2020届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12月月考数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 55 页 2020届福建省龙岩市上杭县第一中学高三12 月月考数学 （理）试题 一、单选题 1已知集合Ax xa，12Bxx，且AB R RU e，则实数a的取值 范围为（） A2a aB1a a C2a aD2a a 【答案】 C 【解析】 由已知求得12 RB x xx或e，再由 R ABRU e，即可求得a的范 围，得到答案 【详解】 由题意，集合Ax xa ，12Bxx，可得12 RB x xx或e， 又由 R ABRU e ，所以2a 故选 C 【点睛】 本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟 记集合基本运算方法是解答的关键，着重

2、考查了推理与运算能力，属于基础题 2下列说法中，正确的是（） A命题 “ 若 22 ambm ，则ab” 的逆命题是真命题 B命题 “ 0 xR， 2 00 0xx” 的否定是 “xR， 2 0xx ” C pq为真命题，则命题p和命题q均为真命题 D向量( 1,2)a r ，3,bm r ， Rm ，则 “ m6-” 是“aab rrr P” 的充分不必要 条件 【答案】 B 【解析】 对每一个选项依次进行判断，得到正确答案. 【详解】 命题 “ 若 22 ambm ，则ab” 的逆命题是：若ab，则 22 ambm ，当 0m 时不 第 2 页 共 55 页 成立，错误 B. 命题 “ 0

3、 xR， 2 00 0xx” 的否定是 “xR， 2 0xx ” ，正确 C. pq为真命题，则命题p或者命题q为真命题，错误 D. 向量 ( 1,2)a r ，3,bm r ， Rm ，aab rrr P等价于： m6- 则 “ m6-” 是“aab rrr P” 的充分必要条件.错误 故答案选B 【点睛】 本题考查了命题的真假判断，逆命题， pq，充分必要条件，综合性较强 . 3已知实数 x，y满足约束条件 230 330 230 xy xy y ，若目标函数zxay仅在点3,0 处取得最大值，则实数a的取值范围为（） A0,2B0,2C,2D2, 【答案】 C 【解析】 画出可行域，平移

4、基准直线0xay到点3,0的位置，根据目标函数 zxay仅在点3,0处取得最大值，求得实数a的取值范围 . 【详解】 画出可行域如下图所示，基准直线为0xay， 平移基准直线0xay到点3,0的 位置，由于目标函数zxay仅在点 3,0 处取得最大值 .当0a时，直线3x符合 题意，当0a时， 11 0,0 aa ， 1z yx aa ，仅在点3,0处取得最大值，符合 题意 . 当 0a 时， 11 0,0 aa ，要使 1z yx aa ，仅在点3,0处取得最大值，则需 11 2 BC k a ，解得02a. 综上所述，a的取值范围是,2. 故选： C 第 3 页 共 55 页 【点睛】 本

5、小题主要考查根据目标函数的最值情况求参数的取值范围，考查数形结合的思想方 法，属于基础题. 4函数 sin ln2 x fx x 的部分图象可能是（） AB CD 【答案】 A 【解析】 考查函数yfx的定义域、在1,0上的函数值符号，可得出正确选项. 【详解】 第 4 页 共 55 页 对于函数yfx， 20 21 x x ，解得 2x 且 1x ， 该函数的定义域为2, 11,U，排除 B、D 选项 . 当10x时，sin0x，122x，则ln20x，此时， sin 0 ln2 x fx x ， 故选： A. 【点睛】 本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数

6、值符号 进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5 0 22 sin xxdx （） A 3 4 B 3 2 4 C 3 2 4 D2 【答案】 C 【解析】 根据定积分的计算公式进行计算，得到答案. 【详解】 000 2222 sinsinxxdxxdxx dx 0 sin xdx 0 cos|2x ， 0 22 x dx是半径为 的圆的面积的四分之一，为 3 4 ， 所以， 0 22 sinxxdx 3 2 4 ，故选 C 项. 【点睛】 本题考查定积分的计算，属于简单题. 6将函数 sin()yx 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ， 再将所得图

7、像向左平移 12 个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则 sin2( ) 第 5 页 共 55 页 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【答案】 C 【解析】 先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可 知函数为奇函数，由此得到的表示并计算出sin 2的结果 . 【详解】 因为变换平移后得到函数 sin 2 6 yx，由条件可知 sin2 6 yx为 奇函数， 所以 6 k， 3 sin 2sin 2sin 332 k. 故选： C 【点睛】 本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数 sinfxAx为奇函数时 ,kk

