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1、2013 年中考真題 南京市 2013 年初中毕业生学业考试 数学 注意事项： 1. 本试卷共 6 页。全卷满分 120 分。考试时间为 120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答 在本试卷上无效。 2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自 己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。 3. 答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其他位置答题一律无效。 4. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑
2、加粗，描写清楚。 一、 选择题 (本大题共 6小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 计算 12 7 ( 4) 8 ( 2)的结果是(A) 24 (B) 20 (C) 6 (D) 36 2. 计算 a 3( 1 a ) 2 的结果是(A) a(B) a5(C) a6(D) a9 3. 设边长为 3 的正方形的对角线长为a，下列关于 a 的四种说法：a 是无理数；a 可以 用数轴上的一个点来表示； 30 (C) k1k20 6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面
3、涂 有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是 l O1 O2 (A)(B)(C)(D) 2013 年中考真題 二、填空题(本大题共 10小题，每小题 2 分，共 20 分。不须写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上) 7. 3 的相反数是； 3 的倒数是。 8. 计算 3 2 1 2 的结果是。 9. 使式子 1 1 x 1 有意义的 x 的取值范围是 。 10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年 8 月 16 日至 24日在南京举办，在此期间约有13000 名青少年志愿者提供服务，将13000 用科学记数法表示为。 11. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩
4、形A B C D 的位置， 旋转角为 (0 226。 综上，顾客购买标价不超过800 元的商品，要使获得的优或额不少于226 元， 那么该商品的标价至少为630 元。(8 分) 24. (本题 8 分) 解：(1) 60；(1 分) (2) 当 20 x 30 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为y=kx b。 根据题意，当 x=20 时，y=60；当 x=30时，y=24。 所以 60=20k b 24=30k b，解得 k= 3.6 b=132 。所以， y 与 x 之间的函数关系式为y= 3.6x 132。 当 x=22 时，y= 3.6 22 132=52.8。 所以，小丽出发第22
5、min 时的速度为 52.8km/h。(5 分) (3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为 0 12 2 5 60 12 60 2 5 60 60 10 60 60 24 2 10 60 24 48 2 5 60 48 10 60 48 0 2 5 60 =33.5(km)。 所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5 10 100 =3.35(L) (8 分) 25. (本题 8 分) 解法一： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。 如图，连接 CO 并延长，交圆 O 于点 N，连接 BN。 AB/CD，BAC=ACD。 BAC=BNC，BNC=ACD。 BCP=ACD，BNC=BCP。 CN
6、 是圆 O 的直径， CBN=90 。 BNCBCN=90 ，BCPBCN=90 。 PCO=90 ，即 PC OC。 又点 C 在圆 O 上，直线 PC 与圆 O 相切。 (4 分) (2) AD 是圆 O 的切线， AD OA，即OAD=90 。 BC/AD，OMC=180OAD=90 ，即 OM BC。 MC=MB。AB=AC。 在 RtAMC 中，AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3， 由勾股定理，得 AM=AC 2 MC 2 = 9 2 3 2 =6 2。 设圆 O 的半径为 r。 在 RtOMC 中，OMC=90 ，OM=AM AO=62r，MC=3，OC=r，
7、 由勾股定理，得 OM 2 MC 2=OC 2，即(6 2 r) 2 3 2=r2。解得 r= 27 8 2。 A B C D O M P N 2013 年中考真題 在OMC 和OCP 中， OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP。 OM OC = CM PC ，即 62 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。 PC= 27 7 。(8 分) 解法二： (1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图，连接 OC。 AD 是圆 O 的切线， AD OA， 即OAD=90 。 BC/AD，OMC=180OAD=90 ， 即 OM BC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2
8、MAC。又MOC=2MAC，MOC=BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC=ACD。又BCP=ACD， MOC=BCP。MOCOCM=90 ，BCPOCM=90 。 PCO=90 ，即 PC OC。又点 C 在圆 O 上，直线 PC 与圆 O 相切。 (2) 在 RtAMC 中，AMC=90 ，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3， 由勾股定理，得 AM=AC 2 MC 2 = 9 2 3 2 =6 2。 设圆 O 的半径为 r。 在 RtOMC 中，OMC=90 ，OM=AM AO=62r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得 OM 2 MC 2=OC 2，即(6 2 r) 2 3
9、 2=r2。解得 r= 27 8 2。 在OMC 和OCP 中，OMC=OCP，MOC=COP， OMCOCP， OM OC = CM PC ，即 62 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。 PC= 27 7 。(8 分) 26. (本题 9 分) (1) 证明： y=a(x m) 2 a(x m)=ax 2 (2am a)x am 2 am。 因为当 a 0 时， (2am a) 2 4a(am 2 am)=a 20。 所以，方程 ax 2 (2am a)x am 2 am=0 有两个不相等的实数根。 所以，不论 a 与 m为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点。 (3 分) (
10、2) 解：y=a(x m) 2 a(x m)=(x 2m 1 2 ) 2a 4 ， 所以，点 C 的坐标为 ( 2m 1 2 , a 4 )。 A B C D O M P 2013 年中考真題 当 y=0时， a(x m) 2 a(x m)=0。解得 x1=m，x2=m 1。所以 AB=1。 当ABC 的面积等于 1 时， 1 2 1 | a 4 |=1。 所以 1 2 1 ( a 4 )=1，或 1 2 1 a 4 =1。 所以 a=8，或 a=8。 当 x=0 时，y=am 2 am，所以点 D 的坐标为 (0, am 2 am)。 当ABC 的面积与 ABD 的面积相等时， 1 2 1
11、| a 4 |= 1 2 1 | am 2 am|。 所以 1 2 1 ( a 4 )= 1 2 1 (am 2 am)，或 1 2 1 a 4 = 1 2 1 (am 2 am)。 所以 m= 1 2 ，或 m= 12 2 ，或 m= 12 2 。(9 分) 27. (本题 10 分) (1) ； (4 分) (2) 解：根据点 P 在ABC 边上的位置分为以下三种情况。 第一种情况：如图，点 P 在 BC(不含点 B、C)上，过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1、 PQ2， 分别使CPQ1=A， BPQ2=A，此时 PQ1C、PBQ2都与 ABC 互为逆相似。 第二种情况：如图，点 P
12、在 AC(不含点 A、C)上，过点 B 作CBM=A，BM 交 AC 于点 M。 当点 P 在 AM(不含点 M)上时，过点 P1只能画出 1 条截线 P1Q，使AP1Q=ABC，此 时AP1Q 与ABC 互为逆相似； 当点 P 在 CM 上时，过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC， CP2Q2=ABC，此时 AP2Q1、Q2P2C 都与 ABC 互为逆相似。 第三种情况：如图，点 P 在 AB(不含点 A、B)上，过点 C 作BCD=A，ACE=B， CD、CE 分别交 AC 于点 D、E。 当点 P 在 AD(不含点 D)上时，过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q，使AP1Q=ABC，此时 AQP1与ABC 互为逆相似； 当点 P 在 DE 上时，过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB， BP2Q2=BCA，此时 AQ1P2、Q2BP2都与 ABC 互为逆相似； 当点 P 在 BE(不含点 E)上时，过点 P3只能画出 1 条截线 P3Q ，使BP3Q= BCA， 此时Q BP3与ABC 互为逆相似。 (10 分) A B C Q1 P Q2 A B C Q1 M Q2 Q P1 P2 A B C Q1 Q Q P1 P2 DE Q2 P3 2013 年中考真題