【优质文档】导数及其应用教案.pdf

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1、学习必备欢迎下载 课题：变化率问题 教学目标： 1理解平均变化率的概念； 2了解平均变化率的几何意义； 3会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点： 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点： 平均变化率的概念 教学过程： 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的 研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研

2、究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的 快慢程度 二、知识探究 探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位 :L)与半径 r(单位 :dm)之间的函数关系是 3 3 4 )(rrV 如果将半径r 表示为体积V 的函数 ,那么 3 4 3 )( V Vr 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(62.0 01 )

3、0() 1( Ldm rr 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr 气球的平均膨胀率为)/(16.0 12 ) 1()2( Ldm rr 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了 思考：当空气容量从V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少 ? 12 12 )()( VV VrVr 探究二：高台跳水： 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t（单位： s） 存在函数关系h(t)= - 4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速 v度粗略地描述 学习必备欢迎下载 其运动状态 ? 思考计算

4、：5.00t和21t的平均速度v 在5.00t这段时间里，)/(05. 4 05 .0 )0()5. 0( sm hh v； 在21t这段时间里，)/(2.8 12 ) 1()2( sm hh v 探究：计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= - 4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0() 49 65 (hh，所以)/(0 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v，虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的 平均速度

5、为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能 精确描述运动员的运动状态。 探究（三）：平均变化率 1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子 12 12 )()( xx xfxf 表示 , 称为函数f(x)从 x1到 x2的平均变化率 2若设 12 xxx, 21 ()()yf xf x(这里x看作是对于x1的一个 “ 增量 ” 可用 x1+x代替 x2,同样)()( 12 xfxfyf) 则平均变化率为 y xx xfxxf xx xfxf)()()()( 11 12 12 思考：观察函数f(x)的图象：平均变化率 y x 12 12 )()( xx xf

6、xf 表示什么 ? 直线 AB 的斜率 h t o x2 x= x2-x1 y =f(x2)-f(x1) x y x1 O f(x1) f(x2) y=f(x) 学习必备欢迎下载 3、函数 f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率怎么表示？ 00 ()()f xxf x x +-V V 三、典例分析 例 1 已知函数f(x)=xx 2 的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB, 则 x y 解：)1()1(2 2 xxy， x x xx x y 3 2)1()1( 2 例 2、求 2 xy在 0xx附近的平均变化率。 解： 2 0 2 0 )(xxxy，所以 x xxx x y

7、2 0 2 0 )( xx x xxxxx 0 2 0 2 0 2 0 2 2 所以 2 xy在 0 xx附近的平均变化率为xx02 例 3、求函数y5x2 6在区间 2，2 x内的平均变化率 例 4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高 1.7m 的人从路灯的正底下出发，以 1.4m/s 的速 度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率. 解：略 四课堂练习 1质点运动规律为3 2 ts，则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 2.物体按照s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s附近的平均变化率. 3.过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+x,1+y)作曲

8、线的割线，求出当 x=0.1 时割 线的斜率 . 五回顾总结 1平均变化率的概念 2函数在某点处附近的平均变化率 六布置作业 课后记 : 253 t 1.7 8 学习必备欢迎下载 课题 :导数的概念 教学目标： 1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3会求函数在某点的导数 教学重点： 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点： 导数的概念 教学过程 ： 一、复习引入 1、函数平均变化率： 21 21 ()()f xf xy xxx 11 ()()fxxf x x 2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线

9、)的斜率 3、 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高 台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。 二、知识探究 1、引例：计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内使静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= - 4.9t 2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0() 49 65 (hh，所以)/(0 0 49 65 )0() 49 65 ( ms hh v， 虽然运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情 况是运

10、动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 2、 瞬时速度： 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他 在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是 多少？考察2t附近的情况： h t o 学习必备欢迎下载 、思考：当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 、结论：当 t趋近于 0时，即无论t从小于 2的一边，还是从大于 2 的一边趋近于2 时， 平均速度v都趋近于一个确定的值13.1 、从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度， 因此，运动员在2t时的瞬时速度是1

11、3.1/m s 、为了表述方便，我们用 0 (2)(2) lim13.1 t hth t 表示“当2t，t趋近于 0 时， 平均速度v趋近于定值13.1” 、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 3、导数的概念：函数y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是: 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 我们称它为函数( )yf x在 0 xx出的导数，记作 0 ()fx 或 0 |x x y， 即 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 说明： （1）导数即为函数y=f(x

