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1、穿插滚动练 (四) 1设全集U x|x10 答案A 解析数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，；分 子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)， ，由以上规律知a2 013 4 60 1 15. 5已知 ab0，且 ab1，若 0qB pab1，plogca 2b2 2 log c 1 4ablog c1 40，qp. 6 (2014 广元模拟 )已知定义在R 上的函数f(x)， g(x)满足 f x g x ax， 且 f(x)g(x)0. BC 1与AB 1的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹
2、角， 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 5 5 . 10类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)a xax，C(x)ax a x，其中 a0，且 a1，下面正确的运算公式是 () S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； S(x y) S(x)C(y) C(x)S(y)； 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)； 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y) AB CD 答案B 解析经验证易知 错误依题意，注意到2S(xy)2(a xyaxy)，又 S(x)C(y)C(x)S(y) 2(ax yaxy)，因此有 2S(xy)S(x)C(y)C(x
3、)S (y)；同理有 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)， 综上所述，选B. 11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱 锥 D1EDF 的体积为 _ 答案 1 6 解析利用三棱锥的体积公式直接求解 VD1EDF VFDD1E 1 3SD 1DE AB 1 3 1 2 111 1 6. 12(2014 北京 )若等差数列 an满足 a7a8 a90，a7a100，a80. a7a10a8 a90， 且 x1x2a30， 且 x3x4a32，x3x4a1， 联立可得a9， 综上知， 09. 15已知函数f(x)2sin x，g
4、(x)2sin 2x ，直线 x m 与 f(x)，g(x)的图象分别交于 M、N 两点，则 |MN|的最大值为 _ 答案22 解析构造函数F(x)2sin x2cos x 2 2sin x 4 ，故最大值为22. 16(2014 辽宁 )在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 ac，已知 BA BC 2， cos B1 3，b3.求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(BC)的值 解(1)由 BA BC 2 得 c acos B2. 又 cos B1 3，所以 ac6. 由余弦定理，得a2c2b22accos B. 又 b3，所以 a2c29261 313. 解
5、ac6， a 2 c2 13， 得 a2， c3 或 a3， c2. 因为 ac，所以 a 3，c2. (2)在ABC 中， sin B1cos 2B 1 1 3 222 3 ， 由正弦定理，得sin C c bsin B 2 3 22 3 42 9 . 因为 abc，所以 C 为锐角， 因此 cos C1sin 2C 1 42 9 27 9. 于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C 1 3 7 9 22 3 4 2 9 23 27. 17如图所示，四边形ABCD 为矩形， AD平面ABE，AEEBBC，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. (1)求证： AEBE
6、； (2)设 M 在线段 AB 上，且满足AM2MB，试在线段CE 上确定一点N，使得 MN平面 DAE. (1)证明 AD 平面 ABE，ADBC，BC平面 ABE， AE? 平面 ABE，AEBC. 又BF 平面 ACE， AE? 平面 ACE， AEBF. BC BFB，AE 平面 BCE， 又 BE? 平面 BCE， AEBE. (2)解在 ABE 中过 M 点作 MGAE 交 BE 于 G 点，在 BEC 中过 G 点作 GNBC 交 EC 于 N 点，连接MN，则由比例关系易得CN1 3CE. MGAE，MG?平面 ADE ，AE? 平面 ADE， MG平面 ADE.同理， GN平
7、面 ADE. 又GNMGG， 平面 MGN 平面 ADE. 又 MN? 平面 MGN， MN平面 ADE. N 点为线段CE 上靠近 C 点的一个三等分点 18为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元 需要配套电能2 万千瓦，可提供就业岗位24 个，增加 GDP 260 万元；乙项目每项投资百万元 需要配套电能4 万千瓦，可提供就业岗位32 个，增加 GDP 200 万元，已知该地为甲、乙两项 目最多可投资3 000 万元，配套电能100 万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800 个， 如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？ 解设甲项目投资x
8、(单位：百万元 )，乙项目投资y(单位：百万元 )，两项目增加的GDP 为 z 260x200y， 依题意， x、y 满足 xy30， 2x 4y100， 24x32y800， x0， y0， 所确定的平面区域如图中阴影部分， 解 xy30， 2x4y100， 得 x10， y20， 即 A(10,20) 解 xy30， 24x32y800， 得 x20， y10， 即 B(20,10) 设 z0，得 y 1.3x，将直线y 1.3x 平移至经过点B(20,10)，即甲项目投资2 000 万元， 乙项目投资1 000 万元时，两项目增加的GDP 最大 19(2014 浙江 )如图，在四棱锥 A
9、BCDE 中，平面 ABC平面 BCDE，CDE BED90 ， ABCD2，DEBE1，AC2. (1)证明： DE平面 ACD； (2)求二面角 BAD E的大小 (1)证明在直角梯形BCDE 中， 由 DEBE1，CD2，得 BDBC2. 由 AC2，AB2， 得 AB 2AC2BC2，即 ACBC. 又平面 ABC平面 BCDE ， 从而 AC平面 BCDE， 所以 ACDE . 又 DEDC，从而 DE平面 ACD. (2)解方法一 (1) 如图 (1)，作 BF AD，与 AD 交于点 F， 过点 F 作 FGDE，与 AE 交于点 G，连接 BG， 由(1)知 DEAD，则 FG
10、AD. 所以 BFG 是二面角BADE 的平面角 在直角梯形BCDE 中， 由 CD 2BC2BD2，得 BDBC， 又平面 ABC平面 BCDE ，得 BD平面 ABC，从而 BD AB. 由于 AC平面 BCDE，得 ACCD. 在 RtACD 中，由 DC2，AC2，得 AD6. 在 RtAED 中，由 ED1，AD6，得 AE7. 在 RtABD 中，由 BD2，AB2，AD6，得 BF 23 3 ，AF 2 3AD，从而 GF 2 3，AG 2 7 3 . 在ABE，ABG 中，利用余弦定理分别可得 cosBAE 5 7 14 ，BG2 3. 在BFG 中， cos BFG GF 2
11、BF2BG2 2BF GF 3 2 . 所以， BFG 6， 即二面角BAD E 的大小是 6. 方法二以 D 为原点， 分别以射线DE， DC 为 x， y 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Dxyz， 如图 (2)所示 (2) 由题意知各点坐标如下： D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，2)，B(1,1,0) 设平面 ADE 的法向量为m(x1，y1， z1)， 平面 ABD 的法向量为n(x2，y2，z2)， 可算得 AD (0， 2，2)，AE (1， 2，2)， DB (1,1,0) 由 m AD 0， m AE 0， 得 2y12z10， x12y1 2
12、z10. 可取 m(0,1，2) 由 n AD 0， n DB 0， 得 2y22z20， x2y20， 可取 n(1， 1，2) 于是 |cosm，n| |m n| |m| |n| 3 32 3 2 . 由题意可知，所求二面角是锐角， 故二面角BAD E 的大小是 6. 20已知各项全不为零的数列an的前 n 项和为 Sn，Sn n 1an 2 ，nN *. (1)求证：数列 an 为等差数列； (2)若 a2 3，求证：当 nN *时， 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 0，f(x)为增函数， 当 x(1， )时， f(x)0，f(x)为减函数， 即 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1， ) (2)由(1)知 x1(0， )，f(x1)f(1)0， 即 f(x1)的最大值为 0， 由题意知：对? x1(0， )，? x2(，0)使得 f(x1)g(x2)成立， 只需 f(x)maxg(x)max. g(x) x 22kxk x x k x 2k x k x 2k2 k2k， 只需 2k 2k0，解得 k1.