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1、山东省 2015 年普通高校招生(春季)考试 数学试题 注意事项 : .本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分满分 120分,考试时间 120 分钟考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回 .本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,最后结 果精确到 0.01 第卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题 20 个小题,每小题 3 分,共 60 分在每小题列出的四个选 项中,只有一项符合题目要求, 请将符合题目要求的选项字母选出,填涂在答题 卡上) 1若集合A 1,2,3,B1 ,3 ,则A B 等于() (A)1 ,2,3 (B)1 ,3 (C)1,2 (D) 2 2|
2、x1|5 的解集是() (A)(6, 4) (B) ( 4, 6) (C)( , 6)(4, ) (D)( , 4 )( 6, ) 3函数 yx+1 + 1 x的定义域为( ) (A) x| x 1 且 x0 (B)x|x 1 (C)x x 1且 x0 (D) x|x 1 4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 5在等比数列an中, a21,a43,则 a6等于( ) (A)-5 (B) 5 (C)-9 (D)9 6.如图所示, M 是线段 OB 的中点, 设向量 OA a , OB b ,
3、则 AM 可以表示为 () (A)a + 1 2 b(B) a+ 1 2 b (C)a 1 2 b( D) a 1 2 b 7终边在y 轴的正半轴上的角的集合是() (A)x|x 2 2k ,k Z (B)x|x 2k (C)x|x 22k ,k Z (D)x|x 2k ,k Z 8关于函数y x 2+2x,下列叙述错误的是( ) (A)函数的最大值是1 (B)函数图象的对称轴是直线x=1 (C)函数的单调递减区间是1, ) (D)函数图象过点(2,0) 9某值日小组共有5 名同学,若任意安排3 名同学负责教室内的地面卫生,其余2 名同学 负责教室外的走廊卫生,则不同的安排方法种数是() (A
4、)10 (B) 20 (C)60 (D) 100 10如图所示,直线l 的方程是() (A)3xy30 ( B)3x2y30 (C)3x3y10 ( D)x3y10 11对于命题p,q,若 pq 为假命题”,且pq 为真命题,则() (A)p,q 都是真命题(B)p,q 都是假命题 (C)p,q 一个是真命题一个是假命题(D)无法判断 12已知函数f (x)是奇函数,当x0 时, f (x)x 22,则 f (1)的值是( ) (A) 3 (B) 1 (C) 1 (D)3 13已知点P(m, 2)在函数y log1 3 x 的图象上,点A 的坐标是( 4,3) ,则 AP 的值是() (A)1
5、0 (B)2 10 (C)62 (D)5 2 B O M A 14关于 x,y 的方程 x 2+m y21,给出下列命题: 当 m0 时,方程表示双曲线;当m0 时,方程表示抛物线;当0m1 时,方程 表示椭圆;当m 1 时,方程表示等轴双曲线;当m1 时,方程表示椭圆。 其中,真命题的个数是() (A)2 (B) 3 (C)4 (D)5 15 (1x) 5 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是() (A)0(B) 1(C) 32(D)32 16不等式组 xy+10 x+y30 表 示的区域(阴影部分)是() 17甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览,约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选
6、 一处,则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是() (A)2 9 (B) 2 3 (C) 1 4 (D)1 2 18已知向量 a ( cos 5 12 ,sin5 12), b ( cos12,sin12),则 a b 等于() (A)1 2 (B) 3 2 (C)1 (D)0 19已知, 表示平面,m,n 表示直线,下列命题中正确的是() (A)若 m, m n,则 n/ (B)若m, n, / ,则m/n (C)若/,m,则 m/(D)若 m, n, m/ ,n/,则/ 20已知 F1是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的左焦点,点P 在双曲线上,直线P F1与 x
7、 轴垂直,且 P F1 a,则双曲线的离心率是() (A)2 (B)3 (C)2 (D)3 (A)(B) (C)(D) x 1 y O 3 3 1 y O 3 3 x 1 y O 3 3 x 1 y O 3 3 第卷(非选择题,共60 分) 二、填空题( 本大题共 5 个题,每小题 4 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上 相应题号的横线上 ) 21. 直棱柱的底面是边长为a 的菱形,侧棱长为h,则直棱柱的侧面积是_ 22在 ABC 中, A 105 , C45 ,AB22, BC 等于 _ 23计划从500 名学生中抽取50 名进行问卷调查,拟采用系统抽样方法,为此将他们逐一 编号为 15
8、00,并对编号进行分段,若从第一个号码段中随机抽出的号码是2,则从第五个 号码段中抽出的号码应是_ 24已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆x 2+m y2 6 m 70 的圆心重合,长轴长等 于圆的直径,则短轴长等于_ 25集合 M,N,S都 是非空集合,现规定如下运算: MNSx|x(MN)(NS)(SM),且 x M NS 若集合 Ax|ax b ,Bx|c xd ,C x|exf,其中实数a,b,c,d,e,f 满 足: (1)ab0,cd0;ef0; (2)ba dcfe; ( 3)bad cfe 计算 AB C_ 三、解答题(本大题共5 个小题,共40 分,请在答题卡相应的题号处写
