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1、学习必备欢迎下载 用均值（基本）不等式求最值的类型及方法 均值不等式是不等式一章重要内容，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知 识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ，、)( 2 2 22 22 Rba ba ababba当且仅当a = b 时， “ =” 号成立； ，、)( 2 2 2 Rba ba ababba当且仅当a = b 时， “ =” 号成立； ，、)( 3 3 333 333 Rcba cba abcabccba当且仅当a = b = c 时,“ =” 号成立； )( 3 3 3 3 Rcba cba abcabcc
2、ba、,当且仅当a = b = c 时,“ =” 号成立 . 注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“ 正 ” 、二 “ 定” 、三 “ 等 ” ； 熟悉一个重要的不等式链： ba 11 2 2 ab ab 2 22 ba 。 二、函数( )(0) b f xaxab x 、图象及性质 (1)函数0)(ba x b axxf、图象如图： (2)函数0)(ba x b axxf、性质： 值域：),22,(abab； 单调递增区间：(, b a ，,) b a ；单调递减区间：(0, b a ，,0) b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型：求几个正数和的最小值。 例 1、求函数
3、2 1 (1) 2(1) yxx x 的最小值。 解析： 2 1 (1) 2(1) yxx x 2 1 (1)1(1) 2(1) xx x 2 111 1(1) 222(1) xx x x 3 2 111 31 222(1) xx x 3 1 2 5 2 ， x a b ab2 ab2 a b o y 学习必备欢迎下载 当且仅当 2 11 (1) 22(1) x x x 即2x时， “ = ” 号成立，故此函数最小值是 5 2 。 评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添 加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型：求几个正数积的
4、最大值。 例 2、求下列函数的最大值： 23 (32 )(0) 2 yxxx 2 sincos (0) 2 yxxx 解析： 3 0,320 2 xx， 23 (32 )(0)(32 ) 2 yxxxx xx 3(32 ) 1 3 xxx ， 当且仅当3 2xx即1x时， “ =” 号成立，故此函数最大值是1。 0,sin0,cos0 2 xxx，则0y，欲求 y 的最大值，可先求 2 y的最大值。 242 sincosyxx 222 sinsincosxxx 222 1(sin sin2cos ) 2 xxx 222 3 1 sinsin2cos4 () 2327 xxx , 当且仅当 22
5、 sin2cosxx (0) 2 xtan2x，即tan2xarc时， 不等式中的 “ = ” 号成立，故此函数最大值是 2 3 9 。 评析： 利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以 或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型：用均值不等式求最值等号不成立。 例 3、若 x、y R，求 4 ( )fxx x ) 10(x的最小值。 解法一 ： （单调性法） 由函数( )(0) b f xaxab x 、图象及性质知， 当(0,1x时，函数 4 ( )fxx x 是 减函数。证明：任取 12 ,(0,1xx且 12 01xx
6、， 则 1212 12 44 ()()()()fxfxxx xx 21 12 12 ()4 xx xx x x 12 12 12 4 () x x xx x x ， 12 01xx， 12 12 12 4 0,0 x x xx x x ，则1212()()0()()fxfxfxfx， 即 4 ( )fxx x 在(0,1上是减函数。 故当1x时， 4 ()fxx x 在(0,1上有最小值5。 解法二 ： （配方法）因01x，则有 4 ( )f xx x 22 ()4x x ， 学习必备欢迎下载 易知当01x时， 2 0x x 且单调递减，则 22 ( )()4f xx x 在(0,1上也是减函
7、数， 即 4 ( )f xx x 在(0,1上是减函数，当1x时， 4 ( )fxx x 在(0,1上有最小值5。 解法三 ： （拆分法） 4 ( )f xx x ) 10(x 13 ()x xx 13 2 1 x x 5， 当且仅当1x时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析： 求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为 简洁实用得方法。 类型：条件最值问题。 例 4、已知正数x、y 满足 81 1 xy ，求2xy的最小值。 解法一 ： （利用均值不等式）2xy 8116 ()(2 )10 xy xy xyyx 16 10218 xy yx , 当
8、且仅当 81 1 16 xy xy yx 即12,3xy时 “ = ” 号成立，故此函数最小值是18。 解法二 ： （消元法）由 81 1 xy 得 8 x y x ，由0008 8 x yxx x 又 则2xy 22(8) 161616 2(8)10 8888 xx xxxx xxxx 16 2 (8)10 18 8 x x 。 当且仅当 16 8 8 x x 即12,3xy此时时“ =” 号成立，故此函数最小值是18。 评析： 此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 818 1 2()(2 )228xyxyxy xyx y 。原因就是等号成立的条件不一致
