初三相似三角形讲义.pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 相似三角形知识点总结 知识点 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如ABC 与A / B / C / 相似，记作 : ABC A / B / C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意： （1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若ABC A / B / C / ， 相似比为 k，则 A / B / C / 与ABC的相似比是 1 k 知识点 2、相似三

2、角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1 的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点 3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式：中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， a b c d abcdadbcac() b、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果b=c，那么 b 叫做 a、 d的比例中项。 把线段 AB分成两条线段AC和 BC ，使 AC 2=AB BC ，叫做把线段 AB黄金分割， C叫做线 段 AB的黄金分割点。 2. 比例性质： 基本

3、性质： a b c d adbc合比性质： a b c d ab b cd d 等比性质： a b c d m n bdn acm bdn a b ()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 . 已知 l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB 或或或或 等. 优秀学习资料欢迎下载 （2）推论 :平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线 )所得的对应线 段成比例 . A D E

4、B C 由 DEBC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD 或或 .此推论较原定理应用 更加广泛 ,条件是平行 . （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线 )所得的对 应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线 . （4）定理 :平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例. 知识点 4：相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相

5、似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 5：相似三角形的判定： 两角对应相等，两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原 三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角 形相似。 点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三

6、个角。 注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含 的相等的角，我们应注意公共角的运用。 两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 注意：这个角必须是两边的夹角， 而不能是其他的角， 其他的角则不可以识别两 个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS” 三边对应成比例的两个三角形相似。 知识点六：摄影定理 优秀学习资料欢迎下载 D A B C AD 2=BDCD AB2=BD BC AC2=CD BC 特殊图形（双垂直模型） BAC=90 AD 2=BDCD AB 2=BD BC AC2=CD BC 知识点七：相似三角形的周长和面积 （1）相似三角形的

7、对应高相等，对应边的比相等。 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方 补充：相似三角形的识别方法 (1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 (2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线 )相交，所构 成的三角形与原三角形相似。 注意：适用此方法的基本图形，(简记为 A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。 (4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。 (5)两角对应相等的两个三角形相似。 (6)一条直角边和斜边长对

8、应成比例的两个直角三角形相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 相似三角形的基本图形： A B C DE A B C DE ADBC BACBDAADC 优秀学习资料欢迎下载 判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角 或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对 应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。 相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。 经典习题 考点一：平行线分线段成比例 1、 （2013 广东肇庆）如图，已知直线abc，直线m、n与a、b、c分别交于点A

9、、C 、E、 B、D 、F，AC 4 ，CE 6 ，BD 3 ，则BF （） A 7 B 7.5 C 8 D 8.5 2、（ 2013?福州） 如图，已知 ABC ，AB=AC=1 ， A=36 ， ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是 （结果保留根号） 3、（ 2011 湖南怀化）如图所示：ABC 中， DEBC，AD5，BD10，AE3，则 CE 的值为（） A9 B6 C3 D4 a b c A B C D E F m n 优秀学习资料欢迎下载 E C D B A 4 （2011 山东泰安） 如图，点 F 是 ABCD的边 CD 上一点， 直线 B

10、F 交 AD 的延长线于点E， 则下列结论错误 的是（ ） A EDDF EAAB B DEEF BCFB C BCBF DEBE D BFBC BEAE 5 （ 2012?孝感）如图，在ABC 中， AB=AC ， A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D， 若 AC=2 ，则 AD 的长是（） A 51 2 B 51 2 C51D51 考点二：相似三角形的性质 1、 （ 2013?昆明）如图，在正方形ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与A，B 重合） ，对 角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交AC，BD 于点 E， F， 交 A

11、D ， BC 于点 M，N下列结论： APE AME ； PM+PN=AC ； PE 2+PF2=PO2； POF BNF ； 当 PMN AMP 时，点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有（） A5 个B4 个C3 个D2 个 G E A D B C P F 优秀学习资料欢迎下载 考点 ：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 分析： 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM 和BPN 以及 APE、 BPF 都是等腰直角三角形，四边形PEOF 是矩形，从而作出判断 解答： 解：四边形ABCD 是正方形， BAC= DAC=45 在 AP

