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1、学习必备欢迎下载 第二十一章重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分； 2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数 学、物理方面的计算问题；3.了解 n 重积分的有关概念及计算方法。 教学重点难点： 本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次 积分。 教学时数： 22 学时 1 二重积分概念 一.矩形域上的二重积分: 从曲顶柱体的体积引入 . 用直线网分割 . 定义二重积分 . 例 1用定义计算二重积分.用直线网 分割该正方形, 在每个正方形上取其右上顶点为介 点 . 解 . 二. 可积条件: D . 大和与小和
2、 . 学习必备欢迎下载 Th 1 , . Th 2 , . Th 3 在 D 上连续 , 在 D 上可积 . Th 4 设, 为上的可积函数 . D, ( 或D ) . 若在 D 上有界 , 且 在 D 上连续 , 则在 D 上可积 . 例 2P217ex2 三 一般域上的二重积分： 1定义：一般域上的二重积分 . 2可求面积图形 : 用特征函数定义 . 四.二重积分的性质: 性质 1 . 性质 2 关于函数可加性 . 学习必备欢迎下载 性质 3 则在 D 上可积在 和可积 , 且. 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5 . 性质 6 . 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由
3、有限条连续曲线( 或 )组成 , 在 D 上连续 , 则在 D 上可积 . 例 3去掉积分中的绝对值 . 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分 : 1.矩形域上的二重积分 : 用“体积为幂在势上的积分”推导公式 . 2. 简单域上的二重积分 : 简推公式 , 一般结果 P219Th9. 例 1 , . 学习必备欢迎下载 解法一P221 例 3 解法二为三角形 , 三个顶点为, . 例 2 , . P221 例 2. 例 3求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积 . P222 例 4. 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性 一.Green公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配:
4、 右手螺旋定向 , 即以右手拇指表示区 域的正面 ( 理解为拇指“站立在”区域的正面上), 则其余四指 ( 弯曲 )表示边 界的正向 . 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让 区域在人的左方 . 则人前进的方向为边界的正向. 参阅 P 图 2110. 若以 L 记正向边界 , 则用 L 或 L表示反向（或称为负向）边界 . 1. Green 公式: Th21.11 若函数 P和 Q 在闭区域 DR上连续 , 且有连续的一阶偏导数 , 则有 , 学习必备欢迎下载 其中 L 为区域 D 的正向边界 . ( 证 ) P224 Green 公式又可记为. 1.应用举例 : 对
5、环路积分 , 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分 , 常采用附加上一条 线使变成环路积分的技巧. 例 1计算积分, 其中 AB. 曲线 AB 为圆周 在第一象限中的部分 . P226 例 1 解法一 ( 直接计算积分) 曲线 AB 的方程为 .方向为自然方向的反向 . 因此 . 解法二 ( 用 Green 公式 ) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点), 成闭路 . 设所围 区域为 D, 注意到D 为反向 , 以及, 有 . 学习必备欢迎下载 例 2计算积分I =, 其中 L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界 (方向任意) P227 例 2 解. (和在 D 上有连续的偏
6、 导数). , . 于是, I = . 二. 曲线积分与路线无关性 : 单连通域和复连通域 . 1. 积分与路径无关的等价条件: P228 Th21.12 设 DR是单连通闭区域 . 若函数和在闭区域 D 内连 续, 且有连续的一阶偏导数, 则以下四个条件等价: 沿 D 内任一按段光滑的闭合曲线L, 有. 对 D 内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关 , 只与曲线 L 的起点和终点有关 . 学习必备欢迎下载 是 D 内某一函数的全微分 , 即在 D 内有 . 在 D 内每一点处有. 2. 恰当微分的原函数 : 若有, 则称微分形式是一个 恰当微分 . 恰当微分有原 函数,( 它的一个)
7、 原函数为: . 或 其中点D, 当点D 时, 常取=. 验证第一式 : = ; . 例 6 验证式是恰当微分 , 并求其原函数 . P231 例 4 .4 二重积分的变量变换 :（4 时） 学习必备欢迎下载 1. 二重积分的变量变换公式: 设变换的 Jacobi, 则 , 其中是在该变换的逆变换下平面上的区域在 平面上的象 . 由条件, 这里的逆变换是存在的 . 一般先引出变换, 由此求出变换 .而. 例 1 , . P235 例 1. 註当被积函数形如, 积分 区域为直线型时 , 可试用线性变换. 例 2 , . 解设. 则. ，. 学习必备欢迎下载 因此 , . 註若区域是由两组“相似”
8、曲线( 即每组中的两条曲线仅以一个参数 不同的取值相区别) 围成的四线型区域, 可引进适当的变换使其变成矩形区 域 . 设区域由以下两组曲线围成: 第一组 : ; 第二组 : . 可试用变换. . 从中解出 . 在此变换之下 , 区域变成平面上的矩形区域 . 例 3 求由抛物线和 直线 所围平面区域的面积 . P236 例 2. 2. 极坐标与广义极坐标变换: 极坐标变换 :, . 广义极坐标变换 :, . 学习必备欢迎下载 例 4 . P240 例 3. 例 5 ( Viviani 问题 ) 求球体被圆柱面 所割下立体的体积 . P240 例 4. 例 6 应用二重积分求广义积分. P241
9、 例 5. 例 7 求橢球体的体积 . P241 例 6. 四.积分换序 : 例 8连续 . 对积分换序. . 例 9连续 . 对积分换序. . 例 10 计算积分. . 5 三重积分简介 一三重积分的定义： 1长方体上的积分： 2一般可求体积立体上的积分： 学习必备欢迎下载 二三重积分的计算： 1长方体上的积分： . 2. 型体上的积分 : 内一外二 : = , 其中,为在平面上 的投影 .就函数为点密度的情况解释该公式 . 内二外一 : =, 其中介于平面和之间 , 是用平面截所得的截面 . 内二外一多用于围成的闭合曲面由一个方程给出的情况. 例 1 , : . P245 例 1. 解,
10、学习必备欢迎下载 例 2 , : . 解. 法一 ( 内二外一) , 其中为椭圆域, 即椭圆域, 其 面积为. 因此 . 同理得, . 因此. 法二 ( 内一外二) 上下对称 , 为的偶函数 , , 其中为在平面上方的部分 , 其在平 面上的投影为椭圆. 于是 学习必备欢迎下载 . , . 因此. 同理 . 于是. 例 3设. 计算积分 , : . 解 . 三. 三重积分换元公式 : Th 21.13 P247. 1. 柱坐标 : P248. 学习必备欢迎下载 例 4 , : . P248 例 3 2. 球坐标 : P249. P 250 例 4. 6 重积分的应用 一、曲面的面积 设曲面方程为. 有连续的一阶偏导数 . 推导曲面面积公式, 或. 例 1 P253 例 1. 二、重心P255 三、转动惯量P256