【优质文档】高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.pdf

资源描述

《【优质文档】高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】高一数学一元二次不等式解法练习题及答案.pdf（31页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、优秀学习资料欢迎下载高一数学一元二次不等式解法练习题及答案分析求算术根，被开方数必须是非负数解据题意有， x2x60，即(x3)(x 2)0，解在“两根之外”，所以x 3 或 x2 例 3若 ax2bx10 的解集为 x| 1x2 ，则 a_ ，b _ 分析根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个根，考虑韦达定理解根据题意， 1，2 应为方程 ax 2bx10 的两根，则由韦达定理知例若，则不等式的解是1 0a1(xa)(x)0 1 a Aax Bxa 1 1 a a Cxa Dxxa 或或 x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案a

2、 1 a 解，，解应当在“两根之间”，得选 0a1aax A 11 aa 例有意义，则的取值范围是2 xx 2 x6 优秀学习资料欢迎下载例 4解下列不等式 (1)(x 1)(3 x)52x (2)x(x 11)3(x1)2 (3)(2x 1)(x 3)3(x 22) 分析将不等式适当化简变为ax2bxc0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案 (过程请同学们自己完成) 答 (1)x|x2 或 x4 (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式 Ax|x 0 Bx|x 1 b a a () () 121 1 122 得 ab 1 2 1 2 ， (4)3x 2 3

3、1 3 2 51 1 3 1 2 2 xx xxx x ( )() (2)x|1x 3 2 (3) 例不等式的解集为5 1x 1 1x 优秀学习资料欢迎下载 Cx|x 1 Dx|x 1 或 x0 分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分 x20，x10，即 x1选 C 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解 A(x3)(2 x)0 B0x21 D(x3)(2 x)0 故排除 A、C、D，选 B 两边同减去2 得 0x21选 B 说明：注意“零” 解不等式化为，通分得，即， 1x0 00 1 1 11 22 x x x x x 例与不等式同解的不等式是6 0

4、 x x 3 2 C 2 3 0 x x 解法一原不等式的同解不等式组为， ()()xx x 3 20 20 解法二化为或即 x3 2 0x3(x3)(2x)02x3 x 例不等式的解为或，则的值为7 1x|x1x2a ax x1 优秀学习资料欢迎下载 (a 1)x 1(x 1)0，根据其解集为 x|x 1 或 x2 答选 C 说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧解先将原不等式转化为不等式进一步转化为同解不等式x22x30，即(x 3)(x 1)0，解之得 3x1解集为 x |3x1 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题例 9 已知集合 Ax|x 25

5、x40 与 Bx|x22axa2 Aa Ba Ca Da 1 2 1 2 1 2 1 2 分析可以先将不等式整理为，转化为0 ()ax x 11 1 可知，即，且， a10a12a 1 1 1 2a 例解不等式8 2 37 23 2 x xx 37 23 20 2 x xx 即，所以由于， 21 23 21 23 1 4 7 8 2 2 2 2 xx xx xx xx 00 2xx12(x)0 22 ，若，求的范围0BAa 优秀学习资料欢迎下载分析先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得 Ax|1 x4 设 yx22axa2(*) 4a 24(a2)0，

6、解得 1a2 说明：二次函数问题可以借助它的图像求解例 10解关于 x 的不等式 (x2)(ax 2)0 分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式BAa (1)BBA0若，则显然，由得 (2)B(*)116若，则抛物线的图像必须具有图特征：应有从而x|xxx x|1x4 12 12a120 42a4a20 14 12a 2 2 解得 a a2 2 18 7 综上所述得的范围为 a1a 18 7 优秀学习资料欢迎下载解 1 当 a0 时，原不等式化为 x20 其解集为 x|x 2 ； 4当 a1 时，原不等式化为(x2) 20，其解集

8、c0 的解集为 x| x (0 )，求 cx2bx a0 的解集分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a0，根据韦达定理知： a0，b0，c0 解法二 cx 2bxa0是 ax2bxa0 的倒数方程且 ax2bxc0 解为 x ，， b a c a 即， b a c a ()0 0 又， b a a c b c 由， b c c a a c ( 1 ) 1 11 对化为，cxbxa0xx0 22 b c a c 由得，是两个根且， 1

12、设)0()( 2 acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()( 2 acbxaxxf （1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或， ,0)(xxf在上恒成立 0)( 0)( f f （2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立 0)( 0)( f f ,0)(xxf在上恒成立 0)( 2 0 2 0)( 2 f a b a b f a b 或或类型 3： min )()(xfIxxf恒成立对一切 max )()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：

13、 )( )()()()()()( maxmin Ix xgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立优秀学习资料欢迎下载例 1：若不等式)1(12 2 xmx对满足22m的所有m都成立，求x 的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1( 2 x