8、Z，为偶函数时, 2 kkZ. 7如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9cm，高为36cm.玻璃杯内水深 为33cm，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭.如果不计玻 璃杯的厚度，则球的表面积为（） A 2 900cm B 2 450cm C 2 800cmD 2 400cm 【答案】 A 【解析】 画出球和圆柱的轴截面，利用勾股定理列方程，解方程求得球的半径，进而求 得球的体积 . 【详解】 画出球和圆柱的轴截面如下图所示，设球的半径为r，在直角三角形OAB中， 3,9,OArABOBr，由勾股定理得 2 22 39rr，解得15r.所以球的 第 6 页 共 55

9、 页 表面积为 22 4900cmr. 故选： A 【点睛】 本小题主要考查球和圆柱截面有关计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8 已知等比数列 n a中，0 n a，1 28128 4,16aaaaaaLL ， 则 128 111 aaa L 的值为（） A2 B 4 C8 D16 【答案】 A 【解析】 由等比数列的性质得到 817245 128187245 111 aaaaaa aaaa aa aa a L 又因为 81723645 a aa aa aa a 故得到原式等于 128 4545 4aaa a aa a L 4 1284516()aaaa aL 代入上式得到 12

10、8 111 2 aaa L 故答案为： A。 点睛：这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的 思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目 中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律。 第 7 页 共 55 页 9已知点G是ABC的重心，( ,)AGABACR u uu vuuu vu uu v ，若 120A o ， 2AB AC uuu r uuu r ，则|AG uuur 的最小值是（） A 3 3 B 2 2 C 2 3 D 3 4 【答案】 C 【解析】 由题意将原问题转化为均值不等式求最

11、值的问题，据此求解AG uuu v 的最小值即 可 . 【详解】 如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得 21 33 AGADABAC uuu ruu u ruuu ruuu r , 120 ,2AAB AC o uuu v uuu v Q， 根据向量的数量积的定义可得cos1202AB ACABAC o uu u v u uu vuuu vuu u v , 设,ABx ACy uuu vu uu v ，则4ABACxy uuu vu uu v ， 22 11 2 33 AGABACABACAB AC uuu vuuu vuu u vuu u vu uu vuuu v uuu

12、v 22 112 424 333 xyxy， 当且仅当xy，即ABAC u uu ruuu r ，ABC 是等腰三角形时等号成立. 综上可得AG uu u v 的最小值是 2 3 . 本题选择C 选项 . 【点睛】 本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10已知fx 是函数fx的导函数，且对任意的实数x都有 23 x fxexfx，01f，则不等式( )5 x f xe的解集为（） 第 8 页 共 55 页 A4,1B( 1,4)C(, 4)(1,)U D( , 1)(4,)U 【答案】 A 【解析】 首先构造

13、函数 ( ) ( ) x f x G x e ，利用导函数求出 ( )G x 的解析式，即可求解不等 式。 【详解】 令 ( ) ( ) x f x G x e ，则 ( )( ) ( )23 x fxfx Gxx e ， 可设 2 ( )3G xxxc， (0)(0)1GfQ ，1c 所以 2( ) ( )31 x f x G xxx e 解不等式( )5 x f xe ，即 ( ) 5 x f x e ，所以 2 315xx 解得41x，所以不等式的解集为 4,1 故选： A 【点睛】 本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性 比较强。 11已知双曲线

14、22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为 A，O为坐标原点， 以A为圆 心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若60PAQ o ，且，则 双曲线C的离心率为（） A 7 4 B 7 3 C 7 2 D 7 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 0 60PAQ且3OQOP uu u ruu u r ，所以为等边三角形，设 ，则，渐近线方程为，取的中点，则 ，由勾股定理可得，所以 第 9 页 共 55 页 ，在中，所以， 结合，可得故选 A 【考点】 双曲线的简单性质. 12设D是含数1的有限实数集，fx是定义在 D上的函数，若 fx的图象绕原点 逆时针旋转 6 后与原图象

