【优质文档】中考数学函数与几何综合压轴题集合.pdf

《【优质文档】中考数学函数与几何综合压轴题集合.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】中考数学函数与几何综合压轴题集合.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、学习好资料欢迎下载 2010 中考数学函数与几何综合压轴题集合 1.（ 2004 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直 于 x 轴， 垂足分别为B、 D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A，E，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k(k0) 个单位，此时 AD 与 BC 相交于E点，如图，求AE C 的面积S 关于 k 的函数解析式. 解（1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作 EO x 轴，垂足O ABEO D

2、C , EODOEOBO ABDBCDDB 又 DO + BO = DB 1 EOEO ABDC AB=6 ， DC=3 ， EO =2 又 DOEO DBAB ， 2 31 6 EO DODB AB DO = DO ，即 O 与 O 重合， E 在 y 轴上 方法二： 由 D（1，0）， A（ -2，-6） 得 DA 直线方程：y=2x-2 再由 B（ -2，0）， C（1， -3）， 得 BC 直线方程：y=-x-2 联立得 0 2 x y E 点坐标（ 0， -2），即E 点在 y 轴上 （ 2）设抛物线的方程y=ax 2+bx+c(a 0) 过 A（ -2，-6）， C（1，-3） E

3、（0，-2）三点，得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x 2-2 （ 3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 图 C （1，-3） （ 2， -6） B D O x E y 图 C （1+k，-3） A （2， -6） B D O x E y 学习好资料欢迎下载 轴垂足为F。 同（ 1）可得： 1 E FE F ABDC 得： E F=2 方法一：又E FAB EFDF ABDB ， 1 3 DFDB SAE C= S ADC- S EDC= 1112 222

4、3 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB =DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二： BADC ， S BCA=S BDA S AE C= S BDE 11 323 22 BDE Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： S DE CSAE C=DE AE= DC AB=1 2 同理：S DE C S DE B=12,又 S DE CS ABE =DC 2AB2=1 4 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0） 为圆心、直径AC 为22的

5、圆与y 轴交于 A、 D 两点 . （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明； （3） 连接 BC ， 记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2， 若 4 2 1 h S S ， 抛物线y ax 2bx c 经过 B、 M 两点，且它的顶点到 x轴的距离为 h. 求这条抛物线的解析式. 解（ 1）解：由已知 AM 2， OM 1， 在 Rt AOM 中， AO 1 22 OMAM， 点 A 的坐标为 A（ 0， 1） （ 2）证：直线yx b 过点 A（0，1） 10 b 即 b1 y x 1

6、令 y0 则 x 1B（ 1，0）， AB 211 2222 AOBO 在 ABM 中， AB2，AM 2， BM2 22222 4)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM 90 直线 AB 是 M 的切线 （ 3）解法一：由得BAC 90 ，AB2，AC 22， BC 10)22()2( 2222 ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC ， 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而 2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1 h S S ， A B C D x M y 学习好资料欢迎下载 5, 42 2 5 h h 即 设经过点

7、B（ 1， 0）、 M（1， 0）的抛物线的解析式为： ya（ 1）（ x1），（ a0 ）即 y ax 2a， a 5， a 5 抛物线的解析式为y 5x 25 或 y 5x25 解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、 M（1、0），则抛物线的 对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5） 抛物线的解析式为y a（ x0） 2 5 又 B（ 1,0 ）、 M（ 1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为y5x 2 5 或 y 5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为yax 2bx c（a0 ） 由已知得 5 0 5 5c 0b

8、5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为y5x 2 5 或 y 5x25. 3.(2004湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1， 1）为圆心， 2 为半径作圆，交x 轴于 A、B 两点，抛物线)0( 2 acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在 P 上. (1)求 P 上劣弧 AB的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（ 1）如图，连结PB ，过 P 作 PM x 轴，垂足为M. 在 RtPMB 中， PB=2,P

9、M=1, MPB 60 ， APB 120 AB的长 3 4 2 180 120 （ 2）在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3. 又 OM=1 ， A（13，0）， B（13，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上， 则 C(1， 3). 点 A、B、C 在抛物线上，则 cba cba cba 3 )31()31(0 )31()31(0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy （ 3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行 四边形，且PC OD. A B O x y P （1， 1） A

