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1、学习必备欢迎下载 导数知识点归纳及其应用 知识点归纳 一、相关概念 1导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量x 在 x 0 处有增量x，那么函数y 相应地有增量y=f （x 0+ x） f （ x 0 ） ， 比 值 x y 叫 做 函 数y=f （ x） 在x 0 到x 0 + x之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 x y = x xfxxf)()( 00 。如果当0x时， x y 有极限， 我们就说函数y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做f （x）在点 x 0 处的导数，记作f （ x 0）或 y| 0 xx 。 即 f （ x0）= 0 lim x x y = 0
2、lim x x xfxxf)()( 00 。 说明： （1）函数f （x）在点x 0处可导，是指 0x时， x y 有极限。如果 x y 不存在极限， 就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x是自变量x 在 x 0处的改变量， 0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x 0处的导数的步骤： 求函数的增量y=f （x 0+ x） f （x 0） ； 求平均变化率 x y = x xfxxf)()(00 ； 取极限，得导数f (x 0 )= x y x0 lim。 例： 设 f(x)= x|x|, 则 f (0)= . 解析 ： 0|lim
3、| lim )( lim )0()0( lim 0000 x x xx x xf x fxf xxxx f (0)=0 2导数的几何意义 函数 y=f （x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f （x）在点 p（x 0，f （x0） ）处的切线 的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x 0， f （x0 ） ）处的切线的斜率是f （ x 0 ） 。 相应地，切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ） （ xx 0 ） 。 学习必备欢迎下载 例： 在函数xxy8 3 的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐标为整数的点的个数 是( ) A3 B 2 C1 D0 解析 ：切
4、线的斜率为83 2/ xyk 又切线的倾斜角小于 4 ，即10k 故1830 2 x 解得：3 3 8 3 8 3xx或 故没有坐标为整数的点 3. 导数的物理意义 如果物体运动的规律是s=s（t） ，那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s（t） 。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t） ， 则该物体在时刻t 的加速度a=v （t ） 。 例。 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程s看作时间t的函数，其图像可能是（） 答： A。 练习： 已知质点M按规律32 2 ts做直线运动（位移单位：cm，时间单位： s） 。 （1）当 t=2
5、，01.0t时，求 t s ； （2）当 t=2 ，001.0t时，求 t s ； （3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。 答案： （1）8.02 s cm （2）8.002 s cm ； （ 3）8 s cm 二、导数的运算 1基本函数的导数公式: 0;C（C为常数） 1;nn xnx (sin)cosxx; s t O A s t O s t O s t O BCD 学习必备欢迎下载 (cos )sinxx; (); xx ee ()ln xx aaa; 1 ln x x ; 1 lglog aa oxe x . 例 1：下列求导运算正确的是 ( ) A(x+ 2 1 1) 1 xx
6、B(log 2x) = 2ln 1 x C(3 x) =3xlog 3e D (x 2cosx) =-2xsinx 例 2：设f0(x) sinx，f1(x) f0(x) ，f2(x) f1(x) ，fn1(x) fn(x) ，n N， 则f2005(x) ( ) Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 2导数的运算法则 法则 1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 )， 即： (.) vuvu 法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)( uvvuuv 若 C 为常数 , 则
7、 0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘 以函数的导数：.)( CuCu 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方： v u 2 v uvvu （v0） 。 例： 设 f(x)、 g(x) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当 x0 时,)()()()(xgxfxgxf 0. 且 g(3)=0. 则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( ) A (-3,0)(3,+ ) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+ ) D (-,- 3)(0, 3) 解析 ：当 x0 时,)()()()(xgxfx
8、gxf0 ，即0)()( / xgxf 学习必备欢迎下载 当 x0 时， f(x)g(x)为增函数， 又 g(x) 是偶函数且g(3)=0 ，g(-3)=0 ，f(-3)g(-3)=0 故当3x时， f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数， 当 x0 时， f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)=0 故当30x时， f(x)g(x) 0 故选 D 3. 复合函数的导数 形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤： 分解 求导 回代。 法则： y| X = y | U u| X 或者( )( )*( )fxfx. 练习： 求下列各函数的导数： （1）; sin 2 5
9、 x xxx y（2）);3)(2)(1(xxxy （3）; 4 cos21 2 sin 2xx y（4）. 1 1 1 1 xx y 三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数 （1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导， 如果 f)(x0，则)(xf在此区间上为 增函数；如果 f 0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。 （2）如果在某区间内恒有 f0)(x，则)(xf为常数 。 例： 函数13)( 23 xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B )2,( C )0,( D （0，2） 2极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为
10、正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 例： 函数,93)( 23 xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值，则a= ( ) A2 B3 C 4 D5 3最值： 在区间 a ，b 上连续的函数f)(x在a ，b 上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内 学习必备欢迎下载 连续函数f （x）不一定有最大值，例如 3 ( ),( 1,1)fxxx。 求最值步骤 ： 求函数?)(x在(a，b)内的极值；求函数?)(x在区间端点的值? (a) 、?(b) ； 将函数?)(x的各极值与? (a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值， 其中最小的是 最小值。 说明： （1）函数的