12、E 和AME 中， ， APE AME ，故 正确； PE=EM=PM， 同理， FP=FN=NP 正方形ABCD 中 AC BD ， 又 PEAC ，PFBD， PEO=EOF=PFO=90 ，且 APE 中 AE=PE 四边形PEOF 是矩形 PF=OE， PE+PF=OA ， 又 PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC， PM+PN=AC ，故 正确； 四边形PEOF 是矩形， PE=OF， 在直角 OPF 中， OF2+PF2=PO2， PE2+PF2=PO2，故 正确 BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，故 错误； AMP 是等腰直角三角形，当PMN AMP 时，

13、PMN 是等腰直角三角形 PM=PN ， 又 AMP 和BPN 都是等腰直角三角形， AP=BP，即 P 时 AB 的中点故 正确 故选 B 点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识APM 和BPN 以及 APE、BPF 都是等腰直角三角形，四边形PEOF 是矩形是关键 2、 （ 2013?新疆）如图，Rt ABC 中， ACB=90 ， ABC=60 ，BC=2cm ，D 为 BC 的中 点，若动点E 以 1cm/s 的速度从A 点出发，沿着ABA 的方向运动，设E 点的运动时间 为 t 秒（ 0 t6） ，连接 DE，当 BDE 是直角三角形时，t 的值为（） 优秀

14、学习资料欢迎下载 A2B2.5 或 3.5 C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5 考点 ：相似三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形 专题 ：动点型 分析： 由 RtABC 中， ACB=90 ， ABC=60 ，BC=2cm ，可求得AB 的长，由 D 为 BC 的中 点，可求得BD 的长，然后分别从若DBE=90 与若 EDB=90 时，去分析求解即可求得 答案 解答： 解： RtABC 中， ACB=90 ， ABC=60 ，BC=2cm ， AB=2BC=4 （ cm） ， BC=2cm ，D 为 BC 的中点，动点E 以 1cm/s 的速度从A 点出发， BD=B

15、C=1 （cm） ，BE=AB AE=4 t（cm） ， 若 DBE=90 ， 当 AB 时， ABC=60 ， BDE=30 ， BE=BD= （cm） ， t=3.5， 当 BA 时， t=4+0.5=4.5 若 EDB=90 时， 当 AB 时， ABC=60 ， BED=30 ， BE=2BD=2 （cm） ， t=4 2=2， 当 BA 时， t=4+2=6 （舍去） 综上可得： t 的值为 2 或 3.5 或 4.5 故选 D 点评： 此题考查了含30 角的直角三角形的性质此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类 讨论思想与数形结合思想的应用 3、 （ 2013?内江）如图，在 ?

16、ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF=4：25，则 DE：EC=（） A2：5 B2：3 C3：5 D3：2 考点 ：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEF BAF ，再根据SDEF： 优秀学习资料欢迎下载 SABF=4：10： 25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：EC 的值，由 AB=CD 即可得出结论 解答： 解：四边形ABCD 是平行四边形， ABCD， EAB= DEF， AFB= DFE， DEF BAF ， SDEF：SABF=4：2

17、5， DE：AB=2 ：5， AB=CD ， DE：EC=2：3 故选 B 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等 于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键 4、（ 2013?宁夏） ABC 中， D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点， BC=4 ，下面四个结论： DE=2 ； ADE ABC ； ADE 的面积与 ABC 的面积之比为1：4； ADE 的周长与 ABC 的周长之比为1：4；其中正确的有 （只填序号） 考点 ：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 分析： 根据题意做出图形，点D、E 分别是 AB 、AC 的中点，

18、可得DE BC，DE=BC=2 ，则可 证得 ADE ABC ，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得ADE 的面积与 ABC 的面积之比为1： 4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得ADE 的周长与 ABC 的周长之比为1： 2，选出正确的结论即可 解答： 解：在 ABC 中， D、E 分别是 AB 、AC 的中点， DEBC，DE=BC=2 ， ADE ABC ， 故正确； ADE ABC ，=， ADE 的面积与 ABC 的面积之比为1：4， ADE 的周长与 ABC 的周长之比为1：2， 故 正确， 错误 故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，