10、B C O x y P （1， 1） M 学习好资料欢迎下载 又 PC y 轴，点D 在 y 轴上， OD 2，即 D（0， 2）. 又点 D（0， 2）在抛物线22 2 xxy上， 故存在点D（ 0， 2），使线段OC 与 PD 互相平分 . 4.（ 2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt ABC 的直角顶 点 C（0， 3）在 y轴的正半轴上，A、B 是x轴上是两点， 且 OA OB 3 1，以 OA 、 OB 为直径的圆分别交AC 于点 E，交 BC 于点 F.直 线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线EF 与两圆有怎

11、样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MN AB 交 OC 于点N. 试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在， 请说明理由 . 解 (1) 在 Rt ABC 中， OC AB， AOC COB. OC 2OA OB. OA OB31,C(0, 3), 2 ( 3)3.OB OB OB 1.OA 3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之，得 3 , 3 2 3, 3 3.

12、 a b c 经过A、 B、 C 三点的抛物线的解析式为： 232 33. 33 yxx (2)EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、 OE、 OF. ECF AEO BFO 90 , 四边形EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+4 90 ，EF 与 O1相切 . 同理： EF 理 O2相切 . (3)作 MP OA 于 P，设 MN a,由题意可得MP MN a. MN OA, CMN CAO. . MNCN AOCO 3 . 33 aa 解之，得 3 33 . 2 a 此时，四边形OPMN 是正方形 . 3 33 . 2 MNOP 3 33 (,0). 2

13、 P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形， 点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角 形. 故x轴上存在点P 使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三 角形且 3 33 (,0) 2 P或 (0,0).P 5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0 ，1)、 C(4， 3)、E( 4 15 ， 8 23 )， P 是以 AC 为对角线的矩形ABCD内部 (不在各边上 )的 个动点， 点 D A y x B E F O1 Q O O2 C B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 M P C 学习好资料欢迎下载 X O P D C A B

14、 Y 由方程组 y=ax 2 6ax+1 y= 2 1 x+1 得： ax 2（ 6a+ 2 1 ）x=0 在 y 轴，抛物线yax 2+bx+1 以 P 为顶点 (1)说明点A、C、E 在一条条直线上； (2)能否判断抛物线yax 2+bx+1 的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y ax 2+bx+1 与 x 轴有交点 F、 G(F 在 G 的左侧 )， GAO 与FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出a、b 的值；若不能，请 确定 a、b 的取值范围 (本题图形仅供分析参考用) 解 （1）由题意， A(0 ，1)、 C(

15、4， 3) 确定的解析式为：y= 2 1 x+1. 将点 E 的坐标E( 4 15 ， 8 23 )代入 y= 2 1 x+1 中，左边 = 8 23 ，右边 = 2 1 4 15 +1= 8 23 ， 左边 =右边，点E 在直线y= 2 1 x+1 上， 即点 A、C、E 在一条直线上. （2）解法一：由于动点P 在矩形 ABCD 内部， 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，故，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 a ba 4 4 2 ，且 P 在 矩形 ABCD 内部， 1 a

16、ba 4 4 2 3，由 11 a b 4 2 得 a b 4 2 0， a 0，抛物线的开口向下. （ 3）连接 GA、FA ， SGAO SFAO=3 2 1 GO AO 2 1 FO AO=3 OA=1 ， GO FO=6. 设 F（x1,0）、 G（x2,0），则x1、x2为方程 ax 2+bx+c=0 的两个根，且x1 x2， 又 a0， x1x2= a 1 0， x1 0 x2， GO= x 2， FO= x1， x2（ x1）=6 ， 即 x2+x1=6， x2+x1= a b a b =6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax 2 6ax+1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，

