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1、一单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1若aR，则“a1”是“|a| 1”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：若a1，则有 |a| 1 是真命题，即a1? |a| 1，由 |a| 1 可得a1，所以若 |a| 1，则有a1 是假命题，即|a| 1?a1 不成立，所以a1 是|a| 1 的充分而不必 要条件 答案 ：A 2已知函数f(x) x33ax， a x x (a0， 且a1)是 ( ，) 上的减函数， 则a的取值范围是( ) A. 0， 2 3 B. 1 3，1 C.()2，3 D. 1 2， 2 3 解析由f(x) 是 (
2、， ) 上的减函数，可得 0a1， fa 03 3a. 化简得 0a 2 3. 答案A 3. 若x0，y0，且x2y1，那么 2x3y 2 的最小值为 ( ) A2 B. 3 4 C. 2 3 D 0 解析由x0，y0 x12y0知 0y 1 2 t2x3y 22 4y3y2 3 y 2 3 22 3 在 0， 1 2 上递减，当y 1 2时， t取到 最小值，tmin 3 4. 答案B 4. 若 cos(2 ) 5 3 且 2 ，0 ，则 sin( ) ( ) A 5 3 B 2 3 C 1 3 D 2 3 解析cos(2 ) cos 5 3 ，又 2 ，0 ， sin 1cos 2 1 5
3、 3 22 3. sin( ) sin 2 3. 答案B 5. 已知向量 a( xz, 3)， b(2， yz) ， 且 ab， 若 x， y 满足不等式 | x| | y| 1， 则 z 的取值范围为 ( ) A 2,2 B 2,3 C 3,2 D 3, 3 解析因为 ab，所以 ab0，所以 2x3yz，不等式 | x| | y| 1 可转化为 xy1x0，y ， xy1x0，y， xy1x0，y， xy1x0，y， 由图可得其对应的可行域为边 长为 2，以点(1,0) ，( 1,0) ，(0,1) ，(0，1)为顶点的正方形，结合图象可知当 直线 2x3yz 过点(0 ，1)时 z 有最
4、小值 3，当过点 (0,1) 时 z 有最大值 3. 所以 z 的取值范围为 3,3 答案D 二填空题。（本部分共 2 道填空题） 1 两个等差数列的前n 项和之比为 5n10 2n1 ， 则它们的第 7 项之比为 _ 解 析设两个数列 an ， bn的前 n 项和为 Sn ，T n，则S n Tn 5n10 2n1 ，而a 7 b7 a1 a 13 b1 b 13 S13 T13 51310 2131 3 1 . 答案31 2. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体 积的最大值为 _，最小值为 _ （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 解析由俯视图及主
5、视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积 的最小值为 9. （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 答案 14 9 三解答题。（本部分共 1 道解答题） 设 A，B分别为双曲线 x 2 a 2y 2 b 21( a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为 43，焦点到渐近线的距离为3. (1) 求双曲 线的方程； (2) 已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于M 、N两点，且在双 曲线的右支上 存在点 D ，使OM ON tOD ，求 t 的值及点 D的坐标 解析(1) 由题意知 a2 3，一条渐近线为y b 23x， 即 bx2 3y0， | bc| b 212 3， b 23，双曲线的方程为 x 2 12 y 2 3 1. (2) 设 M (x1，y1) ，N( x2，y2) ，D(x0，y0)， 则 x1x2tx 0 ，y 1 y 2ty0， 将直线方程代入双曲线方程得x 216 3x840， 则 x1x216 3，y1y212， x0 y0 43 3 ， x 2 0 12 y 2 0 3 1， x04 3， y03， t 4，点 D的坐标为 (43，3)