19、难度不大，注意掌握数形 结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比 的平方 优秀学习资料欢迎下载 5、 （ 2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD 中， AB=6 ，AD=9 ，BAD 的平分线交BC 于 E，交 DC 的延长线于F，BGAE 于 G，BG=，则 EFC 的周长为（） A11 B10 C9 D8 考点 ：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 分析： 判断出 ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到EC 的长度， 在 RtBGE 中求出 GE，继而得到AE ，求出 ABE 的周长，根据相似三角形的周长

20、之比 等于相似比，可得出EFC 的周长 解答： 解：在 ?ABCD 中， AB=CD=6 ，AD=BC=9 ， BAD 的平分线交BC 于点 E， BAF= DAF ， ABDF，AD BC， BAF= F=DAF ， BAE= AEB ， AB=BE=6 ，AD=DF=9 ， ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形， AD BC， EFC 是等腰三角形，且FC=CE， EC=FC=9 6=3， 在ABG 中， BGAE，AB=6 ，BG=4， AG=2， AE=2AG=4 ， ABE 的周长等于16， 又 CEF BEA ，相似比为1：2， CEF 的周长为8 故选 D 点评： 本题主要

21、考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长 之比等于相似比，此题难度较大 6、 （ 2013?宜昌）如图，点A，B， C，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ， 以 C，D， E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） 优秀学习资料欢迎下载 A（ 6，0）B（ 6，3）C（6，5）D（ 4，2） 考点 ：相似三角形的性质；坐标与图形性质 分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断 解答： 解：ABC 中， ABC=90 ，AB=6 ，BC=3 ，AB：BC=2 A、当点 E

22、的坐标为（ 6，0）时， CDE=90 ，CD=2，DE=1 ，则 AB：BC=CD ：DE， CDE ABC ，故本选项不符合题意； B、当点 E 的坐标为 （ 6，3）时，CDE=90 ，CD=2 ，DE=2 ，则 AB ：BC CD：DE，CDE 与ABC 不相似，故本选项符合题意； C、当点 E 的坐标为（ 6，5）时， CDE=90 ，CD=2，DE=4 ，则 AB：BC=DE ：CD， EDC ABC ，故本选项不符合题意； D、当点 E 的坐标为（ 4，2）时， ECD=90 ，CD=2，CE=1，则 AB：BC=CD ：CE， DCE ABC ，故本选项不符合题意； 故选 B

23、点评： 本题考查了相似三角形的判定，难度中等牢记判定定理是解题的关键 7、（2013?雅安）如图，DE 是ABC 的中位线， 延长 DE 至 F 使 EF=DE ， 连接 CF， 则 SCEF： S四边形BCED的值为（ ） A1：3 B2：3 C1：4 D2：5 考点 ：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 分析： 先利用 SAS 证明 ADE CFE（SAS） ，得出 SADE=SCFE，再由 DE 为中位线，判断 ADE ABC ，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到SADE： SABC=1：4，则 SADE：S四边形BCED=1：3，进而

24、得出SCEF： S四边形BCED=1：3 解答： 解： DE 为ABC 的中位线， AE=CE 在ADE 与CFE 中， 优秀学习资料欢迎下载 ， ADE CFE（SAS） ， SADE=SCFE DE 为ABC 的中位线， ADE ABC ，且相似比为1：2， SADE：SABC=1：4， SADE+S四边形 BCED=SABC， SADE：S四边形BCED=1：3， SCEF：S四边形BCED=1：3 故选 A 点评： 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理关键是利用中位 线判断相似三角形及相似比 8、 （ 2013 聊城）如图， D 是ABC 的边 BC 上一点，

25、已知AB=4 ，AD=2 DAC= B，若 ABD 的面积为a，则 ACD 的面积为（） Aa BCD 考点 ：相似三角形的判定与性质 分析： 首先证明 ACD BCA ，由相似三角形的性质可得：ACD 的面积： ABC 的面 积为 1： 4，因为 ABD 的面积为a，进而求出 ACD 的面积 解答： 解： DAC= B， C=C， ACD BCA ， AB=4 ，AD=2 ， ACD 的面积： ABC 的面积为1：4， ACD 的面积： ABD 的面积 =1： 3， ABD 的面积为a， ACD 的面积为a， 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的