17、19a） , 顶点P 在矩形 ABCD 内部，11 9a3, 9 2 a0. x=0 或 x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当 x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点 A， 而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点，则有：0 6+ a2 1 4 15 ， 解得： 9 2 a 12 1 综合得： 9 2 a 12 1 X G F O P D E C A B Y 学习好资料欢迎下载 b= 6a， 2 1 b 3 4 6.（2004 湖南长沙）已知两点O(0， 0)、B(0 ，2)， A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、 C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3 1，

18、直线 l 与 A 切于点O，抛物线的顶点在直线l 上运动 . （ 1）求 A 的半径； （ 2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式； （ 3）过 l 上一点P 的直线与A 交于 C、E 两点，且PC CE ，求点 E 的坐标； （ 4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点， 其顶点P 的横坐标为m， 求PEC 的面积关于m 的函数解析式. 解 (1) 由弧长之比为31，可得 BAO 90o 再由 AB AO r，且 OB 2，得 r2 (2)A 的切线 l 过原点，可设l 为 ykx 任取 l 上一点 (b， kb)，由 l 与 y 轴夹角为45o 可得： b kb 或 bkb ，得

19、 k 1 或 k1， 直线 l 的解析式为y x 或 yx 又由 r2，易得C(2 ，0)或 C( 2， 0) 由此可设抛物线解析式为yax(x 2)或 yax(x 2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx 22x 或 yx2 2x 6 分 (3)当 l 的解析式为y x 时，由 P 在 l 上，可设P(m ， m)(m 0) 过 P 作 PP x 轴于 P ， OP |m|，PP |m|， OP 2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2PC PE, 且 PC CE ，得 PC PEm PP 7分 C 与 P 为同一点，即PEx 轴于 C， m 2， E(2，2)8分 同理，当

20、l 的解析式为yx 时， m 2，E( 2，2) (4)若 C(2 ，0)，此时l 为 y x， P 与点 O、点 C 不重合， m 0 且 m 2， 当 m0 时， FC 2(2m) ，高为 |yp|即为 m， S 2 2(2)() 2 2 mm mm 同理当0 m 2 时， S m 22m；当 m2 时， Sm2 2m ； S 2 2 2 (02) 2 (02) mm mm mmm 或 又若 C( 2，0)， 此时 l 为 yx，同理可得；S 2 2 2 (20) 2 ( 20) mm mm mmm 或 7.（2006 江苏连云港） 如图， 直线4kxy与函数)0, 0(mx x m y

21、的图像交于A、B 两点，且与x、y 轴分别交于C、 D 两点 （ 1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函 数关系式； （ 2）在（ 1）的条件下，是否存在k和m，使得以 AB为直径的圆经 0 x y A A 学习好资料欢迎下载 x y O 过点)0, 2(P若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由 解（1）设),( 11 yxA，),( 22 yxB (其中 2121 ,yyxx)， 由 AOBCOD SS2，得 )(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC2OD( 2 1 OD 1 y 2 1 OD 2 y)，)(2 21 yyOC， 又4OC，8)( 2 21 y

22、y，即84)( 21 2 21 yyyy， 由 x m y可得 y m x，代入4kxy可得04 2 kmyy 4 21 yy，kmyy 21 ， 8416km，即 m k 2 又方程的判别式08416km， 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m （2）假设存在k,m，使得以 AB为直径的圆经过点)0,2(P 则BPAP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N MAP与BPN都与APM互余，MAPBPN RtMAPRtNPB， NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ，0)2)(2( 2121 yyxx， 0)2)(2( 21 21 yy y m y m ， 即0

23、)(4)(2 2 212121 2 yyyyyymm 由（ 1）知4 21 yy，2 21 yy，代入得0128 2 mm， 2m或6，又 m k 2 ， 1 2 k m 或 3 1 6 k m ， 存在k,m使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P， 且 1 2 k m 或 3 1 6 k m 8.（2004 江苏镇江）已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与 x 轴 交于两点 1 (,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx，与y 轴交于点C，且 AB=6. （ 1）求抛物线和直线BC 的解析式 . （ 2）在给定的直角坐标系 中，画抛物线和直线BC. （ 3）若P过 A、B、C