12、)在 x=x0处的瞬时变化率 （2） 0 xxx，当0x时， 0 xx，所以 0 0 0 0 ( )() ()lim x f xfx fx xx 4、一般地，求函数f(x) 在 xx0处的导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：y f(x x)f(x 0)； 第二步，求平均变化率： 00 ()()f xxf x y xx +- = V V VV 第三步，取极限，求导数： 0 0 ()lim x y fx x ? = V V V 5、常见结论：（1） 0 0 0 0 ( )() lim() xx f xf x fx xx ? - = - （2） 00 0 0 ()() lim() x f

13、xxf x fx x ? - = - V V V （3） 00 0 0 (2)() lim2() x f xxf x fx x ? +- = V V V （4） 00 0 0 ()() lim() x f xmxf xm fx nxn ? +- = V V V 三、典例分析 例 1 （1）求函数y=3x2在 x=1 处的导数 . 分析： 先求 y=f( x)- f( )=6x+( x) 2 学习必备欢迎下载 再求6 y x x 再求 0 lim6 x f x 解： 法一（略） 法二： 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx

14、（2）求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 00 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx 例 2 （课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和 加热，如果第 xh时，原油的温度（单位： C o ）为 2 ( )715(08)f xxxx，计算第 2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 (2)f和 (6)f 根据导数定义， 0 (2)()fxf xf xx 22 (2)7

15、(2)15(27215) 3 xx x x 所以 00 (2)limlim(3)3 xx f fx x 同理可得 :(6)5f 在第2h时和第 6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和 5，说明在2h附近，原油温度大 约以3/Ch o 的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch o 的速率上升 注：一般地， 0 ()fx反映了原油温度在时刻 0 x附近的变化情况 四课堂练习 1质点运动规律为3 2 ts，求质点在3t的瞬时速度为 2求曲线y=f(x)=x3在1x 时的导数 3例 2 中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义 五回顾总结 1瞬时速度、瞬时变化率的概念

16、 2导数的概念 六布置作业 学习必备欢迎下载 课题：导数的几何意义 教学目标： 1了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2理解曲线的切线的概念； 3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点： 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点： 导数的几何意义 教学过程： 一复习引入 1、函数 f(x) 在 xx0处的导数的含义是什么？ 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf x y fx xx +- = VV V V VV 2、求函数f(x)在 xx0处的导数有哪几个基本步骤？ 3、导数 f (x0) 表示函数f(x)在 x x

17、0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具 有某种几何意义，是一个需要探究的问题. 二知识探究 探究一：导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,()(1,2,3, 4) nnn Pxf xn沿着曲线( )f x趋 近于点 00 (,()P xf x时，割线 n PP的变化趋势是什么？ 我们发现 ,当点 n P沿着曲线无限接近点P 即 x0 时,割线 n PP趋近于确定的位置， 这个 确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的 切线 . 问题： 割线 n PP的斜率 n k与切线 PT 的斜率k有什么关系？ 切线 PT 的斜率k为多少？ 图 3.1-2 学习必备欢

18、迎下载 容易知道，割线 n PP的斜率是 0 0 ()() n n n f xf x k xx ,当点 n P沿着曲线无限接近点P 时， n k无 限趋近于切线PT 的斜率k，即 00 0 0 ()() lim() x f xxf x kfx x 说明： 、设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率 ,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在 0 xx处的导数 . 、曲线在某点处的切线： 、与该点的位置有关；、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此 点有切线 ,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无

19、切线；、曲线的切线,并不一定与曲线 只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义： 函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点 00 (,()xf x处的切线的斜率， 即： 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x 说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 、求出 P 点的坐标 ; 、求出函数在点 0 x处的变化率 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fxk x ，得到曲线在点 00 (,()xf x的切线的斜率； 、利用点斜式求切线方程. 探究二；导函数概念： 1、导函数定义： 由函数 f(x)在 x=x0处求导

20、数的过程可以看到 ,当 x=x0时, 0 ()fx是一个确定的数，那么, 当 x 变化时 ,便是 x 的一个函数 ,我们叫它为f(x)的导函数 .记作：( )fx或y， 即: 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fxy x 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数 2、函数( )f x在点 0 x处的导数 0 ()fx、导函数( )fx、导数之间的区别与联系。 1） 函数在一点处的导数 0 ()fx， 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限， 它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数 f(x) 的导函数 3）函数( )f x在点

21、 0 x处的导数 0 ()fx就是导函数( )fx在 0 xx处的函数值，这也是求函 数在点 0 x处的导数的方法之一。 学习必备欢迎下载 三典例分析 例 1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程 . （2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数 . 解： （1） 222 1 00 (1)1(11)2 |limlim2 x xx xxx y xx , 所以， 所求切线的斜率为2， 因此， 所求的切线方程为22(1)yx即20xy （ 2）因为 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx 所以， 所求