26、平方，是中 考常见题型 9、 （ 2013 菏泽）如图，边长为6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分 别为 S1，S2，则 S1+S2的值为（） 优秀学习资料欢迎下载 A16 B17 C18 D19 考点 ：相似三角形的判定与性质；正方形的性质 专题 ：计算题 分析： 由图可得， S1的边长为3，由 AC=BC，BC=CE=CD，可得 AC=2CD ，CD=2， EC=；然后，分别算出S1、 S2的面积，即可解答 解答： 解：如图，设正方形S2的边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD， AC=2CD ，CD=2， EC 2 =2 2+22，即 EC= ；

27、S2的面积为EC2= =8； S1的边长为3，S1的面积为3 3=9， S1+S2=8+9=17 故选 B 点评： 本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力 10、（ 2013 安顺） 在平行四边形ABCD 中， E 在 DC 上， 若 DE： EC=1： 2， 则 BF： BE= 考点 ：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析： 由题可知 ABF CEF，然后根据相似比求解 解答： 解： DE：EC=1：2 EC：CD=2 ：3 即 EC：AB=2 ：3 AB CD， ABF CEF， BF：EF=AB ：EC=3： 2 BF：BE=3：5 点评： 此题主要

28、考查了平行四边形、相似三角形的性质 11、 （13 年安徽省4 分、 13）如图， P为平行四边形ABCD 边 AD上一 点， E 、F 分别为 PB 、PC的中点， PEF 、PDC、PAB的面积分别 为 S、S1、S2。若 S=2，则 S1+S2= 优秀学习资料欢迎下载 考点三：相似三角形的判定 1、（2013?益阳）如图，在ABC 中， AB=AC ， BD=CD ， CEAB 于 E 求证：ABD CBE 考点 ：相似三角形的判定 专题 ：证明题 分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC， 然后求出 ADB= CEB=90 ，再根据两组 角对应相等的两个三角形相似证明 解答：

29、 证明：在 ABC 中， AB=AC ，BD=CD ， AD BC， CEAB ， ADB= CEB=90 ， 又 B= B， ABD CBE 点评： 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应 相等的角是解题的关键 2、（ 2013年河北）如图4，菱形 ABCD中，点 M，N在AC上， MEAD， NFAB. 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN = A3 B4 C5 D6 答案 ：B 解析 ：由 AFN AEM ，得： ANNF AMME ，即 2 23 AN AN ， 解得： AN 4，选 B。 3、（2013?孝感） 如图， 在ABC

30、中， AB=AC=a ， BC=b （ab） 在 ABC 内依次作 CBD= A， DCE= CBD， EDF= DCE则 EF 等于（） 优秀学习资料欢迎下载 A BCD 考点 ：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析： 依次判定 ABC BDC CDE DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可 得出 EF 的长度 解答： 解： AB=AC ， ABC= ACB ， 又 CBD= A， ABC BDC ， 同理可得： ABC BDC CDE DFE ， =，=，=， 解得： CD=，DE=，EF= 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容

31、易找到，难点在于根据对 应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错 4、 （2013?苏州） 如图， 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为2 的正方形， 顶点 A、 C 分别在 x，y 轴的正半轴上点Q 在对角线OB 上，且 QO=OC ，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P则点 P的坐标为（2，42） 考点 ：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质 分析： 根据正方形的对角线等于边长的倍求出 OB，再求出 BQ，然后求出 BPQ 和OCQ 相 似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP 的长，再求出AP，即可得到点P 的坐标 解答： 解：四边形OABC

