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1、学习必备欢迎下载 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2， 求另一个根及的 值. 思路点拨： 从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方 程，解方程求出另一个根即可. 解： 将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华： 以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关 键是要抓住 “ 根” 的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【 变 式1】 已 知 一 元 二 次 方 程的 一 个 根 是， 求 代 数 式 的值 . 思路点拨： 抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念
2、解题. 解： 因为是方程的一个根 , 所以, 故, , 所以. 学习必备欢迎下载 . 总结升华： “ 方程 ” 即是一个 “ 等式 ” ，在 “ 等式 ” 中，根据题目的需要，合理地变形，是一 种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x 2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x 2=3 . (2)4(1-x) 2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解： (1)由， 得， ， ， 学习必备欢迎下载 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方
3、程： (1)；(2)；(3). 解： (1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 学习必备欢迎下载 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华： 公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握， 它对 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解： (1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 即 所以或 故. 学习必备欢迎下载 举一反
4、三： 【变式 1】用适当方法解下列方程 (1)2(x+3) 2=x(x+3) ； (2)x 2-2 x+2=0； (3)x 2 -8x=0；(4)x 2+12x+32=0. 解： (1)2(x+3) 2=x(x+3) 2(x+3) 2-x(x+3)=0 (x+3)2(x+3)-x=0 (x+3)(x+6)=0 x1=-3，x2=-6 (2)x 2-2 x+2=0 这里 a=1，b=-2，c=2 b 2-4ac=(-2 ) 2-4 1 2=120 x= x1=+，x2=- (3)x(x-8)=0 x1=0，x2=8 (4)配方，得 x 2+12x+32+4=0+4 (x+6) 2 =4 x+6=
5、2 或 x+6=-2 x1=-4，x2=-8 点评 : 要根据方程的特点灵活选用方法解方程. 6.若，求的值 . 思路点拨： 观察，把握关键：换元，即把看成一个 “ 整体 ”. 解： 由， 得， ， ， 所以， 学习必备欢迎下载 故或(舍去 )， 所以. 总结升华： 把某一 “ 式子 ” 看成一个 “ 整体 ” ，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与 化归的意识要建立起来. 类型三、一元二次方程根的判别式的应用 7.(武汉 )一元二次方程4x 2+3x-2=0 的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根; B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根; D.没有实数根 解析 : 因为 =3
6、 2-4 4 (-2)0，所以该方程有两个不相等的实数根 . 答案 : B. 8.(重庆 )若关于x 的一元二次方程x 2+x-3m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取 值范围是 ( ) A.m B.mC.m-D.m - 思路点拨： 因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足. 解: 由题意，得 =1 2-4 1 (-3m)0， 解得m-. 答案 : C. 举一反三： 【变式 1】当 m 为什么值时，关于x 的方程有实根 . 思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分 和两种情形讨论. 解： 当即时，方程为一元一次方程，总有实根； 当即时，方程有根的条件是： ，
7、解得 当且时，方程有实根. 学习必备欢迎下载 综上所述：当时，方程有实根. 【变式 2】若关于 x 的一元二次方程(a-2)x 2-2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+30 的解集 (用含 a 的式子表示 ) 思路点拨： 要求 ax+30 的解集，就是求ax-3 的解集，那么就转化为要判定a的值 是正、负或0因为一元二次方程(a-2)x 2-2ax+a+1=0 没有实数根，即 (-2a) 2-4(a-2)(a+1) 0 就 可求出 a 的取值范围 解： 关于 x 的一元二次方程(a-2)x 2 -2ax+a+1=0 没有实数根 (-2a) 2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a
8、+80 满足 ax+3 0 即 ax-3 所求不等式的解集为. 类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值 9.(河北 )若 x1，x2是一元二次方程2x 2-3x+1=0 的两个根，则 x1 2+x 2 2 的值是 ( ) A. B. C. D.7 思路点拨 : 本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x1 2+x 2 2，求得其值 .但一般 不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和 x1x2的代数式，再整体代入. 解: 由根与系数关系可得x1+x2=，x1 x2=， x1 2+x 2 2=(x 1+x2) 2-2x 1 x2=( ) 2-2 = . 答案 : A.
9、总结升华 : 公式之间的恒等变换要熟练掌握. 类型五、一元二次方程的应用 考点讲解： 1构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通 过审题弄清具体 问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键 2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简 洁流畅，特别要 对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性 学习必备欢迎下载 10.(陕西 )在一幅长80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一 幅矩形挂图 .如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方 程是
10、 ( ) A.x 2+130x-1400=0 B.x 2+65x-350=0 C.x 2-130x-1400=0 D.x 2-64x-1350=0 解析 : 在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm 的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm ，?宽为 (50+2x)cm ，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400 ，整理得x 2+65x-350=0. 答案 : B. 11.(海口 )某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要
11、使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 多少元？ 解： 设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000 整理，得x 2-15x50=0解这个方程， x1=5，x2=10 要使顾客得到实惠，应取x=5 答： 每千克应涨价5 元 总结升华 ：应抓住 “ 要使顾客得到实惠” 这句话来取舍根的情况 12.(深圳南山区 )课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为 130 平方米的花圃 (如图 )，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围 栏，求花圃的长和宽 解： 设与墙垂直的两边长都为米， 则另一边长为 米，依题意得 又当时， 当时， 不合题意，舍去. 答： 花圃的长为13 米，宽为10 米