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1、欢迎共阅 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式， 其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才 有意义 注意理解： 1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简 结果上判断，如，都是二次根式。 2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或等于 0. 3、如果是给定的式子，就是有意义的。、 4、形如 b(a的式子也是二次根式， b 与是相乘关系，当b 是分数时，写成 假分数。 5、式子(a表示的是非负数。 6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义： 【例 1】下列各式 22
2、2 11 ,2)5,3)2, 4)4,5)() ,6)1,7)21 53 xaaa，其中是二次 根式的是 _（填序号） 变式练习： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A、 a B 、10 C 、1a D 、 2 1 a 欢迎共阅 2、在 a 、 2 a b 、 1x 、 2 1x 、 3 中是二次根式的个数有 _个 3、下列的式子一定是二次根式的是（） ABCD 4、 式子：； ； ； ； ； ； 中是二次根式的代号为（） ABCD 【例 2】若是正整数，最小的整数n 是（） A6 B3 C48 D 2 变式练习： 1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（） A0 B1 C
3、2 D 5 2、二次根式是一个整数，那么正整数a 最小值是 注意掌握： 1、二次根式具有双重非负性。(a，0 2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的 被开方数是非负数，分式中的分母不为0. 3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0. 【例 3】式子有意义的 x 的取值范围是 变式练习： 1、使代数式 4 3 x x 有意义的 x 的取值范围是（） A 、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3 且 x4 2、使代数式 2 21x x 有意义的 x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1 有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n
4、）的位置在（） 欢迎共阅 A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 【例 4】若 y=5x+x5+2009，则 x+y= 变式练习： 1、若11xx 2 ()xy，则xy的值为（） A1 B1 C2 D3 2、若 x、y 都是实数，且 y= 4x233x2 ，求 xy 的值 3、当 a取什么值时，代数式 211a 取值最小，并求出这个最小值。 4、若实数 a、b、c 满足+|a+b|=+，则 2a-3b+c 2的值 为 5、已知 y=，求 2x+y 的算术平方根 二次根式整数部分小数部分： 已知 a 是5整数部分， b 是5的小数部分，求 1 2 a b 的值。 1、若 3的整数部分是
5、 a，小数部分是 b，则ba3。 2、若 17的整数部分为 x，小数部分为 y，求y x 1 2 的值. 二次根式性质： 1. 非负性： a a()0是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. ()()aaa 2 0 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数 或非负代数式写成完全平方的形式：aaa() () 2 0 3. aa a a a a 2 0 0 | | () () 注意：（ 1）字母不一定是正数 欢迎共阅 （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应
6、把负号 留在根号外 4. 公式aa a a a a 2 0 0 | | () () 与()()aaa 2 0的区别与联系 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数 （2）()a 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数 （3）a 2 和()a 2 的运算结果都是非负的 【例 5】若 2 2340abc， 则 cba 变式练习： 1、若0) 1(3 2 nm，则mn的值为。 2、已知yx,为实数，且0231 2 yx，则yx的值为（） A3 B 3 C1 D 1 3、已知直角三角形两边x、y 的长满足 x 24 65 2 yy0，则第三边长为 . 4、若 1ab 与
7、 24ab 互为相反数，则 2005 _ab 。 【例 6】如果2- x，那么 x 取值范围是（） Ax2Bx2 C x2D x2 【例 7】化简二次根式 2 2 a a a的结果是 （A）2a (B) 2a (C)2a (D)2a 变式练习： 1、把二次根式a a 1 化简，正确的结果是（） 欢迎共阅 A. aB. aC. aD. a 2、已知 0a1，化简+ = 3、若化简的结果为 2x-5，则 x 的取值范围是（） A、任意实数 B 、1 C 、xD 、x 4、若实数 a、b、c 在数轴的位置，如图所示，则化简 - |b- c|= 5、 已知：实数 a， b 在数轴上的位置如图所示， 化
8、简：+2 -|a-b| 6、已知，求-的值。 最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能 开得尽方的数或因式 , （被开方数中每个因数 (式) 的指数都小于根指数2，都是 1）； 分母中不含根号 化最简根式时注意： （1）被开方数是带分数的要化成假分数。 （2）被开方数学是小数的要化成分数。 （3）被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。 同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【例 7】在根式 1) 222 ;2);3);4)27 5 x
9、 abxxyabc，最简二次根式是（） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 2、下列根式中，不是 最简二次根式的是（） 欢迎共阅 A 7B3C 1 2 D2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A. 2 1aB.21xC. 2 4 b D.0.1y 【例 8】下列根式中能与 3是合并的是 ( ) A. 8 B. 27 C.25 D. 2 1 【例 9】将a根号外的因式移入根号内的结果是 练习： 化简：，(y， 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数 式互为有理化因式。
10、有理化因式确定方法如下： 单项二次根式： 利用 aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba 等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 ab与ab，abab与， a xbyaxby与分别互为有理化因式。 【例 10】 把下列各式分母有理化 （1） 1 48 （2） 4 3 3 7 （3） 11 212 （4） 13 550 【例 11】把下列各式分母有理化 欢迎共阅 （1） 3 2 8 x x y （2） 2 ab （3） 3 8 x x （4） 25 25 ab ba 【例 12】把下列各式分母有理化： （1） 2 21 （2） 53 53 （3） 3 3 3 22 3 -1 的倒数为（） A-1 B1-C+1 D-1