【优质文档】高中数学常用结论(新课标理科版).pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 1. 德摩根公式();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. 2. UU ABAABBABC BC A U AC B U C ABR 3. 若 = 123 , n a aaa, 则的子集有 2 n 个, 真子集有 ( 2 n 1) 个, 非空真子集有 ( 2 n 2) 个 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 一 般 式 2 ( )(0)f xaxbxc a; 顶 点 式 2 ( )()(0)f xa xhk a; 零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 三次函数的解析式的三种形式一般式 32 ( )(0)f x

2、axbxcxd a 零点式 123 ( )()()()(0)f xa xxxxxxa 5. 设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是增函数； 1212 ()()()0xxf xf x 12 12 ()() 0( ), f xf x f xa b xx 在上是减函数 . 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则 )(xf为减函数 . 6. 函数( )yf x的图象的对称性 : 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax

3、(2)( )faxf x 函数( )yf x的图象关于直 2 ab x对称()()f a xf b x()( )f a b xf x. 函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称( )(2)f xfax 函数( )yf x的图象关于点( , )a b对称( )2(2)f xbfa x 7. 两个函数图象的对称性 : 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0x( 即 y 轴)对称. 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称. 特殊地 : ()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称 函数( )yf x的图象关于直线xa对称的解析式

4、为(2)yfax 函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称的解析式为(2)yfax 函数)(xfy和)( 1 xfy的图象关于直线 y=x 对称. 8. 分数指数幂 m nm n aa（0,am nN，且1n）. 1 m n m n a a （0,am nN，且1n）. 9.log(0,1,0) b a NbaN aaN . logloglog aaa MNMN (0.1,0,0)aaMN logloglog aaa M MN N (0.1,0,0)aaMN 10. 对数的换底公式 log log log m a m N N a . 推论loglogm n a a n bb m . 对数

5、恒等式 logaN aN（0,1aa） 11. 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 12. 等差数列 n a的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 13. 等差数列 n a的变通项公式dmnaa mn )( 对于等差数列 n a，若qpmn，(m,n,p,q 为正整数 )则 qpmn aaaa。 14.若数列 n a是等差数列， n S是其前 n 项的和， * Nk，那么 k S， kk SS2， kk SS 23 成 等差数列。如下图所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaa

6、aa 3 232k 31221 S 321 其前 n 项和公式 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 15. 数列 n a是等差数列 n aknb,数列 n a是等差数列 n S= 2 AnBn 16设数列 n a是等差数列， 奇 S是奇数项的和， 偶 S是偶数项项的和， n S是前 n 项的和， 则有如下性质： 1 前 n项的和 偶奇 SSSn 2 当 n为偶数时，d 2 n S奇 偶 S，其中 d为公差； 3 当n 为 奇 数 时 ， 则中偶奇aSS，中奇 a 2 1n S ，中偶 a 2 1n S ， 1 1 S S

7、 n n 偶 奇 ， n 偶奇 偶奇 偶奇SS SS SS Sn （其中 中a是等差数列的中间一项） 。 优秀学习资料欢迎下载 17若等差数列 n a的前12n项的和为 12n S，等差数列 n b的前12n项的和为 12n S， 则 12 12 n n n n S S b a 。 18. 等比数列 n a的通项公式 1*1 1 () nn n a aa qqnN q ； 等比数列 n a的变通项公式 mn mn qaa 其前 n 项的和公式 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 19. 对于等比

8、数列 n a，若vumn(n,m,u,v 为正整数 )，则 vumn aaaa 也就是： 23121nnn aaaaaa。如图所示： n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 , 12321 20. 数列 n a是等比数列， n S是其前 n 项的和， * Nk，那么 k S， kk SS2， kk SS 23 成等比 数列。如下图所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 21. 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1， tan= cos sin ， tan1cot. 2 2 1 1tan cos 22. 正

9、弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin, sin() 2 ( 1)cos, n n n n n 为偶数 为奇数 2 1 2 ( 1) cos , cos() 2 ( 1)sin, n n n n n 为偶数 为奇数 即: 奇变偶不变 , 符号看象限 , 如 cos()sin,sin()cos 22 sin()sin,cos()cos 23. 和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan . 22 sin()sin()sinsin(平方正弦公式 ); 22 cos()cos()cossin. sin