9、。 类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。 解法一 ：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy， 即 2 ()230xyxy解得13xyxy( 舍)或， 当且仅当3xyxyxy且即3xy时取 “ =” 号，故xy的取值范围是9,)。 学习必备欢迎下载 又 2 3() 2 xy xyxy 2 ()4() 12 0xyxy2()6xyxy舍 或， 当且仅当3xyxyxy且即3xy时取 “ = ” 号，故xy的取值范围是6,)。 解法二 ：由0,0xy，3(1)3xyxyxyx知 1x ， 则： 3 1 x y x ，由 3
10、001 1 x yx x ， 则： 22 33(1)5(1)44 (1)5 1111 xxxxx xyxx xxxx 4 2 (1)59 1 x x ， 当且仅当 4 1(0)3 1 xxx x 即，并求得3y时取 “=”号，故xy的取值范围是9,)。 31 4444 1(1)22 (1)26 11111 xx xyxxxxx xxxxx ， 当且仅当 4 1(0)3 1 xxx x 即，并求得3y时取 “ =” 号，故xy的取值范围是9,)。 评析： 解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 类型 I：利用均值不等式解决问题。 例：求 曲线:1Cxy上的点到原点的
11、距离的最小值。 四、均值不等式易错例析： 例 1. 求函数y xx x 49 的最值。 错解： y xx x xx x 491336 2 13 36 132 36 25x x x x 当且仅当x x 36 即x 6时取等号。所以当x6时， y 的最小值为 25，此函数没有最大值。 分析： 上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零， 因而导致错误。因为函数 y xx x 49 的定义域为，00，所以必须对x的正负加以 分类讨论。 正解： 1）当x0时，25 36 213 36 13 x x x xy 当且仅当x x 36 即6x时取等号。所以当x6时
12、，ymin 25 2）当x0时，x x 0 36 0，x x x x 36 2 36 12 11213) 36 ()(13 x xy 学习必备欢迎下载 当且仅当x x 36 ，即x6时取等号，所以当x6时，ymax 13121. 例 2. 当x0时，求yx x 4 9 2 的最小值。 错解 ：因为xyx x x xx 04 9 24 96 22 ， 所以当且仅当 4 9 2 x x 即x 9 4 3 时，y x min 6 2 18 3 。 分析： 用均值不等式求“ 和” 或“ 积” 的最值时，必须分别满足“ 积为定值 ” 或“ 和为定值 ” ，而上述解法中4x与 9 2 x 的积不是定值，导
13、致应用错误。 正解 ：因为xyx x xx x xx x 04 9 22 9 3 22 9 3 36 222 3 3 ， 当且仅当2 9 2 x x ，即x 36 2 3 时等号成立，所以当x 36 2 3 时，ymin 3 36 3 。 例 3. 求y x x xR 2 2 5 4 ()的最小值。 错解： 因为y x x x x x x 2 2 2 2 2 2 5 4 4 1 4 24 1 4 2，所以ymin2 分析： 忽视了取最小值时须x x 2 2 4 1 4 成立的条件， 而此式化解得x 2 3，无解， 所以原函数 y取不到最小值2。 正解： 令txt 2 42，则yt t t 1
14、2() 又因为t1时，yt t 1 是递增的。所以当t2，即x0时，ymin 5 2 。 例 4.已知 Ryx,且1 41 yx ，求 yxu 的最小值 . 错解： 4 441 1xy xy yx ,82xyyxu,u的最小值为8. 分析： 解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为 yx 41 和yx，而这两个式子不能同时成立， 故取不到最小值8. 正解：945 4 5) 41 )( x y y x yx yxu 学习必备欢迎下载 当且仅当 x y y x4 即6,3 yx时等号成立 . u的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数； 二可定：必
15、须满足“ 和为定值 ” 或“ 积为定值 ” ，要凑出 “ 和为定值 ” 或“ 积为定值 ” 的式子结构，如果找不 出“ 定值 ” 的条件用这个定理，求最值就会出错； 三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 巩固练习： 1、已知：bnmayx 2222 ,且ba，则nymx的最大值为 ( ) (A)ab(B) 2 ba (C) 2 22 ba (D) 2 22 ba 2、若Ryxa,，且yxayx恒成立，则a 的最小值是 ( ) (A)22(B)2(C)2 (D)1 3、已知下列不等式： )(23 3 Rxxx；),( 322355 Rbabababa；)1(2 2
16、2 baba. 其中正确的个数是( ) (A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个 4、设Rba,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4) 11 )( ba ba(B) ab ab ba 2 22 (C)2 1 ab ab(D)ab ba ab2 5、设Rba,且 22 42,12baabSba的最大值是 ( ) (A)12(B) 2 12 (C)12(D) 2 12 6、若实数ba,满足2ba，则 ba 33的最小值是 ( ) (A)18 (B)6 (C)32(D) 4 32 7、若正数ba,满足3baab，则ab的取值范围是. 8、若Ryx,且12yx，则 yx 11 的最小值为. 9、若baba且,10, 10，则 abbaabba2,2 , 22 中最大的是. 10、若 0a90则 f(a)=1/cosa+1/(1-cosa)最小值为 _ 11、设直线 :(0)lxmyn n 过点(4, 4 3)A，若可行域 30 0 xmyn xy y ，的外接园直径为 14 3 3 ，则实 数n的值是 12、已知点 M( a,b )在由不等式组 0 0 2 x y xy 确定的平面区域内， 则点 N( ab,ab) 构成的平面区域 的面积为 _