9、出解答过程) 26 (本小题 6 分)某学校合唱团参加演出,需要把120 名演员排成5 排,并且从第二排起, 每排比前一排多3 名 ,求第一排应安排多少名演员。 27.(本小题 8 分)已知函数y 2sin(2x+ ),x R, 0 2,函数的部分图象如图所示, 求 (1)函数的最小正周期T 及 的值; (2)函数的单调递增区间。 28 (本小题 8 分)已知函数f (x)ax(a 0 且 a 1)在区间2,4上的最大值是 16, (1)求实数a 的值; (2)若函数g (x)log2(x23x2a)的定义域是R,求满足不等式log2(12t)1 的实数 t 的取值范围 x O y 1 29
10、(本小题 9 分)如图所示,在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是正方形,平面SAD 平面 ABCD,SASD2,AB3. (1)求 SA与 BC 所成角的余弦值; (2)求证: ABSD 30 (本小题 9 分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,Q 是抛物 线上的点,点Q 到焦点 F 的距离为1,且到 y 轴的距离是 3 8 (1)求抛物线的标准方程; (2)若直线l 经过点 M(3,1) ,与抛物线相交于A,B 两点,且OAOB,求直线l 的方 程 B A C D S 答案 1.【考查内容】集合的交集 【答案】 B 2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案
11、】 B 【解析】1551546xxx. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】 A 【解析】10x 且0x得该函数的定义域是 10x xx且. 4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】 C 【解析】 “圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切” , “直线与圆相切”“圆 心到直线的距离等于圆的半径”. 5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】 D 【解析】 24 2 3 a q a , 2 64 9aa q. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】 B 【解析】 1 2 AMOMOAba. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】 A 【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,
12、2 xkkZ 8.【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】 C 【解析】 22 2(1)1yxxx, 最大值是 1, 对称轴是直线1x, 单调递减区间是1,) , (2,0)在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】 A 【解析】从5 人中选取3 人负责教室内的地面卫生,共有 3 5 C10种安排方法 .(选取 3 人后 剩下 2 名同学干的活就定了) 10【考查内容】直线的倾斜角,直线的点斜式方程 【答案】 D 【解析】由图可得直线的倾斜角为30, 斜率 3 tan30 3 k, 直线 l 与 x 轴的交点为 (1,0) , 由直线的点斜式方程可得l: 3 0(1) 3 yx,
13、即310xy. 11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】 C 【解析】由pq 是假命题可知p,q 至少有一个假命题,由pq 是真命题可知p,q 至少有一 个真命题, p,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】 A 【解析】 2 ( 1)(1)(12)3ff 13.【考查内容】对数的运算,向量的坐标运算,向量的模 【答案】 D 【解析】 点(, 2)P m在函数 1 3 logyx的图象上, 2 1 3 1 log2,( )9 3 mm,P 点坐标为 (9, 2),(5, 5),5 2APAP. 14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,等轴双曲线的概念
14、【答案】 B 【解析】当0m时,方程表示双曲线;当0m时,方程表示两条垂直于x 轴的直线;当 01m时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆;当1m时,方程表示圆;当1m时,方程表 示焦点在x 轴上的椭圆 .正确 . 15.【考查内容】二项式定理 【答案】 D 【解析】所有项的二项式系数之和为 012345 555555CCCCCC32 16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】 C 【解析】可以用特殊点(0,0)进行验证: 00 10,0030,非严格不等式的边界用 虚线表示,该不等式组表示的区域如C 选项中所示 . 17.【考查内容】古典概率 【答案】 D 【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种
