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1、学习必备欢迎下载 一元二次方程韦达定理的应用 知识点： 一元二次方程根的判别式： 当0 时_方程 _， 当=0 时_方程有 _ ， 当2 时,原方程永远有两个实数 根. 例 2.已知关于x 的方程 2 2(1)10kxxxk有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围 ; (2)是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理 由. 学习必备欢迎下载 例 3.已知关于x 的方程 22 2(3)410xkxkk (1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ;(2)若这个方程有一个根为1， 求 k 的值 ; 例 4.已知关于x 的一元二次方程 2
2、1 (2)30 2 xmxm (1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根 12 ,x x满足 12 21xxm， 求 m 的值。 例 5.当 m 为何值时，方程 2 8(1)70xmxm的两根： (1) 均为正数 ; (2) 均为负数 ; (3) 一个正数，一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6) 都大于2. 例 6.已知a,b,c, 是 ABC 的三边长，且关于x 的方程 22 (1)2(1)0b xaxc x有两个相等的实 根， 求证：这个三角形是直角三角形。 例 7.若 n0 ，关于x 的方程 2 1 (2
3、)0 4 xmn xmn有两个相等的正的实数根，求 m n 的值。 学习必备欢迎下载 课堂练习： 1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（） A. 2 210xxB. 2 2 220xxC. 2 210xxD. 2 20xx 2.已知 12 ,x x是方程 2 310xx的两个根，则 12 11 xx 的值是（） A.3 B.-3 C C. 1 3 D .1 3.关于 x 的二次方程 22 (1)230mxxmm的一个根为0， 则 m 的值为（） A.1 B.-3 C.1 或 3 D.不等于1 的实数 4.方程 22 (25)(2)0xkxk的两根互为相反数，k 的值为（） A. k =5 或
4、 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5.若方程 2 40xmx的两根之差的平方为48， 则 m 的值为（） A.8 B.8 C.-8 D.4 6.已知关于x 的方程 2 10(3)70xmxm， 若有一个根为0， 则 m=_ ， 这时方程的 另一个根是_； 若两根之和为 3 5 ， 则 m=_ ， 这时方程的两个根为_ 7.已知方程 2 10xpx的一个根为25， 可求得p=_ 8.若23是关于x 的方程 2 280xxk的一个根，则另一个根为_ ， k = _ 。 9.方程 2 2650xx两根为 ，则 222 _,() = _。 10.要使 2 46 9 nn a
5、与3 n a是同类项，则 n=_ 11.解下列方程： (1) 2 (21)16x(2) 2 430xx(3) 2 5320xx 12.关于x 的方程 2 (21)(3)0axaxa有实数根，求 a 的取值范围。 学习必备欢迎下载 13.设 12 ,x x是方程 2 2410xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： (1) 12 (1)(1)xx；(2) 12 21 xx xx ；(3) 22 12 xx . 14.关于x 的方程 2 (21)(3)0xaxa， 试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。 15.已知关于x 的方程 22 2(1)3110xmxm， （ 1） m 为何
6、值时，方程有两个相等的实数根？ （ 2） 是否存在实数m， 使方程的两根 12 21 +1 xx xx ?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理 由。 16.关于x 一元二次方程 2 ()2()0cb xba xab有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形 三边的长 ,试判断这个三角形的形状。 17.已知Rt ABC 中， 两直角边长为方程 2 (27)4(2)0xmxm m的两根，且斜边长为13 ， 求 S ABC的值 . 学习必备欢迎下载 韦达定理的应用测试题 日期： _月_日 满分： _ 100 分 姓名： _ 得分： _ 1.关于 x 的方程 2 210axx中，如果a0
7、D. k-2 且 a 2 D. a -2 且 a 2 7.设 n 为方程 2 0(0)xmxnn的一个根，则mn等于 _ 8.如果一元二次方程 22 40xxk有两个相等的实数根，那么k=_ 9. 如果关于x 的方程 22 2(41)210xkxk有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 _ 10.已知 12 ,x x是方程 2 520xx的两根，则： (1) 12 xx=_ ； (2) 12 xx=_ ； (3) 2 12 ()xx=_ 11.解下列一元二次方程： (1) 2 2310xx(2) 2 7430xx(3) 2 620xx 12.已知关于x 的方程 2 2(1)10xmxm的一
8、个根为4， 求 m 值及此方程的另一个根。 13.已知：关于x 的一元二次方程 22 2(23)41480xmxmm， 若 m0， 求证：方程有两 个不相等的实数根。 学习必备欢迎下载 14.若规定两数a, b 通过“ ” 运算 , 得到4ab, 即 ab=4ab. 例如26=426=48. (1) 求 35 的值；(2) 求 xx+2 x -24=0 中 x 的值。 15.求证：不论k 取什么实数，方程 2 (6)4(3)0xkxk一定有两个不相等的实数根. 学习必备欢迎下载 一元二次方程韦达定理的应用参考答案 学习必备欢迎下载 知识点： 一元二次方程根的判别式： 当0 时 2 40bac方
9、程有 两个不相等的实数根， 当=0 时 2 40bac方程有有 两个相等的实数根， 当2 时,原方程永远有两个实数 根. 分析： 22 4( 2)4 1 (84)bacmm配方法论证 例 2.已知关于x 的方程 2 2(1)10kxkxk有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围 ; (2)是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理 由. （1） 1 3 k且0k（2）不存在， k=-1 时无实数根 例 3.已知关于x 的方程 22 2(3)410xkxkk (1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ;(2)若这个方程有一个根为1，