10、cosab= 22 sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tan b a ). 24. 二倍角公式sin22sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. （升幂公式） 221cos21 cos2 cos,sin 22 （降幂公式） 2 2 tan tan2 1tan . 25. 万能公式 : 2 2 tan sin2 1tan , 2 2 1tan cos2 1tan * 26. 半角公式 : sin1cos tan 21cossin 27. 三函数的周期公式 函数sin()yAx，xR及函数cos()yAx，xR(A,为常数，且 A0， 0

11、)的周期 2 T；若未说明大于 0, 则 2 | T 函数tan()yx，, 2 xkkZ(A, ,为常数，且 A0，0) 的周期T. 28. sinyx的单调递增区间为2,2 22 kkkZ单调递减区间为 3 2,2 22 kkkZ，对称轴为() 2 xkkZ , 对称中心为,0k()kZ 29. cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ 单调递减区间为2,2kkkZ ， 对称轴为()xkkZ, 对称中心为,0 2 k()kZ 优秀学习资料欢迎下载 30. tanyx的单调递增区间为, 22 kkkZ，对称中心为 (,0)() 2 k kZ 31. 正弦定理2 sinsinsin abc R

12、 ABC 32. 余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 33. 面积定理（ 1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、分别表示 a、b、c 边上的高） . （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. 34. 三角形内角和定理在ABC中，有 () 222 CAB ABCCAB222()CAB. 35. 平面两点间的距离公式 ,A B d=|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A 11 (,)xy，B 22 (,)xy). 36. 向量的平行与垂直设 a= 11 (,)x

13、y, b= 22 (,)xy，且 b0，则 abb=a 1221 0x yx y. ab( a0)ab=0 1212 0x xy y. 37. 线段的定比分公式设 111 (,)P xy， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段 12 PP的分点 ,是实数，且 12 PPPP ，则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 (1)OPtOPt OP （ 1 1 t）. 38. 若OAxOByOB则 A,B,C 共线的充要条件是x+y=1 39. 三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y)、 33 C(

14、x ,y), 则ABC的重心的坐标是 123123 (,) 33 xxxyyy G. 40. 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP ( 图形 F 上的任意一点 P(x， y) 在平移后图形 F 上的对应点为 (,)P x y，且 PP的坐标为( ,)h k). 41. 常用不等式： （1）,a bR 22 2abab(当且仅当 ab 时取“ =”号) （2）,a bR 2 ab ab( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4）bababa注意等号成立的条件 （5） 22 2 (0,0) 11 22 abab abab a

15、b （6） n i i n i n i iii baba 1 2 11 22 )()()(，等号当且仅当)21(nikba ii ，时成立 42. 极值定理已知yx,都是正数，则有 （1）如果积 xy是定值 p ，那么当yx时和yx有最小值p2； （2）如果和yx是定值s，那么当yx时积 xy有最大值 2 4 1 s. 43. 一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac，如果a与 2 axbxc同 号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之间 . 简言之：同 号两根之外，异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121

16、212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. 44. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa. 22 xaxaxa 或xa. 45. 无理不等式（ 1） ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x （2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( )( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. （3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . * 46. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, 优秀学习资料欢迎下载 ( )(

17、 ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . (2) 当 01a时, ( )( ) ( )( ) fxg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 47. 斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 (,)P xy、 222 (,)Pxy） 直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为 k =(0) b a a 48. 直线方程的五种形式 : （1）点斜式 11 ()yyk xx(直线

18、l 过点 111 (,)P xy，且斜率为 k ) （2）斜截式ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx ( 12 yy)( 111 (,)P xy、 222 (,)P xy ( 12 xx). （4）截距式1( , xy a bxyab ab 分别为轴 轴上的截距 , 且0,0) （5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 49. 两条直线的平行和垂直（1）若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 ,llkk bb ; 1212 1llk k . (2)若 1111 :0lA xB yC, 2