24、 三点，求P的半径 . MNx轴 于 点（ 4 ） 抛 物 线 上 是 否 存 在 点M ， 过 点M作 N，使MBN被直线BC分成面积比为1 3的两部分？若 存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. NMOPD C B A 学习好资料欢迎下载 解（1） 121221 55 ,6. m xxxxxx mm 2 2 1212 520 ()436,36, m xxx x mm 解得 12 5 1,. 7 mm 经检验 m=1 ， 抛物线的解析式为： 2 45.yxx 或：由 2 (5)50mxmx得， 1x或 5 x m 0,m 5 16 ,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx

25、由 2 450xx得 12 5,1.xx A（ 5，0）， B（ 1，0）， C（0， 5）. 设直线 BC 的解析式为,ykxb则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC 的解析式为55.yx (2)图象略 . （3） 法一：在RtAOCD中，5,45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 法二：由题意，圆心P 在 AB 的中垂线上，即在抛物线 2 45yxx 的对称轴直线2x上，设P（ 2， h）（ h0）， 连结 PB、PC ，则 222222 (12),(5)2PBhPCh， 由 22 PBPC，即 2222 (12)(

26、5)2hh，解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径 22 (1 2)213PB. 法三：延长CP 交P于点 F. CF为P的直径，90 .CAFCOB 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC 5 226 2 13. 5 CF P的半径为13. （ 4）设 MN 交直线BC 于点 E，点 M 的坐标为 2 ( ,45),t tt则点 E 的坐标为( ,55).tt若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.ME EN: 学习好资料欢迎下载 2 4 3 4,45(55). 3 ENMNt

27、tt: 解得 1 1t（不合题意舍去）， 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.ME EN: 2 1 4,454(55).EN MNttt: 解得 3 1t（不合题意舍去）， 4 15,t15,280 .M 存在点 M，点 M 的坐标为 5 40 , 39 或（ 15，280 ）. 9. 如图， M 与 x 轴交于A、B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B， 直径 CD x 轴于 N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F， 交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过

28、 A、 B、 D 三点，求m 的值及 点 D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线， 使它与（ 1）中抛物线的两个 交点的横坐标之和等于4？ 若存在，请求出满足条件的 直线的解析式；若不存在， 请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、B 两点， 1 1)3( m ，m=3. 抛物线为32 2 xxy. 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB=4. CD x 轴， NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NA NB=ND NC ， NC 4=2 2. NC=1. C 点坐标为)11(，.

29、 设直线DF 交 CE 于 P，连结 CF ，则 CFP=90 . 2+3=1+4=90 . GC 、GF 是切线， GC=GF. 3= 4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17( ， 设直线DF 的解析式为 bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF 的解析式为： 8 27 8 5 xy F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 A y x O N M G F E D C 学习好资料欢迎下载 (3) 假设存在过点G 的直线为 11 bxky， 则13 11 bk，13 11 kb. 由方程组 3

30、2 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx 由题意得42 1 k，6 1 k. 当6 1 k时，040， 方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.（ 2004 山西）已知二次函数 21 2 yxbxc的图象经过点 A（ 3， 6），并与x 轴交于点B（ 1， 0）和点C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数 的图象； （2）设 D 为线段OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点M，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在 的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点

31、M 的坐标；若不存在，请 说明理由 . 解（ 1）解：二次函数 2 1 2 yxbxc的图象过点A（ 3，6）， B（ 1， 0），得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为： 213 22 yxx 由解析式可求P（ 1， 2）， C（3，0） 画出二次函数的图像 （ 2）解法一：易证：ACB PCD 45 又已知：DPC BAC DPC BAC DCPC BCAC 易求6 2,2 2,4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二：过A 作 AEx 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB

32、PFD 、 PEEB PFFD . 易求： AE6，EB 2， PF 2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D （ 3）存在 . 1 ）过 M 作 MH AC ，MG PC 垂足分别为H、G，设 AC 交 y 轴于 S， CP 的延长线交y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心， MG MH OM 又2MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得3 23,0M 2 ）在 x 轴的负半轴上，存在一点M 同理 OM OC M C，2OMOCOM 得3 23OMM 3 23,0 即在 x 轴上存在满足条件的两个点. x O y 学习好资料欢迎下