32、 是边长为2 的正方形， 优秀学习资料欢迎下载 OA=OC=2 ，OB=2， QO=OC， BQ=OB OQ=22， 正方形OABC 的边 ABOC， BPQ OCQ， =， 即=， 解得 BP=22， AP=AB BP=2（ 22）=42， 点 P 的坐标为（ 2，42） 故答案为：（2，42） 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的倍的性质， 以及坐标 与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP 的长是解题的关键 5、 （ 2013?眉山）如图，BAC= DAF=90 ，AB=AC ，AD=AF ，点 D、 E 为 BC 边上的两 点，且 DA

33、E=45 ，连接 EF、 BF，则下列结论： AED AEF； ABE ACD ； BE+DC DE； BE 2+DC2 =DE 2， 其中正确的有（）个 A1B2C3D4 考点 ：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析： 根据 DAF=90 ， DAE=45 ，得出 FAE=45 ，利用 SAS 证明 AED AEF，判定 正确； 如果 ABE ACD ，那么 BAE= CAD ，由 ABE= C=45 ，则 AED= ADE ， AD=AE ，而由已知不能得出此条件，判定 错误； 先由 BAC= DAF=90 ，得出 CAD= BAF，再利用SAS 证明 ACD A

34、BF，得出 CD=BF ，又 知 DE=EF ，那么在 BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF EF，等量代换后判定 正确； 先由 ACD ABF，得出 C=ABF=45 ，进而得出EBF=90 ，然后在RtBEF 中， 运用勾股定理得出BE 2+BF2=EF2，等量代换后判定 正确 解答： 解： DAF=90 ， DAE=45 ， FAE= DAF DAE=45 在AED 与AEF 中， 优秀学习资料欢迎下载 ， AED AEF（SAS） ， 正确； BAC=90 ，AB=AC ， ABE= C=45 点 D、E 为 BC 边上的两点，DAE=45 ， AD 与 AE 不一定相

35、等，AED 与 ADE 不一定相等， AED=45 +BAE ， ADE=45 +CAD ， BAE 与 CAD 不一定相等， ABE 与ACD 不一定相似， 错误； BAC= DAF=90 ， BAC BAD= DAF BAD ，即 CAD= BAF 在ACD 与ABF 中， ， ACD ABF （SAS） ， CD=BF， 由 知 AED AEF， DE=EF 在BEF 中， BE+BF EF， BE+DC DE， 正确； 由 知ACD ABF， C=ABF=45 ， ABE=45 ， EBF= ABE+ ABF=90 在 RtBEF 中，由勾股定理，得BE 2+BF2=EF2， BF=D

36、C ，EF=DE ， BE2+DC 2 =DE 2， 正确 所以正确的结论有 故选 C 点评： 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三 边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有 优秀学习资料欢迎下载 一定难度 6、 （ 2013?天津）如图，在边长为9 的正三角形ABC 中， BD=3 ， ADE=60 ，则 AE 的长 为7 考点 ：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质 分析： 先根据边长为9， BD=3 ，求出 CD 的长度，然后根据ADE=60 和等边三角形的性质，证 明ABD DCE，进而根据相似三角形的

37、对应边成比例，求得 CE 的长度， 即可求出AE 的长度 解答： 解： ABC 是等边三角形， B= C=60 ， AB=BC ； CD=BC BD=9 3=6； BAD+ ADB=120 ADE=60 ， ADB+ EDC=120 ， DAB= EDC， 又 B= C=60 ， ABD DCE， 则=， 即=， 解得： CE=2， 故 AE=AC CE=92=7 故答案为： 7 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质 证得 ABD DCE 是解答此题的关键 7、 （ 2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 相交于

38、点O，E 为 OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点 F，则 DF：FC= （） A1：4 B1：3 C2：3 D1：2 优秀学习资料欢迎下载 考点 ：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 分析： 首先证明 DFE BAE，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出DF：AB 的值， 又知 AB=DC ，即可得出DF：FC 的值 解答： 解：在平行四边形ABCD 中， AB DC， 则DFE BAE ， =， O 为对角线的交点， DO=BO ， 又 E 为 OD 的中点， DE=DB， 则 DE：EB=1： 3， DF：AB=1 ：3， DC=AB ， DF：DC=1 ：3，