14、xm，；令) 12()1()( 2 xxmmf，则22m时，0)(mf 恒成立，所以只需 0)2( 0)2( f f 即 0)12()1(2 0) 12() 1(2 2 2 xx xx ，所以 x 的范围是 ) 2 31 , 2 71 (x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)( 2 Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a 例 2：若不等式02)1()1( 2 xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1 是否

15、是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需 0) 1( 8) 1( 01 2 mm m ，所以，)9 ,1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxf min )(；（2）mxf)(对任意 x 都成立 max )(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在ABC中，已知2|)(|,2cos) 24 (sinsin4)( 2 mBfB B BBf且恒成立，求实数 m 的范围。解析：由优秀学习资料欢迎下载 1 , 0(sin,0,

16、1sin22cos) 24 (sinsin4)( 2 BBBB B BBf， 3, 1 ()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即 2)( 2)( Bfm Bfm 恒成立， 3, 1 (m 例 4：（ 1）求使不等式 ,0,cossinxxxa 恒成立的实数a 的范围。解析：由于函 4 3 , 4 4 ), 4 sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值 2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式) 2 ,0( 4 ,cossinxxxa恒成立的实数a 的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变

17、化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即 a 取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知恒成立有时当 2 1 )(,) 1 ,1(,)(,1,0 2 xfxaxxfaa x ，求实数 a 的取值范围。解析：由 xx axaxxf 2 1 2 1 )( 22 ，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1 和 x=1 处相交，则由 1

18、22 2 1 ) 1( 2 1 1aa及得到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数 xx yy) 2 1 (2 及的图象，所以，要想使函数 x ax 2 12 在区间) 1 ,1(x中恒成立，只须 x y2在区间)1 , 1(x对应的图象在 2 1 2 xy在区间优秀学习资料欢迎下载 )1 , 1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时才能保证，而 2 1 10aa时，只有才可以，所以2 ,1 ()1 , 2 1 a。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n) 为圆1)

19、1( 22 yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，则c 的取值范围是（） A、1221c B 、1212c C、12c D、12c 解析：由0cnm，可以看作是点P(m,n) 在直线0cyx的右侧，而点P(m,n) 在圆1)1( 22 yx上，实质相当于是1)1( 22 yx在直线的右侧并与它相离或相切。 12 1 11 |10| 010 22 cc c ，故选 D。其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习

20、。练习题： 1、对任意实数x，不等式),(0cossinRcbacxbxa恒成立的充要条件是 _ 。 22 bac 2、设 1 ,( 7 932 lglg在 a y xxx 上有意义，求实数a 的取值范围 .), 9 5 。优秀学习资料欢迎下载 3、当1|)3, 3 1 (xLogx a 时，恒成立，则实数a 的范围是 _。),3 3 1 ,0( 4、已知不等式： 3 2 )1( 12 11 2 1 1 1 aLog nnnn a 对一切大于1 的自然数 n 恒成立，求实数a 的范围。) 2 51 , 1(a 优秀学习资料欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把

21、不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()( 2 Rxacbxaxxf, 有 1）0)(xf对Rx恒成立 0 0a ; 2）0)(xf对Rx恒成立. 0 0a 例 1已知函数)1(lg 22 a

22、xaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1( 22 axax对Rx恒成立，即有 04)1( 22 aa解得 3 1 1aa或。所以实数a的取值范围为), 3 1 () 1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。优秀学习资料欢迎下载例 2设22)( 2 mxxxf，当), 1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)( 2 ，则当), 1x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为： 1 2 2 0)1( 0 m F解

23、得23m。综上可得实数m的取值范围为)1 ,3。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）axf)(恒成立 min )(xfa 2）axf)(恒成立 max )(xfa 例 3已知xxxxgaxxxf4042)(,287)( 232 ，当 3, 3x时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。解：设cxxxxgxfxF1232)()()( 23 ，则由题可知0)(xF对任意3,3x恒成立令01266)( 2 xxxF，得21xx或而,20)2(,7) 1(aFaF,9)3(,45)3(aFaF 045)( max axF 45a即实

24、数a的取值范围为),45。 O x y x - 1 优秀学习资料欢迎下载例 4函数), 1, 2 )( 2 x x axx xf，若对任意), 1x，0)(xf恒成立，求实数 a的取值范围。解：若对任意), 1 x，0)(xf恒成立，即对), 1x，0 2 )( 2 x axx xf恒成立，考虑到不等式的分母), 1x，只需02 2 axx在), 1x时恒成立而得而抛物线axxxg2)( 2 在), 1x的最小值03)1 ()( min agxg得3a 注：本题还可将)(xf变形为2)( x a xxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变