33、载 A B C M O x y 11.（2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（ 3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（0， 3），求此抛物 线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交 于点 C，M 为抛物线的顶点，那么ACM 与 ACB 的面积比不变，请 你求出这个比值； （3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F，与 y 轴 交于点 C，过 C 作 CP x 轴交 l 于点 P，M 为此抛物线的顶点.若四边 形 PEMF 是有一个内角为60 的菱形，求次抛物线的解析式. 解 （ 1）32

34、2 xxy，顶点坐标为（1， 4）. （ 2）由题意，设y a（ x 1）（ x3）， 即 y ax 22ax 3a， A（ 1，0）， B（ 3， 0）， C（0， 3a）， M（1， 4a）， S ACB 2 1 4a36a，而a 0， SACB6A 、作 MD x 轴于 D， 又 S ACMSACOSOCMDSAMD 2 1 1 3a 2 1 （3a 4a） 2 1 2 4aa， S ACM： S ACB1：6. （ 3）当抛物线开口向上时，设ya（x 1） 2k， 即 y ax 22ax ak， 有菱形可知 kak，ak0， k0， k 2 a ， yax 2 2ax 2 a ，2EF

35、. 记 l 与 x 轴交点为D， 若 PEM 60 ， 则 FEM 30 ，MD DE tan30 6 6 ， k 6 6 ， a 3 6 ， 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 12 xxy . M T 1 1 -1 - 4 - 2 3 0 5 6 E -1 - 2 3 C x y B D M F S G H P 学习好资料欢迎下载 若 PEM 120 ，则 FEM 60 ，MD DE tan60 2 6 ， k 2 6 ，a6， 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy， 2 6 626 2 xxy.

36、 12. （ 2005 北京）已知： 在平面直角坐标系xOy 中， 一次函数ykxk4 的图象与x 轴交于点A，抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点。 （1）试用含a 的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为 劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内， 它所在的圆恰与OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴 上方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA 4 3 ？若存 在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解（1）解法一： 一次函数

37、ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（4， 0） 抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点 cab01640，ba4 解法二：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4，0） 抛物线 yaxbxc 2 经过 O、 A 两点 抛物线的对称轴为直线x2x b a2 2ba4 （ 2）由抛物线的对称性可知，DO DA 点 O 在 D 上，且 DOA DAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax 2 4 点 D 的坐标为（ 24，a） 当a0时，如图1，设 D 被 x 轴分得的劣弧为 OmA，它沿 x 轴翻 折后所得劣弧为OnA ，显然OnA 所在的圆与D 关

38、于 x 轴对称，设它 的圆心为D 点 D与点 D 也关于x 轴对称 点 O 在 D上，且 D 与 D相切 点 O 为切点DO OD DOA DOA 45 ADO 为等腰直角三角形OD2 2 点 D 的纵坐标为2 学习好资料欢迎下载 42 1 2 42 a aba， 抛物线的解析式为 yxx 1 2 2 2 当a0时，同理可得：OD2 2 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 综上， D 半径的长为2 2，抛物线的解析式为 yxx 1 2 2 2 或 yxx 1 2 2 2 （3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P，使得 POAOBA 4 3 设点 P 的坐标为（x，y），且 y0 当点 P

39、在抛物线 yxx 1 2 2 2 上时 （如图 2）点 B 是 D 的优弧上的一点 OBAADO 1 2 45 POAOBA 4 3 60 过点 P 作 PEx 轴于点 E tan tan POE EP OE y x yx 60 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 ， （舍去） 点 P 的坐标为 42 364 3， 当点P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时（如图3） 同理可得，yx3。由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 42 3 643 0 0 ，（舍去） 点 P 的坐标为

40、42 364 3， 综上，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为 423643，或42 364 3， 13. （2005 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A、 B。 （ 1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于点C，点 O 到直线AB 学习好资料欢迎下载 的距离为 123 sin 55 ABC，求直线AC 的解析式； （2）若O1经过点M（ 2， 2），设BOA的内切圆的直径为d，试 判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化， 求其变化的范围。 解 （1）如图 1，过 O 作OGB于 G，则OG 12 5 设OAk k