11、最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函 数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 （2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间 内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成 为最值，最值只要不在端点处必定是极值。 例： 函数13)( 3 xxxf在闭区间 -3 ， 0 上的最大值、最小值分别是 . 经典例题选讲 例 1.已知函数)(x f x y的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），
12、下面 四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 例 2. 设xaxxf 3 )(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。 例 3.已知函数dxbxxxfc)( 23 的图象过点P（0,2 ）, 且在点M)1(, 1(f处的 学习必备欢迎下载 切线方程为076yx. （）求函数)(xfy的解析式； （）求函数)(xfy的单调区间 . 例 4.设函数 32 ()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xf xfx是奇函数。 （）求b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。 例 5.已知 f （x） =cbxaxx 23 在 x=1， x= 3 2 时，都取得极值。 （
13、1）求 a、b 的值。 （2）若对2, 1x，都有 c xf 1 )(恒成立，求c 的取值范围。 例6.已 知1x是 函 数 32 ( )3(1)1f xmxmxnx的 一 个 极 值 点 ， 其 中 ,0m nR m， （I ）求m与n的关系式； （II ）求( )fx的单调区间； （III）当1 ,1x时，函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的 取值范围 . 例 7： （2009 天津理 20） 已知函数 22 ( )(23 )(), x f xxaxaa exR其中aR （1）当0a时，求曲线( )(1, (1)yf xf在点处的切线的斜率； w.w.w.ks.5
14、.u.c.o.m （2）当 2 3 a时，求函数( )f x的单调区间与极值。 w.w.ws.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。 学习必备欢迎下载 参考答案： 例 1 解析 ：由函数)(xf xy的图象可知： 当1x时，)(x f x 0，此时)(xf增 当01x时，)(xf x0，)(xf0，)(xf0，此时)(xf增，故选C 例 2. 解：13)( 2 axxf 若 0a ，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾 若0a，01)(xf),(x，)
15、(xf也只有一个单调区间，矛盾 若0a) |3 1 () |3 1 (3)( a x a xaxf，此时)(xf恰有三个单调区间 0a且 单 调 减 区 间 为) |3 1 ,( a 和), |3 1 ( a ， 单 调 增 区 间 为 ) |3 1 , |3 1 ( aa 例 3 . 解： （）由)(xf的图象经过P （0，2） ，知 d=2， 所以,2)( 23 cxbxxxf .23)( 2 cbxxxf 由在)1(,1(fM处的切线方程是076yx，知 .6) 1(, 1) 1(, 07)1(6fff即 .3 , 0 , 32 . 121 , 623 cb cb cb cb cb 解得
16、即 故所求的解析式是.233)( 23 xxxxf 学习必备欢迎下载 （）.012,0363.363)( 222 xxxxxxxf即令 解得.21,21 21 xx当;0)(,21,21xfxx时或 当.0)(,2121xfx时 故)21 ,(233)( 23 在xxxxf内是增函数， 在 )21 ,21 ( 内是减函数，在 ),21 ( 内是增函数 . 例 4. 解： （） 32 fxxbxcx， 2 32fxxbxc。从而 322 ( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc 32 (3)(2 )xbxcb xc是 一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b； （
17、）由（）知 3 ( )6g xxx，从而 2 ( )36gxx，由此可知， (,2)和( 2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调 递减区间； ( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2， ( )g x在2x时，取得极小值，极小值为4 2。 例 5. 解： （1）由题意f / （x） =baxx23 2 的两个根分别为1 和 3 2 由韦达定理，得：1 3 2 = 3 2a ，) 3 2 (1 3 b 则 2 1 a，2b （2）由（ 1） ，有 f （x） =cxxx2 2 1 23 ，f / （x）=23 2 xx 当) 3 2 ,1x时，0)( /
18、 xf ， 当)1 , 3 2 (x时，0)( / xf ， 当2, 1(x时， 0)( / xf， 当 3 2 x时，)(xf有极大值c 27 22 ，cfcf2)2(, 2 1 )1(， 当2, 1x，)(xf的最大值为cf2)2( 对2,1x，都有 c xf 1 )(恒成立， c c 1 2， 解得, 120c或, 12c 例 6. 解： (I) 2 ( )36(1)fxmxmxn因为1x是函数( )fx的一个极值点, 所以(1)0f, 即36(1)0mmn，所以36nm 学习必备欢迎下载 （II ）由（ I ）知， 2 ( )36(1)36fxmxmxm= 2 3 (1)1m xx m
19、 当0m时，有 2 11 m ，当x变化时， ( )fx 与 ( )fx 的变化如下表： x 2 ,1 m 2 1 m 2 1,1 m 1 1, ( )fx 00 00 0 ( )f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减 故有上表知，当0m时，( )f x在 2 ,1 m 单调递减， 在 2 (1,1) m 单调递增，在(1,)上单调递减 . （ III）由已知得( )3fxm，即 2 2(1)20mxmx 又0m所以 2 22 (1)0xmx mm 即 2 22 (1)0,1,1xmxx mm 设 2 12 ( )2(1)g xxx mm ，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 所以 22
20、( 1)0120 (1)0 10 g mm g 解之得 4 3 m又0m 所以 4 0 3 m即m的取值范围为 4 ,0 3 例 7. 解： （I）.3)1( )2()( )(0 22 efexxxfexxfa xx ，故，时，当 .3)1(,1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 （II ）.42)2()( 22x eaaxaxxf w.w.w.s.5.u.c.o.m . 22 3 2 .220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。 （1）a若 3 2 ，则a22a. 当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： xa2，a222aa，2a，2a 学
21、习必备欢迎下载 + 0 0 + 极大值极小值 .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf .3)2()2(2)( 2a aeafafaxxf，且处取得极大值在函数 w.w.ws.5.u.c.o.m .)34()2()2(2)( 2a eaafafaxxf，且处取得极小值在函数 （2）a若 3 2 ，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表： x 2a，2aaa22，a2，a2 + 0 0 + 极大值极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf .)34()2()2(2)( 2a eaafafaxxf，且处取得极大值在函数