15、重合，则在以下各项中，1f的可能取值只能是（） A 3 B 3 2 C 3 3 D 0 【答案】 B 【解析】 利用函数的定义即可得到结果. 【详解】 由题意得到：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 6 个单位后与 下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= 3， 3 3 ，0 时，此时得到的圆心角为 3 ， 6 ，0，然而此时x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是 要求一个x 只能对应一个y，因此只有当x= 3 2 ，此时旋转 6 ，此时满足一个x 只会 对应一个 y， 故选 B 【点睛】 本题考查函数的定义，即“ 对

16、于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对 应 ”(不允许一对多). 二、填空题 13已知i为虚数单位，aR，若 2i ai 为纯虚数，则复数212zai的模等于 _. 【答案】 6 第 10 页 共 55 页 【解析】 化简 2i ai ，根据 2i ai 为纯虚数求得 a的值，进而求得z的模. 【详解】 依题意 2 22122 1 iaiaaii aiaiaia 为纯虚数，所以 1 210, 2 aa，所以 2 2 22 ,226zi z . 故答案为： 6 【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查纯虚数的概念，考查复数模的计算，属于基础题 . 14已知抛物线 () 2 1:

17、 20Cypx p=的焦点 F 与双曲线 22 2 2 :1 3 xy C b 的一个焦点重 合，若点F 到双曲线 2 C 的一条渐近线的距离为1，则1 C 的焦点 F 到其准线的距离为 _. 【答案】 4 【解析】 求得抛物线的焦点，可得p2c，再由焦点到渐近线的距离为1 可得 b 值，结 合 222 cab，得到 c，从而得到答案. 【详解】 抛物线 2 1 C :y2px p0 的焦点与双曲线 22 22 xy C :1 3b 的一个焦点重合 ,则 2 p c，又 2 22 3 4 p cb， 点 F,0c到双曲线渐近线30bxy的距离为 1，即 2 1 3 bc b ，又 22 3cb

18、， 解得1b,即 c=2,所以 p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4. 故答案为： 4. 【点睛】 本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何 量的等式 15已知函数 sin0,0,0 2 fxAxA满足下列两个条件： 函数 12 yfx是奇函数； 12 max 2fxfx，且 12 min 3 xx.若函 第 11 页 共 55 页 数fx在, 4 t上存在最小值，则实数t的最小值为 _. 【答案】 5 12 【解析】 根据题目所给两个条件求得fx的解析式，画出fx的图像，结合图像求 得t的最小值 . 【详解】 由于 12 max 2fxfx且 1

19、2 min 3 xx，所以 1A ， 22 ,3 233 T T，所以 sin 3fxx. sin 3 124 fxx为奇函数，且 0 2 ，所以 0, 44 ，所以 sin 3 4 fxx.画出fx 图像如下图所示，其中 5 , 1 , 1 412 AB.由图可知，要使函数fx在, 4 t上存在最小值，则实 数t的最小值为 5 12 . 故答案为： 5 12 第 12 页 共 55 页 【点睛】 本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查三角函数最值、周期等知识的运用，考查 数形结合的数学思想方法，属于中档题. 16定义在实数集R上的偶函数 ( )f x 满足 2 (1)12 ( )( )f

20、xf xfx，则 2019 () 2 f _. 【答案】 22 2 【解析】 先由已知可得 22 (1)2(1)( )2( )1fxf xfxf x，再构造 2 ( )( )2( )g xfxf x ，然后可得函数 ( )g x 的周期性和奇偶性，再利用函数 ( )g x 的性 质得 2201920191 ()2 () 222 ff，再求解即可. 【详解】 解：因为 2 (1)12 ( )( )f xf xfx，所以 2 (1)12 ( )( )f xfxfx， 即 22 (1)1)2( )( )fxfxfx，即 22 (1)2(1)( )2( )1fxfxfxf x， 令 2 ( )( )2

21、( )g xfxf x，则 (1)( )1g xg x ，可得函数 ( )g x 的周期为 2， 所以 201911 ()(2505)() 222 ggg， 又为( )f x 偶函数，则 2 ( )( )2( )g xfxf x为偶函数， 又因为 11 ( )()1 22 gg，所以 11 () 22 g， 即 20191 () 22 g，即 2201920191 ()2 () 222 ff， 解得 201922 () 22 f， 又 2 (1)12( )( )1f xf xfx， 即 2019 ()1 2 f，即 201922 () 22 f， 故答案为： 22 2 . 【点睛】 本题考查了

