《圆锥曲线解题十招全归纳》.pdf

《《圆锥曲线解题十招全归纳》.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《圆锥曲线解题十招全归纳》.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 圆锥曲线解题十招全归纳 微信公众号 :中学数学研讨部落 招式一：弦的垂直平分线问题. 2 招式二：动弦过定点的问题. 4 招式四：共线向量问题. 6 招式五：面积问题 . 13 招式六：弦或弦长为定值、最值问题. 16 招式七：直线问题 . 19 招式八：轨迹问题 . 23 招式九：对称问题 . 30 招式十、存在性问题. 33 2 招式一：弦的垂直平分线问题 例题 1、 过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N ： 2 yx交于 A、 B 两点， 在 x 轴上是否存在一点E( 0 x,0)， 使得ABE 是等边三角形，若存在，求出 0 x；若不存在，请说明理由。 解： 依题意知，直线的斜

2、率存在，且不等于0。 设直线:(1)lyk x，0k， 11 (,)A xy， 22 (,)B xy。 由 2 (1)yk x yx 消 y 整理，得 2222 (21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点，得 2242 (21)4410kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理，得： 2 122 21 , k xx k 12 1x x。则线段AB 的中点为 2 2 211 (,) 22 k kk 。 线段的垂直平分线方程为： 2 2 1112 () 22 k yx kkk 令 y=0,得 0 2 11 22 x k ，则 2 11 (,0) 22 E k ABE为正三角形， 2 11 (,

3、0) 22 E k 到直线 AB 的距离 d 为 3 2 AB。 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 14 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 141 1 22 kk k kk 解得 39 13 k满足式此时 0 5 3 x。 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理 产生弦 AB 的中点坐标M，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然 后解决相关问题，比如：求L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件 比较隐蔽

4、，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以 D 为顶点的等腰三 角形（即D 在 AB 的垂直平分线上） 、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。 例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A、B，则 |AB|等于 解：设直线AB的方程为yxb， 由 2 2 12 3 301 yx xxbxx yxb ， 进而可求出AB 3 的中点 11 (,) 22 Mb，又由 11 (,) 22 Mb在直线0xy上可求出1b， 2 20xx，由弦 长公式可求出 22 1 114 ( 2)3 2AB 4 招式二：动弦过定点的问题 例题 2

5、、已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ， 且在 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点T,点 P 为直线l上异于 点 T 的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N 点，试问直 线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解： （ I）由已知椭圆C 的离心率 3 2 c e a ，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （II ）设 11 (,)Mx y， 22 (,)N xy，直线 1 A M的斜率为 1 k,则直线 1 AM的方程为

6、 1( 2)ykx，由 1 22 (2) 44 yk x xy 消 y 整理得 222 121 (14)161640kxk xk 1 2x和是方程的两个根， 2 1 1 2 1 164 2 14 k x k 则 2 1 1 2 1 28 14 k x k ， 1 12 1 4 14 k y k ，即点 M 的坐标为 2 11 22 11 284 (,) 1414 kk kk ， 同理，设直线A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 2 22 22 22 824 (,) 141 4 kk kk 12 (2),(2) pp yk tyk t 12 12 2kk kkt ，直线 MN 的方程为：

7、 121 121 yyyy xxxx ， 令 y=0，得 2112 12 x yx y x yy ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得： 4 x t 又 2t ， 4 02 t 椭圆的焦点为(3, 0) 4 3 t ，即 4 3 3 t 故当 4 3 3 t时， MN 过椭圆的焦点。 招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4、已知点A、 B、 C 是椭圆 E： 22 22 1 xy ab (0)ab上的三点，其中点A(2 3,0)是椭圆的右顶 点，直线 BC 过椭圆的中心O，且0AC BC，2BCAC，如图。 (I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程； (II) 若椭圆 E 上存在两点P、Q

8、，使得直线PC 与直线 QC 关于直线3x对称，求直线PQ 的斜率。 5 解： (I) 2BCAC，且 BC 过椭圆的中心O OCAC0AC BC 2 ACO又A (23,0)点 C 的坐标为(3,3)。 A(23,0)是椭圆的右顶点，2 3a，则椭圆方程为： 22 2 1 12 xy b 将点 C( 3,3)代入方程，得 2 4b，椭圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x对称， 设直线 PC 的斜率为k，则直线QC 的斜率为k，从而直线PC 的方程为： 3(3)yk x，即3(1)ykxk，由 22 3(1) 3120 ykxk xy 消 y

9、，整理得： 222 (13)6 3 (1)91830kxkk xkk3x是方程的一个根， 2 2 9183 3 13 P kk x k 即 2 2 9183 3(1 3) P kk x k 同理可得： 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k 3(1)3(1) PQPQ yykxkkxk()2 3 PQ k xxk 2 12 3(13) k k 22 22 91839183 3(13)3(13) PQ kkkk xx kk 2 36 3(13) k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜率为定值 1 3 。 6 招式四：共线向量问题 1：如图所示， 已知圆MA

