF 4、从 1、2、3、4、 2004 中任选 k 个数，使所选的k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数 （这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k 的最小值是多少？ A C F B D E 图 8-10 学习必备欢迎下载 参考答案 一、选择题 1、如图过C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。 显然 DGEF 2 1 AB5，CDDG，当 P为
7、 AB 中点时，有CDDG5， 所以 CD 长度的最小值是5。 2、如图延长AB、 DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16，DE83， 于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中，可求得BC33，CE63，于 是 CDDECE23BC CD53。 3、由已知AD+AE+EF+FD EF+EB+BC+CF AD+AE+FD EB+BC+CF 11)( 2 1 CDBCABAD EFBC， EF AD ， FC DF EB AE 设k FC DF EB AE ， 1 4 11 6 1k k CD k k DF k k AB k k AE， AD+AE+FD 3+ 1 313 1 4 1
8、 6 k k k k k k 11 1 313 k k 解得 k4 作 AH CD， AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GF HCAD 3，BH BCCH9-36 5 4 AB AE BH EG ， 5 24 5 4 BHEG 5 39 3 5 24 GFEGEF 4、假设 、三个角都是锐角， 即 90，90， 90，也就是 A+B 90， B+C 90，C+A90。2 （A+B+C ） 270，ABC135与 ABC180 矛盾。故 、 不可能都是锐角，假设、 中有两个 锐角，不妨设 、 是 锐角，那么有 AB90， CA90， A(ABC)b， A B C D P E F G
9、 60 A B C D E A D C B E F H G Q A B C D 学习必备欢迎下载 故 A 是 ABC 的最小角， 设 A Q，则以 b,b,a为三边之三角形的最小角亦为Q，从 而它与 ABC 全等，所以DCb，ACD Q，因有公共底角B，所以有等腰ADC 等腰 CBD，从而得 BC BD AB BC ， 即 b ba a b ，令 b a x， 即得方程01 2 xx， 解得 2 15 b a x。选 B。 7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是360，故外角中钝角的个数不能超过3 个， 又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3 个，实际上，容易构造出内 角中有
10、三个锐角的凸10 边形。 8、A。设点 A 的坐标为 （yx，） ，则1xy，故 ABO 的面积为 2 1 2 1 xy，又因为 ABO 与 CBO 同底等高，因此ABC 的面积 2 ABO 的面积 1。 二、填空题 1、如图设四边形ABCD 的一组对边AB 和 CD 的中点分别为M、N，MN d，另一组对边是AD 和 BC，其长度分别为a、b，连结 BD ，设 P 是 BD 的中点， 连结 MP、 PN， 则 MP 2 a ， NP 2 b ， 显然恒有 2 ba d， 当 AD BC，由平行线等分线段定理知M、N、P 三点共线，此时有 2 ba d，所以d与 2 ba 的大小关系是) 2
11、( 2 d baba d或。 2、12。设 BAC 的度数为x， AB BB BBD 2x， CBD 4x AB AA AA B AB A CBD4x AAB )180( 2 1 x 18044)180( 2 1 xxx，于 是可解出x12。 3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有10 组，它们是（ 3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （ 3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9， 11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9， 11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（ 3，5，9） 、
12、 （ 3，5，11） 、 （ 3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7 个数组构成三角形 三边长。 4、过 P 作 AB 的平行线分别交DA、BC 于 E、F， 过 P 作 BC 的平行线分别交AB 、 CD 于 G、H。 设 AG DH a，BGCHb， AEBFc，DE CF d， 则 222222 222222 DPadcbBP dbCPcaAP ， ， 于是 2222 DPBPCPAP，故18453 2222222 BPCPAPDP， DP32 5、设冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度 就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于
13、点 E， 那么在 AEC 中，AEC 90， ACE30， EC20 米。 A B D C P M N A B D C P E F G H a a b b c d 学习必备欢迎下载 所以 AEEC6.11 3 3 2030tan20tan ACE（米） 。 CDEBAB-AE 16-11.64.4（米） 设点 A 的影子落到地面上某一点C，则在 ABC 中，ACB 30， AB 16 米，所以7.27316cotACBABBC（ 米） 。所 以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7 米。 6、提示：由题意APB BPC CPA120，设 PBC， ABC 60 则 ABP60
14、 ， BAP PBC， ABP BPC， PC BP BP AP ，BP 2AP PC 3448PCAPBP 三、解答题 1、证明：如图延长AD 至 E，使 AD DE，连结 BE。 BDDC，AD DE， ADC EDB ACD EBDAC BE 在 ABE 中， AEAB BE，即 2AD ABACAD 2 1 （AB AC ） 2、答案提示： 在 ABC 中，不妨设abca+bca+b+c2c即 p2cc 2 p ， 另一方面 ca 且 cb2ca+b 3c 3 p cpcba。 因此 23 p c p 3、证明：ACB 90， DE BC，DFAC， DEAC ，DEBC， 从而 EC
15、F DEC DFC90。 CD 是角平分线 DEDF，即知四边形CEDF 是正方形。 在 RtAED 和 RtDFB 中，DEBC ADE B RtAED RtDFB BF DE DF AE ，即 DEDFAEBFCD2DE2DF， BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解：这一问题等价于在1，2，3， 2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能 成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的k 的最大值是多少？符 合上述条件的数组，当k4 时，最小的三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组， 只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使k 达到最大，可 选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得： 1，2，3，5， 8，13，21，34，55，89，144， 233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2 an显然总有ai大于等于中的第i 个数，所以n16 k1，从而知k 的最小值为17。 16 米 20 A B C D 甲乙E A B D C E 学习必备欢迎下载