22、函数的奇偶性及周期性，重点考查了函数性质的应用，属难度较大的题型. 第 13 页 共 55 页 三、解答题 17函数 ( )sin()(0,|)f xx 的部分图像如图所示 （ 1）求( )f x 的解析式及其单调递增区间； （ 2）若( )f x 在 2, a有 5 个零点，求a 的取值范围 【答案】（ 1） ( )sin 6 f xx，单调递增区间为 21 2,2 33 kk，kZ； （2） 1723 66 a. 【解析】（ 1）先根据图中数据计算出周期即可计算出的值，再根据最值点 1 ,1 3 即 可计算出的值，根据正弦函数的单调增区间公式求解出fx的单调增区间； （ 2）分析x的取值范

23、围，借助sinyx的函数图象分析当有 5个零点的时候， a 的取值范围 . 【详解】 （ 1）由图可得 2 2T， ， fx过点 1 ,1 3 ， sin1 3 ， |， 32 ， 6 ，sin 6 fxx， 由22 262 kxkkZ 得 21 22 33 kxkkZ ， fx的单调递增区间为 21 2,2 33 kZkk （ 2） 2, xa，2, 666 xa， 由题意结合函数sinyx的图像可得34 6 a， 1723 66 a 第 14 页 共 55 页 【点睛】 （ 1）由三角函数图像确定三角函数解析式时，第一步先通过图像的最值确定 A的值， 第二步通过周期确定的值，第三步通过最值

24、点或者非平衡位置的点以及的取值范围 确定的值； （ 2）已知三角函数的零点个数求解参数范围，可通过图像写出对应零点个数时参数满 足的不等式，从而求解出参数范围. 18已知等差数列 n a的公差0d，其前n项和为 n S，若 3 12S，且 123 2,1a aa 成等比数列 （ 1）求数列 n a的通项公式； （ 2）记 1 1 () n nn bnN a a ，且数列 n b的前n项和为 n T，证明： 11 43 n T 【答案】（ 1）32 n an（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，解方程可得首项和 公差，即可得到所求通项公式； （ 2）求得

25、 111 3 3231 n b nn ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，结合数列 的单调性和不等式的性质，即可得证 试 题 解 析 ：（ 1 ） 依 题 意 ， 得 2 132 123 2(1) 12 a aa aaa ， 即 11 1 (21)8 4 a ad ad ， 得 2 120dd Q0d， 1 3,1da数列 n a的通项公式13(1)32 n ann （ 2）Q 1 11111 () (32)(31)3 3231 n nn b a annnn ， 123 111111 (1)()() 34473231 nn Tbbbb nn LL 11 (1) 33131 n nn 第 15

26、页 共 55 页 Q nN， 1 0 31n ，故 1 3 n T，又 n T为单调递增， 所以当1n时，取最小值 1 4 ， 故 11 43 n T 【考点】 等差数列及数列的求和 19已知点 A(0， 2)，椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 3 2 ， F 是椭圆 E 的 右焦点，直线AF 的斜率为 2 3 3 ，O 为坐标原点 . (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点 .当OPQ 的面积最大时，求l 的方程 . 【答案】（ 1） 2 2 1 4 x y（2） 7 2 2 yx 【解析】 试题分析：设出F，由直线A

27、F的斜率为 2 3 3 求得c，结合离心率求得a， 再由隐含条件求得b，即可求椭圆方程； （ 2）点lx轴时，不合题意；当直线l斜率 存在时，设直线:2lykx，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得 k的范 围， 再由弦长公式求得PQ，由点到直线的距离公式求得O到l的距离， 代入三角形面 积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设,0F c，因为直线AF的斜率为 2 3 3 ，0, 2A 所以 22 3 3c ， 3c . 又 2223 , 2 c bac a 解得 2,1ab ， 所以椭圆 E的方程为 2 2 1 4 x y. （

28、2）解：设 1122 ,P xyQ xy 由题意可设直线l的方程为： 2ykx ， 第 16 页 共 55 页 联立 2 2 1 4 2, x y ykx ， 消去y得 22 1416120kxkx， 当 2 16 430k，所以 2 3 4 k，即 3 2 k 或 3 2 k 时 1212 22 1612 , 1414 k xxx x kk . 所以 2 2 1212 14PQkxxx x 2 2 22 1648 1 1414 k k kk 22 2 4 143 14 kk k 点O到直线l的距离 2 2 1 d k 所以 2 2 14 43 214 OPQ k Sd PQ k ， 设 2