10、 求 k 的值 ; (1)k 5 （2）33k 学习必备欢迎下载 例 4.已知关于x 的一元二次方程 21 (2)30 2 xmxm (1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根 12 ,x x满足 12 21xxm， 求 m 的值。 （1） 2222 1 4(2)4(3)616(3)70 2 bacmmmmm （2） 121121 221xxxxxxmm， 1 21xm 1 21xm，代入方程求m 的值， 12 12 0, 17 mm 例 5.当 m 为何值时，方程 2 8(1)70xmxm的两根： (2) 均为正数 ; (2) 均为负数
11、 ; (3) 一个正数，一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6) 都大于2. 分析： 22 4(1)48(7)0bacmm 两根之和和两根之积去判断。 例 6.已知a,b,c, 是 ABC 的三边长，且关于x 的方程 22 (1)2(1)0b xaxc x有两个相等的实 根， 求证：这个三角形是直角三角形。 证明： 22 444()()0bacabc bc 222 acb 例 7.若 n0 ，关于x 的方程 2 1 (2 )0 4 xmn xmn有两个相等的正的实数根，求 m n 的值。 分析： 2 (2 )()(4 )0mnmnmn mn 1,4 m n 课堂练习：
12、1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（C） 学习必备欢迎下载 A. 2 210xxB. 2 2 220xxC. 2 210xxD. 2 20xx 2.已知 12 ,x x是方程 2 310xx的两个根，则 12 11 xx 的值是（A ） A.3 B.-3 C C. 1 3 D .1 3.关于 x 的二次方程 22 (1)230mxxmm的一个根为0， 则 m 的值为（ B ） A.1 B.-3 C.1 或 3 D.不等于1 的实数 4.方程 22 (25)(2)0xkxk的两根互为相反数，k 的值为（C ） A. k =5 或 - 5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5
13、.若方程 2 40xmx的两根之差的平方为48， 则 m 的值为（A ） A.8 B.8 C.-8 D.4 6.已知关于x 的方程 2 10(3)70xmxm， 若有一个根为0， 则 m=_7 _ ， 这时方程的 另一个根是 _0_； 若两根之和为 3 5 ， 则 m=_ -9_,这时方程的两个根为_ 7.已知方程 2 10xpx的一个根为25， 可求得p=_ 12 8 ,1 5 xx_ 8.若23是关于x 的方程 2 280xxk的一个根，则另一个根为23，k = _2_ 。 9.方程 2 2650xx两根为 ，则 222 _14 _,() = _19 _。 10.要使 2 46 9 nn
14、a与3 n a是同类项，则 n=_2 或 3_ 11.解下列方程： (1) 2 (21)16x(2) 2 430xx(3) 2 5320xx 12 53 , 22 xx 12 1,3xx 12 2 ,1 5 xx 12.关于x 的方程 2 (21)(3)0axaxa有实数根，求 a 的取值范围。 1 8 a且0a 13.设 12 ,x x是方程 2 2410xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： (1) 12 (1)(1)xx；(2) 12 21 xx xx ；(3) 22 12 xx . 学习必备欢迎下载 （1） 7 2 (2)6 (3)3 14.关于x 的方程 2 (21)(3)0x
15、axa， 试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。 分析： 22 (21)4(3)411aaa 15.已知关于x 的方程 22 2(1)3110xmxm， （ 1） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？ （ 2） 是否存在实数m， 使方程的两根 12 21 +1 xx xx ?若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理 由。 (1) 222 4(1)4(311)88480mmmm， 12 2,3mm （2） 2 2112 1212 () 21 xxxx xxx x ，可得 2 3470mm，解得 1 7 ,1 3 mm 16.关于x 一元二次方程 2 ()2()0cb xba xab
16、有两个相等的实数根,其中 a, b, c 是三角形 三边的长 ,试判断这个三角形的形状。 解答： 2 4()4()()4()()0baab cbab ac，ab或ac 等腰三角形 17.已知Rt ABC 中， 两直角边长为方程 2 (27)4(2)0xmxm m的两根，且斜边长为13 ， 求 S ABC的值 . 答案：5,30mS ABC 学习必备欢迎下载 韦达定理的应用测试题 日期： _月_日 满分： _ 100 分 姓名： _ 得分： _ 1.关于 x 的方程 2 210axx中，如果a0 D. k-2 且 a 2 D. a -2 且 a 2 7.设 n 为方程 2 0(0)xmxnn的一
17、个根，则mn等于 _-1_ 8.如果一元二次方程 22 40xxk有两个相等的实数根，那么k=_ 2_ 9. 如果关于x 的方程 22 2(41)210xkxk有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是_ 学习必备欢迎下载 9 8 k_ 10.已知 12 ,x x是方程 2 520xx的两根，则： (1) 12 xx=_-5_ ； (2) 12 xx=_2_ ； (3) 2 12 ()xx=_17_ 11.解下列一元二次方程： (1) 2 2310xx(2) 2 7430xx(3) 2 620xx ( 21) (1)0xx(73)(1)0xx 37 2 x 12 1 ,1 2 xx 12 3
18、,1 7 xx 12.已知关于x 的方程 2 2(1)10xmxm的一个根为4， 求 m 值及此方程的另一个根。 1 296 , 55 mx 13.已知：关于x 的一元二次方程 22 2(23)41480xmxmm， 若 m0， 求证：方程有两 个不相等的实数根。 14.若规定两数a, b 通过“ ” 运算 , 得到4ab, 即 ab=4ab. 例如26=426=48. (1) 求 35 的值；(2) 求 xx+2 x -24=0 中 x 的值。 （1） 4x3x5=60 （2） 12 4,2xx 15.求证：不论k 取什么实数，方程 2 (6)4(3)0xkxk一定有两个不相等的实数根. 分析： 22 4(6)16(3)0backk