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1、学习必备欢迎下载 5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c(a2b)( ) A4 B3 C2 D0 解析：由 ab 及 ac，得 bc， 则 c(a2b) ca2cb0. 答案： D 2 若向量 a与b不共线， ab0， 且ca aa ab b， 则向量 a与 c 的夹角为 ( ) A0 B. 6 C. 3 D. 2 解析ac a a aa ab b aa a 2 abab a 2 a 20， 又 a0，c0，ac ， a，c 2 ，故选 D. 答案D 3. 设向量a=（1. cos ）与b=（-1 ， 2 cos）垂直，则 cos2等于 （）
2、A 2 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22 ,0,12cos0,cos22cos10.aba b正确的是 C. 答案 C 4 已知| a| 6， | b| 3， ab12， 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( ) A4 B4 C2 D 2 解析设 a 与 b 的夹角为 ，ab 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的 投影的乘积，而 cos ab | a| b| 2 3， | a|cos 6 2 3 4. 答案A 学习必备欢迎下载 5若 a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc| 的最大值为 ( ) A.21 B1 C.2 D 2 解析由已知
3、条件，向量 a，b，c 都是单位向量可以求出， a 21，b21，c21， 由 ab0，及( ac)( bc)0，可以知道， ( ab)cc 21，因为 | ab c| 2 a 2 b 2 c 2 2ab2ac 2bc，所以有 | a bc| 2 32( ac bc)1， 故|abc| 1. 答案B 6已知非零向量 a、b 满足| a| 3| b| ，若函数 f ( x) 1 3x 3| a| x22ab x1 在 xR上有极值，则 a，b的取值范围是 ( ) A. 0， 6 B. 0， 3 C. 6 ， 2 D. 6 ， 解析f ( x) 1 3x 3| a| x22ab x1 在 xR上有
4、极值， f (x)0 有两不 相等的实根， f (x)x 22| a| x2ab ，x22| a| x2ab 0 有两个不 相等的实根， 4| a| 28ab 0，即 ab 1 2| a| 2，cosa，b ab | a| b| ， | a| 3| b| ，cosa，b 1 2| a| 2 | a| b| 3 2 ，0 a，b， 6 a，b. 答案D 7 如 图 ， 已 知 正 六 边 形P1P2P3P4P5P6， 下 列 向 量 的 数 量 积 中 最 大 的 是 ( ) 学习必备欢迎下载 A.P1P2 P 1P3 B.P1P2 P1P4 C.P1P2 P 1P5 D.P1P2 P 1P6
5、解析由于P1P2 P 1P5 ，故其数量积是 0，可排除 C；P1P2 与P 1P6 的夹角是 2 3 ， 故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是 a， 则P1P2 P 1P3 | P1P2 | P 1P3 |cos 30 3 2a 2 ，P 1P2 P 1P4 | P1P2 | P1P4 |cos 60 a 2. 答案A 二、填空题 8 已知向量 a， b 均为单位向量，若它们的夹角是60， 则| a3b| 等于_ 解析|a3b| 2 a 26a b9b 2106cos607，| a3b| 7. 答案7 9. 已知向量 (3, 2)a , (31,4)amm ，若ab，则m的值为 解
6、析,3(31)( 2)(4)0,1aba bmmm 答案 1 10已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则 k_. 解析设 a 与 b 夹角为 ，由题意知 | a| 1，| b| 1，0且 . 由 ab 与向量 kab 垂直，得 ( ab)(kab)0，即 k| a| 2( k1)| a| b|cos | b|20，( k1)(1 cos )0. 又 1cos 0，k10，k1. 答案1 11已知 e1，e2是夹角为 2 3 的两个单位向量， ae12e2，bke1e2. 若 ab 0，则实数 k 的值为 _ 学习必备欢迎下载 解析由题意知
7、：ab(e12e2)(ke1e2) 0， 即ke 2 1e1e22ke1e22e 2 20， 即 kcos2 3 2kcos2 3 20, 化简可求得 k 5 4. 答案 5 4 12在等腰直角三角形ABC 中，D是斜边 BC的中点，如果 AB的长为 2，则(AB AC)AD的值为 _ 解析：|BC| 2| AB| 2| AC| 28， | AD| 1 2| BC| ，ABAC2AD， (AB AC)AD2ADAD 1 2| BC| 24. 答案： 4 三、解答题 13已知向量 a(1,2) ，b(2，2) (1) 设 c4ab，求(bc) a； (2) 若 ab 与 a 垂直，求 的值； (
8、3) 求向量 a 在 b 方向上的投影 解析： (1) a(1,2) ，b(2，2)， c4ab(4,8) (2，2)(6,6) bc2626 0，(bc) a 0a0. (2) a b(1,2) (2，2)(21,2 2)， 由于ab与a垂直， 212(22) 0，5 2. (3) 设向量 a 与 b 的夹角为 ， 向量 a 在 b 方向上的投影为 | a|cos . | a|cos ab | b| 12 2 2 2 2 22 2 2 . 14如图所示， AB (6,1) ，BC ( x，y)，CD ( 2，3) (1) 若BC DA ，求 x 与 y 之间的关系式； 学习必备欢迎下载 (2
9、) 在(1) 条件下，若 AC BD ，求 x，y 的值及四边形 ABCD 的面积 解析(1) AD AB BC CD ( x4，y2)，DA AD (x4,2 y) 又BC DA 且BC (x，y)，x(2y) y(x4)0， 即 x2y0. (2) 由于AC AB BC (x6，y1) ，BD BC CD ( x2，y3) ，又AC BD ， AC BD 0. 即(x6)( x2) (y1)( y3) 0， 联立化简，得y 22y30， y3 或 y1. 故当 y3 时，x6，此时 AC (0,4) ，BD (8,0) ， SABCD 1 2| AC | | BD | 16； 当 y1 时
10、，x2，此时 AC (8,0) ，BD (0 ，4)， SABCD 1 2| AC | | BD | 16. 15 已知平面上三点 A， B， C满足| AB | 3， | BC | 4， | CA | 5， 求AB BC BC CA CA AB 的值 解析由题意知 ABC 为直角三角形， AB BC ， 学习必备欢迎下载 AB BC 0，cosBAC 3 5， cosBCA 4 5， BC 和CA 夹角的余弦值为 4 5， CA 和AB 夹角的余弦值为 3 5， AB BC BC CA CA AB 20 4 5 15 3 5 25. 16设两向量 e1，e2满足| e1| 2，| e2| 1
11、，e1，e2的夹角为 60，若向量 2t e1 7e2与向量 e1t e2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围 思路分析转化为 (2t e17e2)(e1t e2) 0 且 2t e17e2(e1t e2)( 0) 解析由已知得 e 2 14，e 2 21，e1 e 221cos 60 1. (2t e17e2)(e1t e2) 2t e2 1(2t 27) e 1 e 27t e 2 22t 215t 7. 欲使夹角为钝角，需 2t 215t 70. 得7t 1 2. 设 2t e17e2( e1t e2)( 0) 2t ， 7t . 2t 27. t 14 2 ，此时 14. 即 t 14 2 时，向量 2t e17e2与 e1t e2的夹角为 . 夹角为钝角时， t 的取值范围是 7， 14 2 14 2 ， 1 2 学习必备欢迎下载