29、430kt ，则 22 43kt， 2 444 1 4 42 4 OPQ t S t t t ， 当且仅当2t，即 2 432k ， 解得 7 2 k 时取等号， 满足 23 4 k 所以OPQ的面积最大时直线 l的方程为： 7 2 2 yx 或 7 2 2 yx . 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决 圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义， 特别是用圆锥曲线的定义和平 面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然 后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以 及均值不等式法，

30、本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 第 17 页 共 55 页 20如图，平行四边形ABCD中，60DAB，22ABAD，M为CD边的中 点，沿 BM将CBM折起使得平面BMC 平面ABMD. （ 1）求证：平面AMC平面BMC； （ 2）求四棱锥CADMB的体积； （ 3）求折后直线 AB与平面ADC所成的角的正弦值 . 【答案】（ 1）证明见解析（2） 3 8 （3） 39 13 【解析】 （1）根据面面垂直的性质定理，证得 AM 平面BMC， 由此证得平面AMC 平面BMC. （ 2）MB的中点O，根据等比三角形的性质得到COMB由面面垂直的性质定理得 CO 平

31、面 ABMD ，也即CO是四棱锥 CADMB的高 .进而求得四棱锥CADMB 的体积 . （ 3）以M为空间坐标系原点建立空间直角坐标系，利用直线 AB的方向向量和平面 ADC的法向量，计算出直线AB与平面ADC所成的角的正弦值 . 【详解】 （ 1）证明： 平面BMC平面ABMD，平面BMC I平面ABMD MB， 由题易知 AMMB，且AM 平面ABMD. AM平面BMC，而 AM 平面AMC， 平面 AMC平面BMC. （ 2）由已知有CMB是正三角形，取 MB的中点O，则CO MB，又平面BMC 平面 ABMD于MB， 则CO平面ABMD，且 3 2 CO ， 易求得 133 3 12

32、 224 ABMD S梯形 ， 13 333 3428 CADMB V . （ 3）作/ /MzCO，由（ 1）知可如图建系， 第 18 页 共 55 页 则3,0,0A ，0,1,0B， 13 0, 22 C， 3,1,0AB uu u r ， 又 1 2 MDBA uuu u ruu u r ，得 31 ,0 22 D， 13 3, 22 CA uu u r ， 33 , 1, 22 CD uuu r . 设平面ACD的法向量, ,nx y z r ，则 13 30 22 33 0 22 n CAxyz n CDxyz uu u v v uuu v v ，不妨取1,3,3n r . 设折后

33、直线 AB与平面ADC所成的角为 ，则 39 sin 13 n AB n AB r uuu r r u uu r. 【点睛】 本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查四棱锥的体积计算，考查线面角 正弦值的计算，属于中档题. 21已知函数，又函数的两个极值 点为，且满足，恰为的零点 （ 1）当时，求的单调区间； （ 2）当时，求证： 【答案】（）函数的单调递减区间是和，单调递增区间是（） 证明略 【解析】（ ）求出，解导不等式可得的单调区间；（）先确定 0 ，再利用 y=2lnt（0t ） ，即可求 y=的最 小值，从而得证 第 19 页 共 55 页 【详解】 （ ） 又 令，解得，

34、令，解得 0x 或 x 函数的单调递减区间是和，单调递增区间是； （ ），, 由题意，解得 0 ， 当时，即证： ，, 两式相减得：2ln （x1x2） （x1+x2）+（x1x2）=0， （0t ） ， 记，则， 在 （0 ，递减， 的最小值为 即，得证 . 【点睛】 本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题 22 在平面直角坐标系xOy中，圆 1 C的参数方程为 1cos 1sin xa ya （是参数，a是 大于 0 的常数） .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 2 C的极坐标 方程为2 2 cos 4 .