22、切线的斜率为6， 因此， 所求的切线方程为36(1)yx即630xy 练习：求函数f(x)=xx 2 在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解：x x xx x y 3 2)1()1( 2 2 00 ( 1)( 1)2 ( 1)limlim (3)3 xx yxx fx xx VV 例 2 （课本例2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间 变化的函数 2 ( )4.96.510h xxx，根据图像，请描述、 比较曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t附近的变化情况 解：我们用曲线( )h t在 0 t、 1 t、 2 t处的切线， 刻画曲线( )h t在 上述三个时刻附

23、近的变化情况 （1）当 0 tt时，曲线( )h t在 0 t处的切线 0 l平行于x轴，所 以，在 0 tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降 （2）当 1 tt时，曲线( )h t在 1 t处的切线 1 l的斜率 1 ( )0h t，所以，在 1 tt附近曲线下 降，即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 1 tt附近单调递减 （3）当 2 tt时，曲线( )h t在 2 t处的切线 2 l的斜率 2 ( )0h t，所以， 在 2 tt附近曲线下 降，即函数 2 ( )4.96.510h xxx在 2 tt附近单调递减 学习必备欢迎下载 从图 3.1-3 可以看出，直线 1 l的倾斜

24、程度小于直线 2 l的倾斜程度，这说明曲线在 1 t附近比 在 2 t附近下降的缓慢 例 3 （课本例3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度( )cf t(单位：/mg mL)随时间 t（单位：min）变化的图象根据图像，估计0.2, 0.4, 0.6,0.8t时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到0.1） 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度( )f t在此时刻的导数，从图 像上看，它表示曲线( )f t在此点处的切线的斜率 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药 物浓度瞬时变化率的近似值 作0.8t处的切线，并在切线上

25、去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为： 0.480.91 1.4 1.00.7 k 所以(0.8)1.4f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 ( ) ft0.4 0 - 0.7 - 1.4 四课堂练习 1求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线； 2求曲线yx在点(4,2)处的切线 五回顾总结 1曲线的切线及切线的斜率； 2导数的几何意义 六布置作业 课后记 学习必备欢迎下载 课题：几个常用函数的导数 教学目标： 1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y

26、x 的导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数 教学重点： 四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导数公式 教学过程： 一复习引入 1、导数 0 ()fx 的几何意义是什么？ 2、如何求函数f(x) 的导函数？ 3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度那么，对于函数( )yf x，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出 了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这 在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为

27、了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将 研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数 二知识探究 1函数( )yf xc的导数 根据导数定义，因为 ()( ) 0 yf xxf xcc xxx ， 所以 00 limlim 00 xx y y x 0y表示函数 yc图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0若y c表示路 程关于时间的函数， 则0y可以解释为某物体的瞬时速度为0， 即物体一直处于静止状态 2函数( )yf xx的导数 因为 ()( ) 1 yf xxf xxxx xxx 。 所以 00 limlim11 xx y y x 1y表示函数 yx图像（图

28、 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1若y x表示路 程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动 函数导数 yc 0y 函数导数 yx 1y 学习必备欢迎下载 3函数 2 ( )yf xx的导数 因为 22 ()( )()yf xxf xxxx xxx 2xx 所以 00 limlim(2)2 xx y yxxx x 2yx表示函数 2 yx图像（图 3.2-3） 上点( , )x y处的切线的斜率都为2x， 说明随着x 的变化， 切线的斜率也在变化另一方面， 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当 0x 时，随着x的增加，函数 2 yx减少得越来越慢；当

29、0x时，随着x的增加，函 数 2 yx增加得越来越快若 2 yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物 体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为 2x 4函数 1 ( )yf x x 的导数 因为 11 ()( )yf xxf x xxx xxx 2 ()1 () xxx x xxxxxx 所以 22 00 11 limlim() xx y y xxxxx 函数导数 1 y x 2 1 y x （2）推广：若 * ( )() n yf xxnQ，则 1 ( ) n fxnx 三课堂练习 1课本 P13探究 1； 2课本 P13探究 2；3求函数yx的导数 四回顾总结 五布置作业 函数导数

30、2 yx2yx 学习必备欢迎下载 课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则； 3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 教学重点： 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一复习引入 1、四种常见函数yc、yx、 2 yx、 1 y x 的导数公式及应用 二知识探究 探究一： 基本初等函数的导数公式表 探究二：导数的运算法则 导数运算法则 1 ( )( )( )( )f xg xfxg x 2 ( )( )( )

