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1、第一章自主检测 (时间： 120 分钟满分： 150 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 50 分 ) 1在 ABC 中， a2， b3，B60 ，那么 A() A120 或 60 B45 C135 或 45 D60 2在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 a 2c2b2 ac，则角 B 的值 为() A. 3或 2 3 B. 3 C. 6或 5 6 D. 6 3已知 ABC 中， AB6， A30 ， B 120 ，则 ABC 的面积为 () A9 B18 C9 3 D18 3 4在 ABC 中，周长为7.5 cm，且 sinAsinBsinC456，下列结论： a
2、bc456； abc256； a2 cm，b 2.5 cm，c3 cm； A BC456. 其中成立的个数是() A0 个B 1 个 C2 个D 3 个 5三边长分别为1,1, 3的三角形的最大内角的度数是() A60 B90C120D135 6若 sinA a cosB b cosC c ，则 ABC 为() A等边三角形 B等腰三角形 C有一个内角为30 的直角三角形 D有一个内角为30 的等腰三角形 7三角形的两边分别为5 和 3，它们夹角的余弦值是方程5x 27x60 的根， 则三角 形的另一边长为() A52 B2 13 C16 D4 8在 ABC 中， a15，b10，A60 ，则
3、 cosB() A 2 2 3 B.2 2 3 C 6 3 D. 6 3 9已知两座灯塔A 和 B 与观察站C 的距离都等于10 km，A 在 C 的北偏东40 ，B 在 C 的南偏东20 ，则灯塔A 与 B 的距离为 () A10 km B10 2 km C10 3 km D15 km 10在 ABC 中，已知 |AB |4，|AC |1，ABC 的面积为3，则 AB AC () A 2 B 4 C2 D4 二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分 ) 11在 ABC 中，若 b1，c3， C2 3 ，则 a_. 12 等边三角形ABC 的边长为1， AB a， BC b， CA c， 那
4、么 a b b cc a_. 13一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔P的南偏西75 距塔 68 海里的 M 处，下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船行的速度为_海里 /时 14已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a， b，c，且 cosA cosB a b2c，则 角 A 的大小为 _ 三解答题 (共 80 分) 15(12 分)在 ABC 中，已知AB10 2，A 45 ，在 BC 边的长分别为20， 20 3 3， 5 的情况下，求相应角C. 16(12 分)已知在 ABC 中， A45 ，a2 cm，c6 cm，求角 B，C 及边 b. 17(1
5、4 分)在 ABC 中， B 3，求 tan A 2 tan C 2 3tanA 2tan C 2 的值 18(14 分)在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连接本垒及游 击手的直线成15 的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最 大跑速的4 倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球(如图 1-1 所示 )? 图 1-1 19(14 分) 在ABC 中，且 AB AC 8 3SABC(其中 S ABC为ABC 的面积 ) (1)求 sin 2 BC 2 cos2A 的值； (2) 若 b2，S ABC3，求 a 的值 20(14 分)如图 1-2，半圆
6、 O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA 2，B 为半圆 上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC. 问：当点 B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？ 图 1-2 检测部分 第一章自主检测 1B2.B 3 C解析： A 30 ， B 120 ， C 30 . BA BC 6. SABC 1 2 BABC sinB 1 2 66 3 2 9 3. 4C5.C6.B 7B解析： 三角形两边a， b 的夹角的余弦值是方程5x 27x60 的根， cosC 3 5.由余弦定理可得 c 2a2b22abcosC2592533 552， c 522 13. 8D解析：根据正弦定理 a
7、sinA b sinB，可得 15 sin60 10 sinB.解得 sinB 3 3 ，又因为 b a， 则 B A，故 B 为锐角，所以cosB1sin2B 6 3 .故选 D. 9C 10A解析： |AB |4，|AC |1， ABC 的面积为3， SABC 1 2 |AB | |AC |sinA1 241sinA 3. sinA 3 2 .cosA 1sin 2A1 2. AB AC |AB |AC |cosA 41 1 2 2. 111 12 3 2 解析： 在等边三角形ABC 中， ABC60 ， ab b c ca|a|b|cos a，b 1 2. ab b c ca 3 2.
8、13.17 6 2 解析：利用正弦定理可得 68 sin45 MN sin 75 45 ， 即 MN34 6.速度为 MN 4 17 6 2 (海里 /时) 14.2 3 解析： cosA cosB a b2c，根据正弦定理， 得 cosA cosB sinA sinB 2sinC， 即 sinBcosA 2sinCcosA cosBsinA， 整理，得 2sinCcosAsinBcosAcosBsinAsin(AB) 在 ABC 中， sin(AB) sin( C)sinC0， 2sinCcosAsinC，约去 sinC 得 cosA 1 2. 又 A(0，)， A 2 3 . 15解： 由
9、正弦定理，得sinC ABsinA BC 10 BC. (1)当 BC20 时， sinC 1 2. BCAB， AC.C30 . (2)当 BC 20 3 3时， sinC 3 2 . AB sin45 1. C 不存在 16解：由正弦定理，得 sinC c asinA 6 2 2 2 3 2 ， C 60 或 C 120 . 当 C60 时， B180 (AC) 75 ， b a sinA sinB 2 sin45 sin75 3 1(cm)； 当 C120 时， B180 (AC)15 ， b a sinA sinB 2 sin45 sin15 3 1(cm) b31 cm，C60 ，B
10、75 ， 或 b31 cm，C 120 ，B15 . 17解： AC180 B120 ， 从而 AC 2 60 ，故 tanAC 2 3. 由两角和的正切公式，得tanAC 2 tanA 2 tanC 2 1tanA 2tan C 2 3， tanA 2tan C 2 33tanA 2 tan C 2 . tanA 2tan C 2 3tanA 2 tanC 2 3. 18解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点(如图 D41)设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则 AOB15 ，OBvt，AB v 4t. 在 AOB 中，由正弦定理，得 OB sinOAB A
11、B sin15 ， sinOAB OB ABsin15 vt vt 4 62 4 62. 而(62)284 38 41.741，即 sinOAB1， OAB 不存在因此，游击手不能接着球 图 D41 19解： (1)AB AC 8 3S ABC， |AB |AC |cosA 8 3 1 2|AB | |AC |sinA. cosA 4 3sinA.cosA 4 5，sinA 3 5. sin2BC 2 cos2A1cos BC 2 2cos2A1 1cosA 2 2cos2A1 59 50. (2)sinA 3 5，由 S ABC 1 2bcsinA， 得 31 22c 3 5，解得 c5. a 2b2c22bccosA4252254 513. a13. 20解： 设 AOB . 在 AOB 中，由余弦定理，得 AB 212 22212cos 54cos . 所以四边形OACB 的面积为 SSAOBSABC 1 2OAOBsin 3 4 AB 2 1 221sin 3 4 (54cos ) sin 3cos 5 4 3 2sin 3 5 4 3. 所以当 sin 3 1 时， S有最大值 因为 0 ， 所以 3 2， 5 6. 故当 AOB 5 6 时，四边形 OACB 的面积最大