35、第 20 页 共 55 页 （1）求圆 1 C 的极坐标方程和圆2 C 的直角坐标方程； （ 2）分别记直线 l： 12 ， R与圆 1 C、圆 2 C的异于原点的交点为 A，B，若 圆 1 C与圆 2 C外切，试求实数a的值及线段AB的长 . 【答案】（1）圆 1 C 的极坐标方程为 22 2 2sin20 4 a， 2 C 的直角坐 标方程为 22 112xy（2） 2a ，2 6AB 【解析】（ 1）利用 22 sincos1消去参数，求得圆1 C的普通方程，进而转化为 极坐标方程 .利用cosx，siny以及两角差的余弦公式，将圆 2 C 的极坐标 方程转化为直角坐标方程. （ 2）先

36、求得两个圆的圆心和半径，利用两圆外切，圆心距等于两圆半径之和列方程， 解方程求得a的值 .将 12 分别代入 12 ,C C 的极坐标方程，利用 的几何意义，求得 线段 AB的长 . 【详解】 （ 1）圆 1 C ： 1cos 1sin xa ya （是参数）消去参数， 得其普通方程为 22 2 11xya， 将cosx，siny代入上式并化简， 得圆 1 C的极坐标方程为 22 22sin20 4 a. 由圆 2 C 的极坐标方程 2 2 cos 4 ，得 2 2cos2sin. 将cosx，siny， 222 xy代入上式， 得圆 2 C的直角坐标方程为 22 112xy. （ 2） 由

37、（1） 知圆 1 C 的圆心1 1, 1C ， 半径1 ra； 圆 2 C的圆心 2 1,1C ， 半径 2 2r， 22 12 111122C C ， 圆 1 C与圆 2 C外切， 22 2a ，解得 2a ， 第 21 页 共 55 页 即圆 1 C的极坐标方程为22 sin 4 ， 将 12 代入 1 C，得2 2 sin 124 ， 得6， 将 12 代入 2 C，得2 2cos 124 ，得6， 故 12 2 6AB. 【点睛】 本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程互化，考查圆与圆的位置关系， 考查利用极坐标方程计算两点间的距离，属于中档题. 23设函数 8 2fxxxm

38、 m . （1）求证：8fx恒成立； （2）求使得不等式110f成立的正实数m的取值范围 . 【答案】 (1)证明见解析 . (2)0,14,. 【解析】（ 1） 22222? 2fxxxmxxmmmm mmmmm 8， 当且仅当 8 2 m m 时取等号，所以8fx. （2）由0m得 8 1112fm m ， 当120m时，由112110fm m ，解得 1 1 2 m或4m； 当120m时，由111210fm m ，解得 1 0 2 m， 综上，实数 m的取值范围是 0,14,. 南安一中2019 2020 学年高三年第二次阶段考 第 22 页 共 55 页 数学（理科）试卷 一、选择题（

39、本题有12 小题，每小题5 分，共 60 分） 1. 设集合|0Mxx， 1 | 228 x Nx，R是实数集，则() R CMNU （） A|3x xB | 10xx C|10x xx或 D|3x x 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点(1, 3)P，则 cos2（） A 3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 3. 已知,m n表示两条不同直线， , 表示两个不同平面，下列说法正确的是（） A若,mn n，则m B若m，m，则 C若，m，则m D若m，n，则mn 4. 朱载堉 （1536 1611）, 是我国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的

40、著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”. 十二平均律是目前世界上通用的把 一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦 称“十二等程律”. 即一个八度13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个 音是最初那个音的频率的2 倍. 设第三个音的频率为 1f ， 第七个音的频率为 2f ， 则 2 1 f f （） A 3 2 B 11 16 C 12 43 D 8 2 5. 在平行四边形ABCD中，22ABAD， 60BAD o ，点E在CD上， 2CEED，则 AE BE uu u ruu u r （） A 4 9 B 2 9 C2 9 D 4 9 6.

41、 数列 n a满足1 2 2 n n anN a ， 1 3a，则 2019 a（） A3 B 2 C 1 2 D 4 3 第 23 页 共 55 页 7. 设正项等比数列 n a 的前 n项和为 n S , 若42 25SS ， 则64 SS 的最小值为 （） A5 B10 C15 D20 8. 某地 2019 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5 个行业的情况列表如下： 行业名称计算机机械营销物流贸易 应聘人数215830 200250 154676 74570 65280 行业名称计算机营销机械建筑化工 招聘人数124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中