31、 ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 特别： ( )( )cf xcfx 函数导数 yc 0y * ( )() n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx ( ) x yfxa ln(0) x yaa a ( ) x yfxe x ye ( )log a f xx 1 ( )(01) ln fxaa xa 且 ( )lnf xx 1 ( )fx x 学习必备欢迎下载 3 2 ( )( )( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 三典例分析 例 1假设某国家在20 年期

32、间的年均通货膨胀率为 5%，物价p（单位：元）与时间t（单 位：年）有如下函数关系 0 ( )(15%) t p tp ，其中 0 p为0t时的物价假定某种商品的 0 1p，那么在第10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有 ( )1.05 ln1.05 t p t 所以 10 (10)1.05ln1.050.08p（元 /年） 因此，在第10 个年头，这种商品的价格约为0.08 元/年的速度上涨 例 2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数 （1） 3 23yxx（2）y xx1 1 1 1 ； （3）y x

33、sin x ln x； （4）y x x 4 ； （5）y x x ln1 ln1 （6）y （ 2 x25 x 1）ex （7） y xxx xxx sincos cossin 说明：求导数是在定义域内实行的求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心 例 3、日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增 加已知将1 吨水净化到纯净度为 %x 时所需费用为： 5284 ( )(80100) 100 c xx x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98% 解：略 四课堂练习 1课本 P92练习 2已知曲线C：y 3 x 42 x39 x2

34、4，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程； （y 12 x 8） 五回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六布置作业 课后记 学习必备欢迎下载 课题：复合函数的求导法则 教学目标： 理解并掌握复合函数的求导法则 教学重点： 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导 数乘以中间变量对自变量的导数之积 教学难点： 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确 教学过程： 一复习引入 1、基本初等函数的导数公式表 2、导数的运算法则 函数导数 yc 0y * ( )() n yf xxnQ 1n ynx sinyx cosyx

35、cosyx sinyx ( ) x yf xa ln(0) x yaa a ( ) x yf xe x ye ( )logafxx 1 ( )log( )(01) ln a f xxfxaa xa 且 ( )lnf xx 1 ( )fx x 导数运算法则 学习必备欢迎下载 二、知识探究 1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数( )yf u和( )ug x，如果通过变量u，y可 以表示成x的函数，那么称这个函数为函数( )yf u和( )ug x的复合函数，记作 ( )yfg x。 2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？ yln(x 2 3) y(2x 3) 3 ysin(ax 1) 3、复

36、合函数的导数：复合函数( )yfg x的导数和函数( )yf u和( )ug x的导数间 的关系为 xux yyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 若( )yfg x，则( )( )( )yfg xfg xgx 三典例分析 例 1 求下列函数的导数： （1）y(2x3)3；（2） 0.051x ye -+ = （3）sin()yxpj=+（4）yln(3x2). 例 2 求 y axx ax 2 2 的导数 例 3 求 y sin 4x cos 4x 的导数 【解法一】 y sin 4x cos 4x(sin 2x cos2x)22sin2cos2x1 2 1 sin22

37、x 1 4 1 （1cos 4 x） 4 3 4 1 cos 4 xy sin 4 x 【解法二】 y (sin 4 x) (cos 4 x) 4 sin 3 x(sin x) 4 cos 3x (cos x) 4 sin3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x) 2 sin 2 x cos 2 x sin 4 x 例 4 曲线 y x（x 1） （2x）有两条平行于直线y x 的切线，求此二切线之间的距离 【解】 y x 3 x 2 2 xy 3 x 22 x 2 令 y 1 即 3 x22 x 10，解 1 ( )(

38、 )( )( )f xg xfxg x 2 ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 特别： ( )( )cf xcfx 3 2 ( )( )( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) fxfx g xf x gx g x g x g x 学习必备欢迎下载 得x 3 1 或 x 1于是切点为P（1，2） ，Q（ 3 1 ， 27 14 ） ， 过点 P 的切线方程为，y 2x 1 即x y 10 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 2 |1 27 14 3 1 | 2 27 16 四课堂练习 1求下列函数的导数(1) y =si

39、nx3+sin33x； （2） 12 2sin x x y;(3)2(log 2 x a 2. 求)132ln( 2 xx的导数 五回顾总结 六布置作业 课题：函数的单调性与导数 教学目标： 1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点 ： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一情景导入 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小

40、值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会 导数在研究函数中的作用 二知识探究 1 问 题 ： 图3.3-1 （ 1 ）， 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度h随 时 间t变 化 的 函 数 2 ( )4.96.510h ttt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化 的函数 ( )( )9.86.5v th tt的图像 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： 、运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加

