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1、学习必备欢迎下载 暑假专题一元一次不等式复习拓展 概念、性质复习： 1. 用不等号“”“”“”“”或“”连接两个代数式表示不等关系的式子叫 不等式。 2. 解一元一次不等式的过程类似于解一元一次方程，它们的区别在于不等式两边同乘（或 同除）以同一个负数时，不等号要改变方向。 3. 常用的不等式的性质： （1）若ab，则ba，称为反身性。 （2）若abbc，则ac，称为传递性。 （3）若ab0，则ab，反之亦然。 （4）若ab0，则ab，反之亦然。 （5）若ab0，则ab，反之亦然。 （6）若ab，那么对任意实数c，都有acbc。 （7）若abc，0，则acbc。 （8）若abc，0，则acbc
2、。 （9）若ab0，则ab nn （n 为正整数）。 （10）若abcd00，则acbd。 【典型例题】 例 1. 已知ab22，试比较ab与 ab 的大小。 解： （1）作差法： 方法一：abababab abab a bb ba 11 111 111 而abab221110， 即abab 方法二： 设ambn mn2200， 则ababmnmn224 4224mnmnmn mnmn mnmnmn000， abab，即abab （2）作商法： 方法三： ab ab a ab b abab 11 学习必备欢迎下载 ab ab ab ab abab 22 111 2 1 2 1 1 ， 注： 上
3、例是比较两个有理数大小的问题，我们通常采用作差法（与0 比较大小）或作 商法（与 1 比较大小）比较两个数的大小，灵活地选择这两种方法比大小，是解题的关键。 当“差”或“商”中含有字母不能直接得出结论时，有时需将条件中字母表示的数值代入 再判断，有时还需分类进行讨论，如：比较a4与4a的大小。需要指出的是，在解选 择题时，赋值法是一种有效的方法。 例2. 不 等 式10462xx的 正 整 数 解 是 方 程231axxa的 解 ， 求 a a 2 2 1 的值。 解： 由已知得：1122x x2，正整数解为 x1 代入方程，得：a2 a a 2 2 1 4 1 4 17 4 例 3. 解不等
4、式31 1 1 1 1 51x xx x 解： 当x1时，两边消去 1 1x 化简得：22x x1 不等式的解为 x1且x1 注： 解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，但两边乘（或除）以同一个负 数时，不等号一定要改变方向，还要关注不等式中未知数的取值范围。 例 4. 解关于 x 的不等式mxxn32 解： 整理，得：mxn23 当m2时，解为x n m 3 2 当m2时，解为x n m 3 2 当m2时，原不等式为03xn，此时 若n3时，则解为全体有理数 若n3时，则不等式无解 不等式中所含非未知数的字母称为参数，解含字母系数的一次不等式要对参数进行讨 论；含有参数的任何一个一元一
5、次不等式总可以化为标准式axb（或axb），对形如 axb（或axb）的不等式： 学习必备欢迎下载 当a0时，解为x b a （或x b a ） 当a0时，解为x b a （或x b a ） 当ab00，时，不等式的解为全体实数（或无解） 当ab00，时，不等式无解（或解为全体实数） 例 5. 已知不等式 1 2 51 1 2 2xax的解集为x 1 2 ，试求 a 的取值范围。 解： 原不等式整理得：19a x 当10a时，不等式无解 当10a时，解为x a 9 1 ，这与已知x 1 2 产生矛盾 当10a时，解为x a 9 1 ，与x 1 2 一致 故 9 1 1 2 17 a a， 注：
6、由上例可得下面的结论：若不等式axb（或axb）的解为xt（或xt）， 则xt是其对应方程axb的根（且a0）。 例 6. 当 k 为何整数值时，方程组 xy xyk 26 93 有正整数解？ 解： 方程组的解为 xk yk 82 1 x y k k 0 0 820 10 解得： k k 4 1 1k4 由于 k 为正整数 k2 或 3 例 7. 已知： x、y、z 是三个非负有理数，且满足3252xyzxyz，若 zyxs2，则 S的最大值和最小值的和是多少？ 分析： 用含一个字母的代数式表示S，并确定这个字母的取值范围，就可求得S 的最 大值和最小值。 解： 由已知得： 253 2 yzx
7、 yzx 解得： y x z x 74 3 1 3 学习必备欢迎下载 Sx xx x2 74 3 1 3 2 由 x y z 0 0 0 得不等式组 x x x 0 74 3 0 1 3 0 解得：01x 2S3 所以， S 的最大值与最小值的和为5 注： 含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元 转化为一元。 小结 1. 复习巩固不等式的定义、性质、解法的掌握和应用。 2. 提高应用不等式分析问题和解决问题的能力。 3. 巩固分类讨论思想在解决问题中的应用。 【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟） 1. 如图，用字母a、b、c 依次表示点A、B、C 对应的数，
8、则 111 abbac 、的大小关 系是 _。 2. 已知：AB 99 9 11 9 9 99 9 90 ，那么 A、B 的大小关系是_。 3. 已知不等式30xm的正整数解为1，2，3，那么 m 的取值范围是_。 4. 若方程249 8 10x a x的解小于零，求a 的取值范围。 学习必备欢迎下载 5. 设不等式2340ab xab的解集为x 4 9 ，求不等式ab xab4230 的解。 6. 已知方程组 xy mxy 2 6 ，若方程组有非负整数解，求正整数m 的值。 【试题答案】 1. 111 cbaab 2. A = B 3. 912m 4. a1992 5. x 1 4 6. m 1 或 m3.