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1、第 18 练关于平面向量数量积运算的三类经典题型 题型一平面向量数量积的基本运算 例 1已知圆 O 的半径为1，PA，PB 为该圆的两条切线，A，B 为切点，那么 PA PB 的最小值 为() A 42 B 32 C 4 2 2 D 3 2 2 破题切入点对于四边形OAPB 中变化的量， 可以是切线的长度、也可以是 APB，这两个变 化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示PA PB ；还可以建 立平面直角坐标系，使问题数量化 答案D 解析方法一设|PA |PB |x，APB ， 则 tan 2 1 x， 从而 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 x
2、21 x 21. PA PB |PA | |PB | cos x2 x 21 x 21 x 4x2 x 21 x 2123 x21 2 x 21 x21 2 x 2132 23， 当且仅当x 2 1 2， 即 x221 时取等号， 故PA PB 的最小值为2 23. 方法二设 APB ， 0|ab|，此时， |ab|2|a|2|b|2；当 a，b夹角为钝角时，|a b|a|2|b|2；当 ab 时， |ab|2|ab| 2|a|2|b|2，故选 D. 4.如图，在等腰直角ABO 中， OA OB1，C 为 AB 上靠近点A 的四等 分点，过 C 作 AB 的垂线 l，P 为垂线上任一点， 设
3、OA a，OB b，OP p， 则 p (ba)等于 () A 1 2 B.1 2 C 3 2 D.3 2 答案A 解析以 OA，OB 所在直线分别作为x 轴， y 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 A(1,0)，B(0,1)，C(3 4， 1 4)， 直线 l 的方程为y 1 4x 3 4， 即 xy1 20. 设 P(x，x 1 2)，则 p(x，x 1 2)， 而 ba (1,1)， 所以 p (ba) x(x 1 2) 1 2. 5 在平面上， AB1 AB2 ， |OB1 | |OB2 |1， AP AB1 AB2 .若|OP |4|a|， 则 Smin0；若 |b|2|
4、a|， Smin8|a|2，则 a 与 b 的夹角为 4. 答案 解析xi，yi(i1,2,3,4,5)均由 2 个 a 和 3 个 b排列而成， S i1 5 xiyi，可能情况有以下三种： (1)S2a 23b2； (2)Sa 22a b2b2； (3)S4a bb 2. 2a2 3b2(a22a b2b 2)a2b22a b a2 b22|a|b|cos 0， a 22a b2b24a bb2a2b22a b 0， S的最小值为Sminb 24a b. 因此 S最多有 3 个不同的值，故不正确 当 ab时， S的最小值为Sminb 2 与|a|无关，故 正确 当 ab时， S的最小值为S
5、minb 24|a|b|或 S minb 24|a|b|与|b|有关，故 不正确 当|b|4|a|时， Sminb24|a|b|cos b 24|a|b| |b|(|b|4|a|)0，故 正确 当|b|2|a|时，由 Sminb 24a b8|a|2 知， 4a b4a 2，即 a ba2，|a|b|cos a2， cos 1 2， 3，故 不正确 因此正确命题的编号为 . 11已知向量a (sin x， 3 4)，b(cos x， 1) (1)当 ab 时，求 cos 2xsin 2x 的值； (2)设函数 f(x)2(ab) b，已知在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c
6、，若 a3， b2，sin B 6 3 ，求 f(x)4cos(2A 6)(x0， 3)的取值范围 解(1)因为 ab， 所以 3 4cos xsin x0. 所以 tan x 3 4. 故 cos2xsin 2x cos 2x2sin xcos x sin 2xcos2x 1 2tan x 1tan 2 x 8 5. (2)f(x)2(a b) b 2(sin xcos x， 1 4) (cos x， 1) sin 2xcos 2x3 2 2sin(2x 4) 3 2. 由正弦定理，得 a sin A b sin B， 所以 sin Aasin B b 3 6 3 2 2 2 . 所以 A
7、4或 A 3 4 . 因为 ba，所以 A 4. 所以 f(x)4cos(2A 6) 2sin(2x 4) 1 2. 因为 x0， 3， 所以 2x 4 4， 11 12 所以 3 2 1f(x)4cos(2A 6) 21 2. 所以 f(x)4cos(2A 6)的取值范围为 3 2 1，2 1 2 12在 ABC 中， AC10，过顶点C 作 AB 的垂线，垂足为D，AD5，且满足 AD 5 11DB . (1)求|AB AC |； (2)存在实数t1，使得向量xAB tAC ，ytAB AC ，令 kx y，求 k 的最小值 解(1)由 AD 5 11DB ，且 A，B，D 三点共线， 可
8、知 |AD | 5 11|DB |. 又 AD5，所以 DB11. 在 RtADC 中， CD 2AC2AD2 75， 在 RtBDC 中， BC 2DB2CD2 196， 所以 BC14. 所以 |AB AC |CB |14. (2)由(1)，知 |AB |16，|AC |10， |BC | 14. 由余弦定理，得cos A 10 2162142 210 16 1 2. 由 xAB tAC ，ytAB AC ， 知 kx y (AB tAC ) (tAB AC ) t|AB | 2 (t21)AC AB t|AC | 2 256t(t21)16101 2100t 80t 2356t80. 由二次函数的图象，可知该函数在1， )上单调递增， 所以当 t1 时， k 取得最小值516.