39、DF：FC=1：2 故选 D 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键 是根据平行证明DFE BAE ，然后根据对应边成比例求值 8、 （ 2013?牡丹江）如图，在ABC 中 A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N， P 为 BC 边的中点，连接PM，PN，则下列结论： PM=PN； PMN 为等边三 角形； 当 ABC=45 时， BN=PC其中正确的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 考点 ：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断 正确；

40、 先证明 ABM ACN ，再根据相似三角形的对应边成比例可判断 正确； 优秀学习资料欢迎下载 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM= ACN=30 ，再根据三角形的内角和定 理求出 BCN+ CBM=60 ，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 求出 BPN+ CPM=120 ，从而得到 MPN=60 ，又由 得 PM=PN ，根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形可判断 正确； 当 ABC=45 时， BCN=45 ，由 P为 BC 边的中点，得出BN=PB=PC，判断 正 确 解答： 解： BM AC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点， P

41、M=BC ，PN=BC， PM=PN ，正确； 在ABM 与 ACN 中， A= A， AMB= ANC=90 ， ABM ACN ， ，正确； A=60 ，BM AC 于点 M，CNAB 于点 N， ABM= ACN=30 ， 在ABC 中， BCN+ CBM 180 60 30 2=60 ， 点 P 是 BC 的中点， BM AC ，CNAB ， PM=PN=PB=PC ， BPN=2 BCN ， CPM=2 CBM ， BPN+ CPM=2 （ BCN+ CBM ）=2 60 =120 ， MPN=60 ， PMN 是等边三角形，正确； 当 ABC=45 时， CNAB 于点 N， BN

42、C=90 ， BCN=45 ， BN=CN ， P 为 BC 边的中点， PN BC，BPN 为等腰直角三角形 BN=PB=PC，正确 故选 D 点评： 本题主要考查了直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等 边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并 优秀学习资料欢迎下载 熟练掌握性质是解题的关键 9、 （2013?黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 考点 ：相似三角形的判定与性质 分析： 由BAC= ACD=90 ，可得 AB CD，即可证得ABE DCE，然后由相似三角形的 对应边成比例，可得：，然后利用三角函

43、数，用AC 表示出 AB 与 CD，即可求得 答案 解答： 解： BAC= ACD=90 ， ABCD， ABE DCE， ， 在 RtACB 中 B=45 ， AB=AC ， 在 RtACD 中， D=30 ， CD=AC ， = 故答案为： 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结 合思想的应用 10、 （2013 台湾、 33）如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为 梯形，乙为三角形根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者 正确？（） A甲乙，乙丙B甲乙，乙丙C甲乙，乙丙D甲乙，乙丙 考点：相似三角形

44、的判定与性质 优秀学习资料欢迎下载 分析：首先过点B 作 BH GF 于点 H，则 S乙=AB?AC，易证得 ABC DBE ， GBH BCA ，可求得 GF，DB ，DE，DF 的长，继而求得答案 解答：解：如图：过点B 作 BHGF 于点 H， 则 S乙=AB?AC ， AC DE， ABC DBE ， ， BC=7 ，CE=3， DE=AC ，DB=AB， AD=BD BA=AB， S丙=（ AC+DE ） ?AD=AB?AC ， AGF，BH GF，AC AB ， BH AC ， 四边形 BDFH 是矩形， BH=DF ，FH=BD=AB ， GBH BCA ， ， GB=2 ，BC

45、=7 ， GH=AB，BHAC， DF=AC ，GF=GH+FH=AB ， S甲=（ BD+GF ） ?DF=AB?AC， 甲乙，乙丙 故选 D 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及直角三角形的性质此题 难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 考点四：相似三角形的应用 优秀学习资料欢迎下载 1、 （ 2013?白银）如图，路灯距离地面8 米，身高1.6 米的小明站在距离灯的底部（点O） 20 米的 A 处，则小明的影子AM 长为5米 考点 ：相似三角形的应用 分析： 易得： ABM OCM ，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长 解答： 解：根据题意，易得MBA MCO ， 根据相似三角形的性质可知=，即=， 解得 AM=5m 则小明的影长为5 米 点评： 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长 2、 （ 2013?巴中）如图，小明在