15、数为224,其中甲、乙两位同学恰好选取同 一处景点的种数为2,故所求概率为 21 42 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式,向量的内积的坐标运算 【答案】 A 【解析】 1 sincoscossinsin 1212121262 a b 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系 【答案】 C 【解析】 A. 若 m,mn ,则 n P或 n 在内;B. 若m , n ,P,则 mnP 或 m 与 n 异面; D. 若m,n, mP, n P,且 m、n 相交才能判定P;根据 两平面平行的性质可知C 正确 . 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】 A 【解析】 1 F 的坐标为
16、(,0)c, 设 P 点坐标为 0 (,)c y, 22 0 22 () 1 yc ab , 解得 2 0 b y a , 由 1 P Fa 可得 2 b a a ,则 ab ,该双曲线为等轴双曲线,离心率为 2 . 21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】 4ah 22.【考查内容】正弦定理 【答案】2+6 【解析】由正弦定理可知, sinsin ABBC CA , sin2 2sin105 62 sin2 2 ABA BC C 23.【考查内容】系统抽样 【答案】 42 【解析】从500 名学生中抽取50 名,则每两相邻号码之间的间隔是10,第一个号码是2, 则第五个号码段中抽取的号码
17、应是24 1042 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质 【答案】 2 7 【解析】 圆 22 670xyx的圆心为 (3,0) ,半径为 4, 则椭圆的长轴长为8,即3 ,4ca, 22 7bac,则短轴长为2 7 25.【考查内容】不等式的基本性质,集合的交集和并集 【答案】x cxebxd或剟 【解析】 abcd , a c d b ; a b c d, a c b d ; b d d b , b d ; 同理可得 df , bdf.由可得0acebdf .则 ABx cxb, BCx exd,CAx exb. ABCx cxebxd或剟. 26. 【考查内容】等差数列的实际应用 【解】
18、由题意知各排人数构成等差数列 n a,设第一排人数是 1 a ,则公差3d,前 5 项和 5 120S,因为 1 (1) 2 n n n Snad,所以 1 54 12053 2 a ,解得 1 18a. 答:第一排应安排18 名演员 27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】(1)函数的最小正周期 2 2 T,因为函数的图象过点(0,1) ,所以 2sin1,即 1 sin 2 ,又因为0 2 ,所以 6 . (2)因为函数sinyx 的单调递增区间是 2,2, 22 kkkZ. 所以222 262 kxk剟,解得 36 kxk剟, 所以函数的单调递增区间是, 36 kkkZ 28.【
19、考查内容】指数函数的单调性 【解】 (1)当 01a时,函数( )f x 在区间 2,4 上是减函数, 所以当2x时,函数( )f x 取得最大值16,即 2 16a,所以 1 4 a. 当1a时,函数( )f x 在区间 2,4 上是增函数, 所以当4x时,函数( )f x 取得最大值16,即 4 16a,所以2a. ( 2) 因 为 2 2 ()l o g(32)g xxxa的 定 义 域 是R, 即 2 320xxa恒 成 立 .所 以 方 程 2 320xxa的判别式0,即 2 ( 3)4 20a,解得 9 8 a,又因为 1 4 a或2a,所以 2a.代入不等式得 2 log (1
20、2 )1t ,,即 0122t ,,解得 11 22 t, ,所以实数t 的取值范 围是 1 1 ,) 2 2 . 29.【考查内容】异面直线所成的角,直线与平面垂直的判定和性质 【解】 (1)因为 ADBCP,所以SAD即为 SA 与 BC 所成的角,在 SAD 中,2SASD, 又在正方形ABCD 中3ADAB,所以 222222 232 cos 222 3 SAADSD SAD SA AD 3 4 ,所以 SA 与 BC 所成角的余弦值是 3 4 . (2)因为平面 SAD平面 ABCD,平面 SAD平面 ABCDAD,在正方形 ABCD 中,ABAD, 所以AB平面 SAD,又因为 S
21、D平面 SAD,所以 AB SD. 30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系 【解】 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 2 2ypx,因为点Q 到焦点 F 的距离是1, 所以点 Q 到准线的距离是1,又因为点Q 到 y 轴的距离是 3 8 ,所以 3 1 28 p ,解得 5 4 p, 所以抛物线方程是 2 5 2 yx. (2)假设直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为3x,与 25 2 yx联立,可解得交点 A、 B 的坐标分别为 3030 (3,),(3,) 22 ,易得 3 2 OA OB ,可知直线OA 与直线 OB 不垂直,不 满足题意,故假设不
22、成立,从而,直线l 的斜率存在 . 设直线 l 的斜率为k, 则方程为1(3)yk x,整理得31ykxk, 设 1122 (,), (,),A x yB xy联立直线l 与抛物线的方程得 2 31 5 2 ykxk yx , 消去 y,并整理得 2222 5 (62)9610 2 k xkkxkk , 于是 2 12 2 961kk x x k . 由式变形得 31yk x k ,代入式并整理得 2 251550kyyk, 于是 12 155 2 k y y k ,又因为 OAOB ,所以0OA OB,即 1212 0x xy y, 2 2 961155 0 2 kkk kk ,解得 1 3 k或2k. 当 1 3 k时,直线l 的方程是 1 3 yx ,不满足 OAOB ,舍去 . 当2k时, 直线 l 的方程是12(3)yx, 即 25 0xy, 所以直线l 的方程是 250xy.