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1、精品资料欢迎下载 专题一：函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例 1. 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由解得或。 由解得或 和求交集得且或 x5。 故所求函数的定义域为（，-11）U(-11,-3 U(5,+) 。 注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不 等式。 例 2. 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由解得 由解得 由和求公共部分
2、，得 故函数的定义域为(-4,- U(0, 。 提示点：和怎样求公共部分？ （二）抽象函数 1. 有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向 x 轴投影的区间；凡是函数 的定义域，永远是指自变量x 的取值范围； 对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数 yfx 的对应法则“ f ”。把 精品资料欢迎下载 函数 yfx 的对应法则“ f ”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应 函数值“ y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为 “初级产品”，从而避免了当所
3、给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对 应法则。 如（ 1）已知函数f(x)的定义域是 0,4，求函数f(2x+1) 的定义域；（2）已知函数f(2x+1) 的定义域是 0,4，求函数f(x) 的定义域。 可以把 f(x)看成工厂的生产加工，f 是加工工序，x 是原料。 （1）中 f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是0,4 ；在 f(2x+1) 中，初级产品 是 2x+1，它必须满足0,4，由此求出f(2x+1) 的原料 x 满足的条件（即自变量）。 因为 (2）中 f(2x+1) 的定义域是 0,4，即原料x 满足 0,4，变成初步产品2x+
4、1, 那么初步产品的限制条 件就成了 1,9, 所以 f(x)的原材料就是 1,9，这样好不好理解？ 值域：函数 y=f(x)的因变量y 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向 y 轴投影的区间； 显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x 2+3x-5 ； 隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 复合函数：如果说 y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x 用一个函数g(x) 来代替，就称 y=f(g(x) 为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数， t=g(x) 为内函数。 2. 四种类型
5、 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为 m,n ，如何求复合抽象函数y=f(g(x)的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量 x 的范围，求y=f(g(x)的自变量x 的范围，其中的关键是，后 者的 g(x) 相当于前者的x。 解决策略：求不等式m g(x) n 的解集，即为y=f(g(x)的定义域 例题 3. 已知函数y=f(x)的定义域 0,3，求函数y=f(3+2x)的定义域 解：令 t=3+2x ， y=f(x)的定义域 0,3， y=f(t)的定义域也为0,3，即 t=3+2x 0,3， 说明：内函数g(x)=3+2x ，通过令 t=3+2x 做了一个换元，此处换
6、元不能写为令x=3+2x。原因是 y=f(x)中 的 x 与 y=f(3+2x)的 x 虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x 就是一模一样了， x 只能为 -3 了。 强化训练： 1. 已知函数y=f(x)的定义域 -1,5，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2. 已知函数y=f(x)的定义域 1/2,2，求函数y=f(log 2x) 的定义域； 3. 已知的定义域为2，2，求的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x)定义域 m,n ，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(g(x)的自变量x 的范围，求y=f(x)的自变量x
7、 的范围，其中的关键是，前 者的 g(x) 相当于后者的x。 解决策略：求内函数t=g(x) 在区间 m,n 的值域（ t 的取值范围），即为y=f(x)的定义域 例题 4. 已知函数y=f(2x-1)的定义域 0,3，求函数 y=f(x)的定义域 . 精品资料欢迎下载 解： y=f(2x-1)的定义域 0,3， 0x3，令 t=2x-1 ， t=2x-1 -1,5 故，函数y=f(t)的定义域为t -1,5， 故，函数y=f(x)的定义域为x-1,5 说明： 函数 y=f(x)与 y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x 还是 t 无关。 另外，题型二是题型一的逆 向题目。 强化训练： 1
8、. 已知函数y=f(x 2-2x+2) 的定义域 0,3 ，求函数 y=f(x)的定义域 . 2. 已知函数y=flg(x+1)的定义域 0,9，求函数y=f(x)的定义域 . 题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x)定义域 m,n ，如何求复合抽象函数y=f(h(x)定义域的定义域？ 思路分析： 本题型是已知y=f(g(x)的自变量x 的范围， 求 y=f(h(x)的自变量x 的范围， 其中的关键是， 前者的 g(x) 相当于后者的h(x) ，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域 。 解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x)定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)
9、的定 义域求 y=f(h(x)的定义域 例题 5. 已知函数y=f(2x-1)的定义域 0,3，求函数 y=f(3+x)的定义域 . 解： y=f(2x-1)的定义域 0,3， 0x3，令 t=2x-1 ， t=2x-1 -1,5 故，函数y=f(t)的定义域为t -1,5， 故，函数y=f(x)的定义域为x-1,5 令 t=3+x ，则 t=3+x -1,5 故，函数y=f(3+x)定义域为 -4,2 说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。 强化训练： 1. 已知函数y=f(x+1)的定义域 -2,3，求函数y=f(2x-1)的定义域 . 2. 已
10、知函数y=f(2x)的定义域 -1,1，求函数y=f(log 2x) 的定义域 . 3. 已知 f(x+1)的定义域为 -1/2，2 ，求 f(x 2) 定义域。 题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 思路分析：若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集。 解题策略：先求出各个函数的定义域，再求交集。 例 6. 已知 f(x)的定义域为 -3 ，5 ，求 （x）=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练： 1. 已知 f(x)的定义域为（ 0，5 ，求 g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1 a0。 二、与函
11、数定义域相关的变形题型 （一）逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通 常是转化为恒成立问题来解决。 例 7. 已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明，使一切 x R都成立，由项的系数是m ，所以 应分 m=0或进行讨论。 精品资料欢迎下载 解：当 m=0时，函数的定义域为R； 当时，是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 综上可知。 评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例 8. 已知函数的定义域是R，求实数k 的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须0 恒成立， 因
12、为的定义域为R，即无 实数 当 k0 时，恒成立，解得； 当 k=0 时，方程左边=30 恒成立。 综上 k 的取值范围是。 定义域非实数，求法。 （二）参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例 9. 已知的定义域为0，1，求函数的定义域。 解：因为的定义域为0，1，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集： ，即 即两个区间a，1a与 a， 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知 （1）当时， F（x）的定义域为； （2）当时， F（x）的定义域为； （3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 精品资料欢迎下载 （三）隐含型 有些问题从表面上看并不
13、求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例 如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。 例 10. 求函数的单调区间。 解：由，即，解得。即函数y 的定义域为（1， 3）。 函数是由函数复合而成的。 ，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间上是增函数； 在区间上是减函数，而在其定义域上单调增； ， 所以函数在区间上是增函 数，在区间上是减函数。 （四）实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成 意识。 例 11. 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。 解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。 。 由问题的实际意义，知函数的定义域应满足 。 故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。 例 12. 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图， 若矩形底边长为2x，求此框架围成的面 积 y 与 x 的函数关系式，并求定义域。 精品资料欢迎下载 解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。 因为 CD=AB=2x ，所以，所以， 故 根据实际问题的意义知 故函数的解析式为，定义域（ 0，）。