25、形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）aagxf)()(恒成立 max )()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立 max )()(xfag 实际上，上题就可利用此法解决。略解：02 2 axx在), 1x时恒成立，只要xxa2 2 在),1 x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)( 2 在), 1上的最大值为3，所以3a。例 5已知函数4, 0(,4)( 2 xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为 x xx a

26、2 4 对4,0(x恒成立。令 x xx xg 2 4 )(，则 min )(xga 由1 44 )( 2 xx xx xg可知)(xg在4,0(上为减函数，故0)4()( min gxg 优秀学习资料欢迎下载 0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意1 , 1a，不等式024)4( 2 axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等

27、式044)2( 2 xxax在1 , 1a上恒成立的问题。解：令44)2()( 2 xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（ 1 , 1a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有 0) 1( 0) 1( f f 解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1 ,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在,上恒有0)(xf的充要条件为 0)( 0)( f f 。四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： 1）)(

28、)(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方； 2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。优秀学习资料欢迎下载例 7设xxxf4)( 2 , axxg1 3 4 )(, 若恒有)()(xgxf成立, 求实数a的取值范围 . 分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg的图象如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2( 22 yyx )(xg的图象是平行的直线系03334ayx。要使 )()(xgxf 恒成立，则圆心)0, 2(到直线03334ayx的距离满足2 5 338a d 解得 3 5 5aa或（舍去 ) 由上可见，含参不等式恒成立问题因其

29、覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 x -2 -4 y O -4 优秀学习资料欢迎下载一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出 max fx，则 max afx；若afx恒成立，只须求出 min fx，则 min afx，转化为函数求最

30、值。例 1、已知函数lg2 a fxx x ，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21 a x x 在2,x上恒成立，即： 2 3axx在 2,x 上恒成立，设 2 3fxxx，则 2 39 24 fxx 当2x时， max 2fx所以2a 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fag x恒成立，只须求出 max g x ，则 max f ag x ，然后解不等式求出参数a的取值范围；若fag x恒成立，只须求出 min g x，则 min f ag x，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转

31、化为函数求最值。例 2、已知,1x时，不等式 2 1240 xx aa恒成立，求a的取值范围。解：令2 x t，,1x0,2t所以原不等式可化为： 2 2 1t aa t ，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出 2 1t ft t 在 0,2t 上的最小值即可。 22 2 111111 24 t ft tttt 11 , 2t min 3 2 4 ftf 2 3 4 aa 13 22 a 优秀学习资料欢迎下载二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若2,2x时，不等式 2 3xaxa恒成立，求a的取值范围

32、。解：设 2 3fxxaxa，则问题转化为当2,2x 时， fx 的最小值非负。（1）当2 2 a 即：4a时， min 2730fxfa 7 3 a又4a所以a不存在；（2）当22 2 a 即：44a时， 2 min 30 24 aa fxfa62a又 44a42a （3）当2 2 a 即： 4a 时， m i n 270fxfa7a 又 4a 74a 综上所得：72a 三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则

33、可简化解题过程。例 4、若不等式 2 211xm x对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。解：设 2 121fmm xx，对满足2m的m，0fm恒成立， 2 2 21210 20 20 21210 xx f f xx 解得： 1713 22 x 四、利用集合与集合间的关系优秀学习资料欢迎下载在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：,m nfag a，则f am且g an，不等式的解即为实数a 的取值范围。例 5、当 1 ,3 3 x时，log1 ax 恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1 a x （1）当1a时， 1 x

34、a a ，则问题转化为 11 ,3, 3 a a 3 11 3 a a 3a （2）当01a时， 1 ax a ，则问题转化为 11 ,3, 3 a a 1 3 1 3 a a 1 0 3 a 综上所得： 1 0 3 a或3a 五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式 2 3log0 a xx在 1 0, 3 x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知： 2 3log a xx在 1 0, 3 x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数 2 3yx和lo

35、g a yx 观察两函数图象，当 1 0, 3 x时，若 1a函数log a yx的图象显然在函数 2 3yx图象的下方，所以不成立；优秀学习资料欢迎下载当0 1a 时，由图可知，log a yx的图象必须过点 1 1 , 3 3 或在这个点的上方，则， 11 log 33 a 1 27 a 1 1 27 a 综上得： 1 1 27 a 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究）一、教学目标：理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数

36、学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究三、教学过程：通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例题 1：已知不等式(1)21xmx对0,3x恒成立，求实数m的取值范围。变式：已知不等式(1)21xmx对0,3m恒成立，求实数x的取值范围。优秀学习资料欢迎下载例题 2：已知不等式 2 220xax对xR恒成立，求实数a的取值范围。变式 1：已知不等式 2 220xax对1,2x恒成立，求实数a的取值范围。变式 2：已知不等式 2