42、应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据 表中数据，就业形势一定是（） A计算机行业好于化工行业 B 建筑行业好于物流行业 C机械行业就业最困难D营销行业比贸易行业就业困难 9. 右图是某三棱锥的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体 积为（） A 20 3 B 16 3 C4 D 8 3 10. 已知数列 n a满足 12 1 2 aa 2* 1 () n ann nN n ，数列nb满足： 1 21 n nn n b a a , 数列 n b的前n项和为 n T ， 若 (2) 1 n n T n * ()nN恒成立， 则 的取值范围为（） A 1 (,

43、) 8 B 1 (, 8 C 3 (, ) 8 D 3 (, 8 11. 已知球O是正三棱锥ABCD的外接球，底边3BC，侧棱 2 3AB ，点E在线 段BD上，且3BDBE，过点 E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 （） A 5 ,4 4 B2 ,4C 9 ,4 4 D 11 ,4 4 12. 如图，四面体ABCD为正四面体， 1AB ，E，F分别是 AD，BC中点若用 一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体， 由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（） A 1 4 第 24 页 共 55 页 B 2 4 C 3 4 D1 二、填空题（本题

44、有4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13. 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S ，n T ，且 5 5 n n Sn Tn ，则 1011 813 aa bb . 14. 若向量 a r 、 b r 满足( )7abb rrr ，且| |3a r ， | | 2b r ，则向量 a r 在 b r 方向上的投 影为 . 15. 如图所示，在棱长为a的正方体 1111 ABCDA B C D中， E是棱1 DD的中点， F是 棱AB的中点，Q为侧面 11 CDD C 上的动点，且1 B Q面 1 A EF，则Q在侧面 11 CDD C上的轨迹的长度是 . 16. 已

45、知函数 2 2 ,0 ln ,0 xx x fx x x ，函数g xfxm有 3 个不同的零点 1 x， 2 x ，3 x ，且123 xxx ，则123 2x xx 的取值范围是 . 三、解答题 （共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第 17 21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答. ） 17.（12 分） 如图所示，四棱锥SABCD的底面是边长为1 的菱形，其中60DAB， SD垂直于底面ABCD， 3SB ，M为棱SA的中点 （1）求三棱锥BAMC的体积； （2）求异面直线DM与SB所成角的余弦值 18. （1

46、2 分）设 2 ( )sincoscos, 4 f xxxxxR （1）求( )f x 的单调递增区间； （2）在ABC中，,A B C的对边分别为, ,a b c，若()0 2 A f（0 2 A） ，且 1a，求ABC面积的最大值 19. （12 分）给定数列 n a ，若满足1 aa (0a 且 1)a ，且对于任意的 * ,m nN， 都有 m nmn aaa，则称数列 n a为“指数型数列” 第 25 页 共 55 页 ( 1)已知数列n a 的通项公式 4 n n a ，证明：n a 为“指数型数列”； (2)若数列 n a满足： 1 1 2 a， 11 23* nnnn aa a

47、anN； 判断数列 1 1 n a 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理 由； 若数列 n a的前n项和为nS，证明： 3 4 n S. 第 26 页 共 55 页 20. （12 分）在五面体ABCDEF中， ABCDEF, 222CDEFCFABAD, 60DCF o ，ADCD，平面CDEF平面ABCD. （1）证明 : CE平面 ADF； （2）棱BC上是否存在一点P，使得二面角 PDFA的大小为 60 o ？若存在，求出 CP CB 的值；若不存在，请说明理由. 21. （12 分）已知函数 22 1 ( )2ln 2 f xaxxax(0)a. （1）讨论( )f x

48、的单调性； （2） 当 1 3 a时，设 ( )f x 的两个极值点为 1x，2x， 证明 : 12 1212 ()()11f xf x xxxx . 选考题：请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （选修 4-4 ：坐标系与参数方程） （ 10 分） 在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程是 12 cos 2sin x y （为参数），以该 直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程 为3 sincos0m （1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）设点(,0)P m，直线l与曲线C相交于 A，B两点，且 | | 2PAPB，求实 数m的值 23. （选修 4-5 ：不等式选讲） （10 分）已知 Rabc， ， ， 222 1abc （1）求证：1abbcca；（ 2）求证： 444 222 1 abc cab 第 27 页 共 55 页 南安一中2019 2020 学年高三年第二次阶段考 数学（理科）试卷解答 一、选择题（本