19、222 :0lA xB yC, 1212211221 00llA BA BACA C且 ； 121212 0llA AB B ； 50. 夹角公式 21 21 tan| 1 kk k k .( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 1 2 1k k ) 1221 1212 tan A BA B A AB B ( 1111 :0lA xB yC, 2222 :0lA xByC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线 l1与 l2的夹角是 2 . 直线 l1到 l2的角是 21 21 tan 1 kk k k ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb,

20、 12 1k k ) 51. 点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线 l ：0AxByC). 52两条平行线的间距离 21 22 |CC d AB (直线 l 1：12212 0,0,)AxByCl AxByCCC). 53. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF 0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr . （4）圆的直径式方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy( 圆的直径的端点是 11 (,)A x y、 22 (,)B xy)

21、. 54. 圆中有关重要结论 : (1) 若 P( 0 x, 0 y) 是圆 222 xyr上的点 , 则过点 P( 0 x, 0 y)的切线方程为 2 00 xxyyr (2) 若 P( 0 x, 0 y) 是 圆 222 ()()xaybr上 的点 , 则 过点P( 0 x, 0 y) 的切线方程为 2 00 ()()()()xa xaybybr (3) 若 P( 0 x, 0 y)是圆 222 xyr外一点 , 由 P( 0 x, 0 y)向圆引两条切线 , 切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为 2 00 xxyyr (4) 若 P( 0 x, 0 y)是圆 222 ()()xayb

22、r外一点 , 由 P( 0 x, 0 y) 向圆引两条切线 , 切点分 别为 A,B 则直线 AB的方程为 2 00 ()()()()xaxaybybr 55. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是 cos sin xa yb . 56. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 焦半径公式)( 2 1 c a xePF，)( 2 2x c a ePF. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的准线方程为 2 a x c , 椭圆 22 22 1(0) xy ab ba 的准线方程 为 2 a y c 57. 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的通

23、径 ( 过焦点且垂直于对称轴的弦) 长为 2 2b a 58. 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的准线方程为 2 a x c 优秀学习资料欢迎下载 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ba 的准线方程为 2 a y c 59. 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ba 的的渐近线方程为 a yx b 60. 抛 物 线pxy2 2 上 的 动 点 可 设 为 P), 2 ( 2 y p y 或或)2,2( 2 ptptPP(,)xy， 其 中 2 2ypx. 61. P(

24、0 x, 0 y)是抛物线pxy2 2 上的一点 ,F 是它的焦点 , 则|PF|= 0 x+ 2 p 62. 抛物线pxy2 2 的焦点弦长 2 2 sin p l, 其中是焦点弦与 x 轴的夹角 63. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy或 22 12 |11ABxxkk a （弦端点 A),(),( 2211 yxByx，由方程 0)y,x(F bkxy 消去 y 得到0 2 cbxax，0, k 为直线的斜率） . 若（弦端点 A),(),( 2211 yxByx由方程 0)y,x(F bkxy 消去 x 得到 2 0aybyc，0, k 为 直线的斜率

25、） . 则 12 22 11 | 11AByy kak 64. 圆锥曲线( , )0F x y关于点 00 (,)P xy成中心对称的曲线是 00 (2- ,2)0Fx xyy. 65. 共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=b 66. 对空间任一点 O和不共线的三点A、B、C ，满足OPxOAyOBzOC， 则四点 P、A、B、C是共面1xyz 67. 空间两个向量的夹角公式 cos a，b= 1 12233 222222 123123 a ba ba b aaabbb （a 123 (,)a aa，b 123 (,)b b b）. 68. 直线 AB 与平面

26、所成角sin | AB m arc AB m (m为平面的法向量 ) . 69. 二面角l的平面角cos| | m n arc m n 或cos| | m n arc m n （m，n为平面，的 法向量） . 70. 设 AC是内的任一条直线，且BC AC ，垂足为 C ，又设 AO与 AB所成的角为 1，AB与 AC所成的角为 2，AO与 AC所成的角为 则 12 coscoscos. 71. 空间两点间的距离公式若 A 111 (,)xy z，B 222 (,)xyz，则 ,A B d=|ABAB AB 222 212121 ()()()xxyyzz. 72. 异面直线间的距离 | | C