37、 220xax对1,2x恒成立，求实数a的取值范围。优秀学习资料欢迎下载例题 3：当1,2x时，不等式 2 1log a xx恒成立，求实数a的取值范围。练习 1：已知函数 2 1 ( )ln(2) 2 f xxax在区间1,上为减函数，求实数a的取值范围。优秀学习资料欢迎下载练习 2：对于满足|2p的所有实数p，求使不等式 2 12xpxpx恒成立的x的取值范围。思考： 1、若不等式 2 21(1)xm x对满足| 2m的所有m都成立，求实数x的取值范围。优秀学习资料欢迎下载 2、设 5 0 4 a，若满足不等式|xab的一切实数x，能使不等式 21 | 2 xa恒成立，求

38、正实数b的取值范围。常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。 1 变量转换策略例 1 已知对于任意的a-1,1 ，函数f(x)=ax 2+(2 a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范围 . 解析本题按常规思路是分a=0 时f(x)是一次函数，a0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转

39、换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求优秀学习资料欢迎下载解。令g(a)=(x 2+2 x-1)a-4x+3 在a-1,1 时，g(a)0 恒成立，则 0)1 ( 0)1( g g ，得 133133x. 点评对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略例 2 已知aaxxxf3)( 2 ，若0)(,2,2xfx恒成立，求a的取值范围 . 解析本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0 或 0

40、)2( 0)2( 2 2 0 f f a 或 0)2( 0)2( 2 2 0 f f a ，即a的取值范围为 -7 ，2. 点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况 ,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了 . 3 函数最值策略例 3已知aaxxxf3)( 2 ，若2)(,2,2xfx恒成立，求a的取值范围 . 解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(,2,2 min xfx. 若2)(,2,2xfx恒成立2)(,2,2 min xfx 237)2()( 2 2 min afxf a 或 2 4 3)

41、 2 ()( 2 2 2 2 min a a a fxf a 或 27)2()( 2 2 min afxf a ，即a的取值范围为222, 5. 优秀学习资料欢迎下载点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法 ,只要利用mxf)(恒成立mxf min )(；mxf)(恒成立mxf max )(.本题也可以用零点分布策略求解. 4 变量分离策略例 4 已知函数|54|)( 2 xxxf，若在区间 5, 1上，kkxy3的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围 . 解析本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543,5, 1 2 xxkkxx

42、恒成立 ,式子中有两个变量 ,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于 543,5 , 1 2 xxkkxx恒成立 3 54 2 x xx k对于 5, 1x恒成立 ,令 5, 1, 3 54 2 x x xx y,设8 ,2,3ttx,则,8,2,10) 16 (t t ty4t当,即x=1 时 2maxy,k的取值范围是k2. 变式若本题中将kkxy3改为 2 )3(xky，其余条件不变，则也可以用变量分离法解. 由题意得，对于54)3(,5, 1 22 xxxkx恒成立 2 2 )3( 54 x xx k对于 5, 1x 恒成立 ,令5, 1, )3( 54 2 2 x x xx

43、 y,设8 ,2,3ttx,则, 16 9 ) 4 54 (1 10162 2 tt t y 8 ,2t，时即当 5 1 , 4 54 x t , 16 9 max y,k的取值范围是k 16 9 . 点评本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“ 对勾函数 ” ，从而求得最值 . 变式优秀学习资料欢迎下载题中构造的函数通过换元后转化为“ 二次函数型 ” ，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解. 5 数形结合策略例 5设函数xxaxf4)( 2 ,aaxxg)(,若恒有)()(x

44、gxf成立 ,试求实数a的取值范围 . 解析由题意得)()(xgxfaaxxx24 2 ,令xxy4 2 1 , aaxy22 . 可化为)0, 40(4)2( 1 2 1 2 yxyx，它表示以 (2,0) 为圆心， 2 为半径的上半圆；表示经过定点 (-2,0) ，以a为斜率的直线，要使)()(xgxf恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示 )当直线与半圆相切时就有2 1 |22| 2 a aa ，即 3 3 a，由图可知，要使 )()(xgxf恒成立，实数a的取值范围是 3 3 a 点评本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过

45、构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果. 6 消元转化策略例 6 已知f(x)是定义在 -1,1 上的奇函数 ,且f(1)=1, 若 0 )()( 0,1 , 1, nm nfmf nmnm时，若12)( 2 attxf对于所有的 1 , 1,1 ,1ax恒成立，求实数t的取值范围 . x y O 优秀学习资料欢迎下载解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在 -1,1 上的增函数 ,故f(x)在-1,1 上的最大值为f(1)=1, 则12)( 2 attxf 对于所有的 1 , 1,1 , 1ax恒成立121 2 att对于所有的 1 , 1a恒成立，即 02 2 tta对于所有的 1 , 1a恒成立，令 2 2)(ttaag，只要 0) 1( 0)1( g g ， 022ttt或或点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决 . 以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。

展开阅读全文