41、AOBABC3090 3 5 (),sin ABkOBk54， OA OBAB OGSkkk AOB 2345 12 5 1, OAOBAB345，A（3，0） AOB90 ,AB 是O1的直径 AC切O1于 A，BA ACBAC,90 在Rt ABC中 cos,ABC AB BC BC OCBCOB 4 5 25 4 9 4 C()0 9 4 ， 设直线AC 的解析式为 ykxb，则 30 9 4 kb b kb 3 4 9 4 ， 直线 AC 的解析式为yx 3 4 9 4 （ 2）结论：dAB的值不会发生变化 设AOB的内切圆分别切OA、OB 、AB 于点 P、 Q、T，如图 2 所示

42、y B M O1 Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOP d BQBTOB d APATOA d ABBTATOB d OA d OAOBd ， 2 22 22 , 则dABdOAOBdOAOB 在 x 轴上取一点N，使 AN=OB ，连接 OM 、BM、 AM、 MN y B O1 O A x C 学习好资料欢迎下载 MOM( , ),2 2平分AOBOM,22 BOMMONAMBM MANOBM OBAN 45 , ,又 BOMANMBOMANMANMMON,45 OMNMOMN,90 OAOBOAANONOMMNOM 22 222 24 dAB的值不会发生变化，其值

43、为4。 14.（ 2005福建厦门）已知：O 是坐标原点，P（ m， n） (m 0)是函 数 y k x (k0)上的点，过点P 作直线 PA OP 于 P，直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点A （a， 0） (am). 设 OPA 面积为 s，且 s1 n 4 4 . （1）当 n 1 时，求点A 的坐标； （2）若 OP AP ，求 k 的值； （3 ) 设 n 是小于20 的整数，且k n 4 2 ，求 OP 2 的最小值 . 解过点 P 作 PQ x 轴于 Q，则 PQ n， OQm (1) 当 n1 时，s 5 4 a 2s n 5 2 (2) 解 1： OP AP PA OP

44、OPA 是等腰直角三角形 mn a 2 1 n 4 4 1 2 an 即 n 4 4n240 k 2 4k40 k2 解 2： OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 mn 设 OPQ 的面积为s1, 则： s1 s 2 1 2 mn 1 2 (1 n 4 4 ) 即： n 4 4n240 k 2 4k40 k2 (3) 解 1：PA OP ， PQ OA OPQ OAP 设： OPQ 的面积为s1，则 s1 s PO 2 AO 2 即： 1 2k 1 n 4 4 n 2k 2 n2 4 (1 n 4 4 )2 n 2 化简得： 2n 42k2k n44k 0 （k2）（ 2kn 4

45、） 0 k 2 或 k n 4 2 (舍去 ) 。当 n 是小于20 的整数时， k2. OP 2 n2m2 n2k 2 n 2又 m0，k 2， n 是大于 0 且小于20 的整数 当 n1 时， OP 25 当 n2 时， OP 25 当 n3 时， OP 232 4 3 29 4 9 85 9 当 n 是大于3 且小于 20 的整数时，即当n 4、5、6、 19 时，OP 2 学习好资料欢迎下载 得值分别是：4 24 4 2、52 4 5 2、6 24 6 2、 19 2 4 19 2 19 2 4 19 2 18 2 4 18 2 32 4 3 2 5 OP 2 的最小值是5. 解 2

46、： OP 2n2m2 n2k 2 n 2 n 22 2 n 2(n 2 n ) 2 4 当 n 2 n 时，即当n2时， OP 2 最小； 又 n 是整数，而当n1 时， OP 2 5；n 2 时， OP25 OP 2 的最小值是5. 解 3：PA OP ， PQ OA OPQ P AQ PQ QA OQ PQ n am m n 化简得： 2n 4 2k2k n44k 0 （k2）（ 2kn 4） 0 k2 或 k n 4 2 (舍去 ) 解 4：PA OP ， PQ OA OPQ P AQ s1 ss1 OQ 2 PQ 2化简得： 2n 42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn 4） 0 k2 或 k n 4 2