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1、第三节二项式定理 (理) 时间： 45分钟分值： 75 分 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1(2013 江西卷)(x 2 2 x3) 5 展开式中的常数项为 () A80 B80 C40 D40 解析由二项式定理展开式的通项Tr1Cr5(x2)5 r(2 x3) r Cr5( 2)rx10 5r，令 105r0 得 r2，故常数项为 C2 5(2) 240.故选 C. 答案C 2(2013 陕西卷)设函数 f(x) x1 x 6，x0 时， ff(x)表达式的展开式中常数项为() A20 B20 C15 D15 解析x0 时，f(x)x0，故 ff(x)f(
2、x)( 1 x x) 6， 其展开式的通项为Tr1Cr 6(1) rxr3，令 r30，得 r3 时，常数 项为 T4C3 6(1) 320.故选 A. 答案A 3在二项式 x2 1 x n 的展开式中， 所有二项式系数的和是32，则 展开式中各项系数的和为() A32 B32 C0 D1 解析依题意得所有二项式系数的和为2 n32， 解得 n5.因此， 该二项展开式中的各项系数的和等于121 1 50. 答案C 4 在 x 1 3 x 24 的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有() A3 项B4 项 C5 项D6 项 解析Tr1Cr 24( x)24 r 1 3 x rCr 24x12 5
3、r 6 ，故当 r0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共5 项 答案C 5若(2x) 10a 0a1(x1)a2(x1) 2 a 10(x1) 10，则 a 9 () A9 B10 C20 D5 120 解析(2x)101(1x) 101C1 10(1x)C 2 10(1x) 2 C10 10(1x) 10，a 9C 9 10C 1 1010. 答案B 6(2013 新课标全国卷 )设 m 为正整数， (xy)2m展开式的二 项式系数的最大值为a，(xy)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m() A5 B6 C7 D8 解析aCm 2m 2m 2m1 m1
4、 m！ ， bC m 2m1 2m1 2m m2 m！ . 又 13a7b，13(m1)7(2m1)，m6. 答案B 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7(2013 安徽卷 )若(x a 3 x )8的展开式中 x4的系数为 7，则实数 a _. 解析设展开式第 r1 项为 x 4 项，则展开式的通项可得Tr1 C r 8a rx84 3r；令 8 4 3r4，得 r3， C3 8a 37，a1 2. 答案 1 2 8(2013 四川卷)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数 是_(用数字作答 ) 解析Tr1Cr 5x 5ryr， 5r2， r3， r
5、3. x2y3的系数为 C3 510. 答案10 9已知 (1x)(1x)2(1x)3 (1x)na0a1xa2x 2 anxn，且 a0a1a2an126，那么 3 x 1 x n 的展开式 中的常数项为 _ 解析由题意知， 222232 n126，所以 n6. 二项展开式的通项为 Tr1C r 63 6r x6r 2 (1) rxr 2(1) rCr 6 3 6r x 62r 2 . 令 62r0，得 r3.故常数项为 540. 答案540 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10已知 x 1 2 4 x n 的展开式中，前三项系数成等差数列 (1)求 n；
6、 (2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含 x 项的系数 解(1)前三项系数 1，1 2C 1 n， 1 4C 2 n成等差数列 2 1 2C 1 n11 4C 2 n，即 n 29n80. n8 或 n1(舍) (2)由 n8 知其通项公式 Tr1Cr 8 ( x) 8r1 2 4 1 x r 1 2 r Cr 8 x4 3 4r(r0,1,2，8)， 第三项的二项式系数为C2 828. 第三项系数为 1 2 2 C2 87. (3)令 43 4r1，得 r4， 含 x 项的系数为 1 2 4 C4 835 8 . 11已知(a21)n展开式中各项系数之和等于 16 5 x 2 1
7、 x 5 的展开 式的常数项，而 (a21) n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求 a 的值 解由 16 5 x2 1 x 5 得， Tr1Cr 5 16 5 x 2 5 r 1 x r(16 5 )5 r Cr 5 令 Tr1为常数项，则 205r0.r4. 常数项 T5C4 5 16 5 16. 又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得 2 n16，n4. 由二项式系数的性质知，(a 21)n 展开式中二项式系数最大的项 是中间项 T3，C2 4a 454.a 3. 12若(x 23x2)5a 0a1xa2x 2 a 10x 10. (1)求 a2； (2)求 a1a
8、2 a10； (3)求(a0a2a4a6a8a10) 2(a 1a3a5a7a9) 2. 解(1)方法 1：(x23x2)5(x1)5(x2)5， (x1) 5 展开式的通项公式为Cr5 (1)r x5 r (0r5) (x2) 5 展开式的通项公式为C s 5 (2) s x 5s(0s5)， 所以(x 23x2)5 展开式的通项公式为 C r 5 C s 5 (1) rs 2s x10rs， 令 rs8，得 r3， s5 或 r4， s4 或 r5， s3. 所以展开式中 x2的系数为 C3 5C 5 52 5C4 5C 4 52 4C5 5C 3 52 3800，即 a 2800. 方法
9、 2：(x 23x2)5 的本质是 5 个 x23x2 相乘，由多项式的 乘法法则，产生含x2的项有两种可能： 5 个 x23x2 中有一个取含 x2的项，其他的取常数项，得到 的系数是 C1 5 2 480； 5 个 x23x2 中有两个取含 x 的项，其他的取常数项，得到 的系数是 C2 5 (3) 2 23720. 展开式中含 x2的项的系数是 80720800，即 a2800. (2)令 f(x)(x23x2)5 a0a1xa2x2a10x10， a0f(0)2532， a0a1a2a10f(1)0， a1a2a1032. (3)(a0a2a4a6a8a10) 2(a 1a3a5a7a9) 2(a 0a1 a2a10)(a0a1a2a10)f(1) f(1)0.