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1、(时间： 100 分钟，满分：120 分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1(2014 吉安高二检测)i 是虚数单位，则 i 1i 的虚部是 () A. 1 2i B 1 2i C.1 2 D 1 2 解析： 选 C. i 1i i 1i 1 i1i 1i 2 1 2 1 2i. 2复数 zii 2 i3i4 的值是 () A 1 B0 C1 Di 解析： 选 B.zii 2i3i4 i1 i10. 3复数 1i 2 2a bi(a，bR，i 是虚数单位 )，则 a2b2 的值为 () A0 B1 C2 D
2、1 解析： 选 D. 1 i 2 212ii 2 2 iabi， 所以 a 0，b 1， 所以 a2b201 1.故选 D. 4(2014 邯郸质检 )复数 5 34i 的共轭复数是 () A. 3 5 4 5i B.3 5 4 5i C34i D34i 解析： 选 A. 5 34i 5 34i 34i3 4i 3 5 4 5i， 5 34i 的共轭复数为 3 5 4 5i. 5当 4， 3 4 时，复数 (cos sin )(cos sin )i 在复平面内的对应点在() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析： 选 D.当 4， 3 4 时， cos sin 2sin( 4 0，
3、 cos sin 2sin 4 0， 复数对应点在第四象限 6(2014 安徽联考 )已知 i 是虚数单位， 若 z1ai，z2ai， z1 z2为纯虚数， 则实数 a ( ) A 1 B0 C1 D1 或 1 解析： 选 D. z1 z2 ai ai a i 2 a 21 a 212ai a 21 ， a 1. 7(2013 高考课标全国卷)若复数 z 满足 (34i) z|43i|，则 z 的虚部为 () A 4 B 4 5 C4 D.4 5 解析： 选 D.z |43i| 34i 5 34i 25 3 5 4 5i. 8在如图所示的复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i，
4、2i,0，那 么这个正方形的第四个顶点对应的复数为() A3i B3i C13i D 13i 解析： 选 D.OC OA OB 12i2i 13i， 所以 C 对应的复数为13i. 9一元二次方程x 2(5i)x4i0 有一个实根 x0，则 () Ax04 Bx01 Cx04 或 x01 Dx0不存在 解析： 选 D.由已知可得 x 2 0(5i)x04i0， x 2 05x0 40， x010， 该方程组无解 10已知复数z1 12i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为 A、B、 C，若 OC OA OB ( ， R)，则 的值是 () A1 B2 C3 D4 解析： 选
5、A.OC OA OB ， 34i (12i) (1i) (2 )i， 3， 2 4. 1， 2. 1. 二、填空题 (本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 11 (2014 高考四川卷 )复数 22i 1i _. 解析： 22i 1i 2 1i 1i 1i1i (1i) 2 2i. 答案： 2i 12若复数1，ai,3a 2i(aR)成等比数列，则 a 的值为 _ 解析： 依题意， 得(ai) 21 (3a2i)， 即 a 213 2aa 2 ， 解得 a 2. 答案： 2 13在复平面内，已知复数zx1 3i 所对应的点都在单位圆内，则实数 x 的取值范围是 _
6、 解析： z 对应的点Z x， 1 3 都在单位圆内， |OZ|1， 即x2 1 3 2 1. x21 91， x28 9， 2 2 3 x2 2 3 . 故实数 x 的取值范围是 (2 2 3 ， 22 3 ) 答案： 22 3 ，2 2 3 14(2014 西安高二检测)设 z2z1i z1(其中 z1表示 z1的共轭复数 )，已知 z2的实部是 1， 则 z2的虚部为 _ 解析： 设 z1abi(a，b R)， 则 z2(abi)i(abi) (abi)(bai) (ab) (ba)i， 因为 z2的实部是 1， 所以 a b 1， 所以虚部ba 1. 答案： 1 15在复平面内，若复数
7、z 满足 |z1|1iz|，则 z在复平面内对应点的轨迹为_ 解析： 设 zxyi(x、yR)， |x1yi|x 1 2y2， |1iz|1i(xyi)|1y 2x2， 则x1 2y2 1y 2 x2. 复数 z xyi 的对应点 (x，y)的轨迹为到点(1,0)和(0,1) 距离相等的直线 答案： 直线 三、解答题 (本大题 5 小题，每小题10 分，共 50 分解答应写出必要的文字说明，证明过 程或演算步骤 ) 16计算： 23i 12 3i 2 1i 2 014 48i 2 48i2 43i . 解： 原式 i 2 3i1 123i 2 2i 1 007 48i 2 48i2 43i i
8、(i) 1 007 0 43i ii00. 17(2014 黄冈高二检测 )复平面内有A，B，C 三点，点A 对应的复数是3i，向量 AC 对应 的复数是 24i，向量 BC 对应的复数是4i，求 B 点对应的复数 解： 因为向量 AC 对应的复数是24i， 向量 BC 对应的复数是4i， 所以 AB 表示的复数是 (4i)(24i)2 3i， 故OB OA AB 对应的复数为 (3i)(23i)5 2i， 所以 B 点对应的复数为52i. 18已知 z1 z1为纯虚数，且 (z1)( z 1)|z| 2，求复数 z. 解： 由(z1)( z 1) |z|2? z z 1. 由z1 z1为纯虚
9、数， z1 z1 z 1 z 1 0? zz 10. 设 zabi(a，bR)， 代入， 得 a 1 2 ，a2b2 1. a 1 2，b 3 2 . z 1 2 3 2 i. 19 (2014 九江高二检测)设复数 z1 (a 24sin2 )(12cos )i，aR， (0， )，z2在复 平面内对应的点在第一象限，且z 2 2 3 4i. (1)求 z2及|z2|； (2)若 z1z2，求 与 a 的值 解： (1)设 z2mni(m， nR)，则 z 2 2(m ni) 2m2n22mni 34i， 即 m 2n2 3， 2mn4， 解得 m1 n2 或 m 1， n 2， 所以 z2
10、1 2i 或 z2 12i. 又因为 z2在复平面内对应的点在第一象限， 所以 z2 12i 应舍去， 故 z212i，|z2| 5. (2)由(1)知(a 24sin2 )(12cos )i12i， 即 a 24sin2 1， 12cos 2， 解得 cos 1 2， 因为 (0， )， 所以 3， 所以 a214sin2 14 3 44， a 2. 综上， 3，a 2. 20 设 z1是虚数， z2 z1 1 z1是实数，且 1z21. (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若 1z1 1z1，求证： 为纯虚数 解： (1)设 z1abi(a，bR 且 b0)， 则 z2z1 1 z1 abi 1 abi (a a a 2 b2)(b b a 2b2)i. 因为 z2是实数， b0， 于是有 a 2b21， 即|z1|1， 还可得 z22a. 由 1z21， 得 12a 1， 解得 1 2a 1 2， 即 z1的实部的取值范围是 1 2， 1 2 (2)证明 ： 1z1 1z1 1abi 1abi 1a 2b22bi 1a 2b2 b a1i. 因为 a 1 2， 1 2，b0， 所以 为纯虚数