27、D n d n ( 12 ,ll是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是 12 ,ll 上任一点， d 为 12 ,l l间的距离 ). 73. 点 B 到平面的距离 | | AB n d n （n为平面的法向量， AB是经过面的一条斜线， A）. 74. 面积射影定理 cos S S (平面多边形及其射影的面积分别是S、 S，它们所在平面所成锐二面角的为). 75. 球的半径是 R，则其体积是 3 4 3 VR, 其表面积是 2 4SR 1 , 3 VShVSh 锥柱 76. 判定两线平行的方法：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（2）垂直于同一平面 的两条直线互相平行 （3）如果一

28、条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行（ 5）在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 77. 判定线面平行的方法：（1）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点（2）如果平 面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 （3）两面平 行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中的一条 平行于平面， 则另一条也平行于该平面 （5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个 平面平行，则也平行于另一个平面 78. 判定面面平行的方法：（

29、1）定义：没有公共点（ 2）如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一 平面的两个平面平行 79. 面面平行的性质：（1）两平行平面没有公共点（2）两平面平行，则一个平面上的任一 优秀学习资料欢迎下载 直线平行于另一平面（ 3）两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行（4）垂直于两 平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 80. 判定两线垂直的方法： （1）定义：成 90 角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任 一直线垂直（ 3）在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它 也和这条斜线垂直（ 4）

30、在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它 也和这条斜线的射影垂直 （5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一 条垂直 81. 判定线面垂直的方法： （1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则 线面垂直（ 2）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两 条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 （4）一条直线垂直于两 个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个 平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 （6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 8

31、2. 判定面面垂直的方法： （1）定义：两面成直二面角, 则两面垂直（ 2）一个平面经过另 一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 83.面面垂直的性质：（1）二面角的平面角为 90 （2）在一个平面内垂直于交线的直线必垂 直于另一个平面（ 3）相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 84. 分 类 计 数 原 理 （ 加 法 原 理 ） 12n Nmmm；分 步计 数 原 理 （ 乘 法 原 理 ） 12n Nmmm. 85. 排列数公式 m n A=)1()1(mnnn= ！ ！ )(mn n .(n，mN * ，且 mn) 组合数公式 m n C= m n m m A

32、A = m mnnn 21 )1()1( = ！ ！ )(mnm n (n，mN * ，且 mn ). 86. 排列恒等式（1） 1 (1) mm nn AnmA; （2） 1 mm nn n AA nm ; （3） 1 1 mm nn AnA; （4） 1 1 nnn nnn nAAA ; （5） 1 1 mmm nnn AAmA . 87. 组合数的两个性质 (1) m n C= mn n C ;(2) m n C+ 1m n C= m n C 1 88. 组合恒等式（ 1） 1 1 mm nn nm CC m ; （2） 1 mm nn n CC nm ; （3） 1 1 mm nn n

33、 CC m ; （4） 1 1 kk nn kCnC（5） n r r n C 0 = n 2 ; （6） 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC. 89. 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 )( ; 二项展开式的通项公式： rrnr nr baCT 1)210(nr，. 90. 等可能性事件的概率() m P A n . 91. 互斥事件 A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B) n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 92. 独立事

34、件 A，B同时发生的概率 P(AB)= P(A) P(B). 事件 A发生的条件下事件B发生的条件概率 () (|) () P AB P BA P A 93.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 94.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1). kkn k nn P kC PP 95. 函数)(xfy在点 0x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf， 相 应的切线方程是)( 000 xxxfyy. 96. 导数与函数的单调性的关系：0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。 0)(xf是

35、)(xf为增函数的必要不充分条件。 97. 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： )()()( 2121 xfxfxxf正比例函数)0()(kkxxf )()()( 2121 xfxfxxf；)()()( 2121 xfxfxxf( ) x f xa )()()( 2121 xfxfxxf；)()()( 21 2 1 xfxf x x f( )logaf xx 98.n 个数据 123 , n x xxx, 则它们的平均数为 123 1 () n xxxxx n , 方差 2 s= 2222 123 1 ()()()() n xxxxxxxx n 99.微积分基本公式： aFbFxFdxxf b a b a 100.微积分的运算性质： dxxfAdxxAf b a b a dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a dxxfdxxf a b b a dxxfdxxfdxxf b c c a b a