41、， 学习必备欢迎下载 即( )h t是增函数相应地， ( )( )0v th t 、从最高点到入水，运动员离水面的高度 h随时间t的增加而减少， 即( )h t是减函数相应地， ( )( )0v th t 2函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系 如图 3.3-3，导数 0 ()fx表示函数( )f x在点 00 (,)xy处的切线的斜率 在 0 xx处， 0 ()0fx ，切线是 “左下右上” 式的， 这时， 函数( )f x在0 x 附近单调递增； 在 1 xx处， 0 ()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数( )f x在 1 x附近单调递

42、减 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(, )a b内，如果 ( ) 0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递增；如 果 ( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递减 说明： （1）特别的，如果 ( ) 0fx，那么函数( )yf x在这个区间内是常函数 3求解函数( )yf x单调区间的步骤： （1）确定函数( )yf x的定义域； （2）求导数 ( )yfx； （3）解不等式 ( ) 0fx，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ( ) 0fx，解集在定义域内的部分为减区间 三典例分析 例 1已知导函数 ( )fx的下列信息：当14x时， ( )0fx

43、；当4x，或1x时， ( )0fx；当 4x，或1x时， ( )0fx，试画出函数 ( )yf x图像的大致形状 解：当14x时， ( )0fx，可知( )yf x在此区间内单调递增； O y x xy O y x 2 xy O y x 3 xy O y x x y 1 (1) (2)(3)(4) 学习必备欢迎下载 当 4x ，或 1x 时， ( )0fx；可知( )yf x在此区间内单调递减； 当4x，或1x时， ( )0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” 综上，函数( )yf x图像的大致形状如图3.3-4 所示 例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间 （1） 3 ( )3f

44、 xxx； （2） 2 ( )23f xxx （3）( )sin(0,)f xxx x；（4） 32 ( )23241f xxxx 解： （1）因为 3 ( )3f xxx，所以， 22 ( )333(1)0fxxx 因此， 3 ( )3f xxx在 R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示 （2）因为 2 ( )23f xxx，所以， ( ) 2221fxxx 当 ( )0fx，即1x时，函数 2 ( )23f xxx单调递增； 当 ( )0fx，即1x时，函数 2 ( )23f xxx单调递减； 函数 2 ( )23f xxx的图像如图3.3-5（2）所示 （3）因为( )sin(0,)f

45、 xxx x，所以， ( ) cos10fxx 因此，函数( )sinf xxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示 （4）因为 32 ( )23241f xxxx，所以 当 ( )0fx，即时，函数 2 ( )23f xxx； 当 ( )0fx，即时，函数 2 ( )23f xxx； 函数 32 ( )23241f xxxx的图像如图3.3-5（4）所示 注： （3） 、 （4）生练 学习必备欢迎下载 例3如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像 解： 1,2, 3,4BADC

46、 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的 快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些 如图 3.3-7 所示，函数( )yfx在0,b或, 0a内的图像“陡峭”， 在,b或,a 内的图像“平缓” 例4求证：函数 32 23121yxxx在区间2,1内是减函数 证明：因为 22 661262612yxxxxxx 当2,1x即21x时， 0y，所以函数 32 23121yxxx在区间2,1内 是减函数 说

47、明：证明可导函数fx在,a b内的单调性步骤： （1）求导函数 fx； （2）判断 fx在,a b内的符号； （3）做出结论： 0fx为增函数， 0fx为减函数 例 5、已知函数 23 2 ( )4 3 f xxaxx在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围 解 ： 2 ( )422fxaxx，因为fx在 区间1,1上 是增 函数，所以 ( )0fx对 1,1x恒成立，即 2 20xax对1,1x恒成立，解之得：11a 所以实数a的取值范围为1,1 学习必备欢迎下载 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关 系：即“若函数单调递增，则 ( )0fx；若

48、函数单调递减，则 ( ) 0fx”来求解，注意此 时公式中的等号不能省略，否则漏解 四课堂练习 1求下列函数的单调区间 （1）. f(x)=2x 36x2+7 2. f(x)= +2x 3. f(x)=sin x , x2,04. y=xlnx 2课本练习 五回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系（ 2）求解函数( )yf x单调区间 （3）证明可导函数fx 在,a b内的单调性 六布置作业 课后记 课题：函数的极值（一） 教学目标： 1、理解函数的极大值、极小值、极值点的意义. 2、掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 教学重点： 求函数的极值 . 教学难点： 严格套用求极值的步骤. 教学过程 ： 一、复习引入 1.函数 f(x)在区间 (a，b)内的单调性与其导数的正负有什么关系？ 2.利用导数