10、yxC),0, 1(,8)1(: 22 定点为圆上一动点， 点 P在 AM 上，点 N 在 CM 上， 且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.I）求曲线 E 的方程； II）若过定点F（0，2）的直 线交曲线 E 于不同的两点G、H（点 G 在点 F、 H 之间），且满足FHFG，求的取值范围 . 解： （ 1） .0,2AMNPAPAM NP 为 AM 的垂直平分线，|NA|=|NM| 又.222|,22|ANCNNMCN动点 N 的轨迹是以点 C（ 1，0） ，A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a 焦距 2c=2. .1, 1,2 2 bca曲线 E 的方程为.1

11、 2 2 2 y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为, 1 2 ,2 2 2 y x kxy代入椭圆方程 得. 2 3 0.034) 2 1 ( 222 kkxxk得由设),(),( 2211 yxHyxG )2( 21 6 2 1 3 ),1( 21 8 2 1 4 2 2 212 2 21 k k xx k k k k xx则 )2,()2,(, 2211 yxyxFHFG又, 2 1 21 x x xx， )2 1 (3 32 )21 (3 32 2 1 )2( )1( 2 2 22 k k k .3 3 1 . 3 16 2 1 4. 3 16 )2 1 (3 32

12、4, 2 3 2 2 解得 k k .1 3 1 , 10又 又当直线 GH 斜率不存在，方程为. 3 1 , 3 1 ,0FHFGx) 1 , 3 1 , 1 3 1 的取值范围是即所求 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 2 1 4 yx的焦点，离心率 为 2 5 5 .（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点作直线l交椭圆 C 于A、B两点，交y轴于 7 M点，若 1 MAAF， 2 MBBF，求证： 12 10. 解：设椭圆C 的方程为 22 22 1 xy ab （ab0）抛物线方程化为 2 4xy，其焦点为(0,1)， 则椭圆

13、C 的一个顶点为(0,1)，即1b由 22 2 2 5 5 cab e aa ， 2 5a，椭圆 C 的方程为 2 2 1 5 x y（2）证明：右焦点(2,0)F，设 11220 (,),(,),(0,)A xyB xyMy，显然直线l的斜率存在，设直 线l的方程为(2)yk x，代入方程 2 2 1 5 x y并整理，得 2222 (15)202050kxk xk 2 12 2 20 15 k xx k ， 2 12 2 205 15 k x x k 又 110 (,)MAx yy， 220 (,)MBxyy， 11 (2,)AFxy， 22 (2,)BFxy， 而 1 MAAF， 2 M

14、BBF， 即 110111 (0 ,)( 2,)xyyxy， 220222 (0,)(2,)xyyxy 1 1 1 2 x x ， 2 2 2 2 x x ，所以 121212 12 121212 2()2 10 2242() xxxxx x xxxxx x 3、已知 OFQ 的面积 S=26, 且mFQOF。设以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过Q， 2 )1 4 6 (,|cmcOF，当|OQ取得最小值时，求此双曲线方程。 解： 设双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x ，Q（x0, y0）。 ),( 00 ycxFQ，SOFQ=62| 2 1 0 yOF， c y 64 0

15、。 ),)(0 ,( 00 ycxcFQOF=c(x0c)= cxc 4 6 )1 4 6 ( 0 2 。 ,32 96 8 3 2 2 2 0 2 0 c c yxOQ 当且仅当)6,6()6,6(,| ,4, 96 8 3 2 2 或此时最小时即QOQc c c ， 8 所以1 124 . 12 4 16 1 66 22 2 2 22 22 yx b a ba ba故所求的双曲线方程为。 类型 1 求待定字母的值 例 1 设双曲线 C：)0( 1 2 2 2 ay a x 与直线 L：x+y=1 相交于两个不同的点A、B，直线 L 与 y 轴交 于点 P，且 PA=PB 12 5 ，求a的

16、值 思路： 设 A、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解： 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1) PA=),1,( 12 5 ) 1,(, 12 5 2211 yxyxPB x1= 2 12 5 x. 联立， 1 1 2 2 2 y a x yx 消去 y 并整理得， (1a2)x 2+2a2 x2a 2=0 (*) A、B 是不同的两点， ， ， 0)1 (84 01 224 2 aaa a 0a2且 a1. 于是 x1+x2= 2 2 1 2 a a 且 x1 x2= 2 2 1 2 a a ， 即 2 2 2 2 2

17、2 2 1 2 12 5 , 1 2 12 17 a a x a a x且，消去 x2得， 2 2 1 2 a a = 60 289 ， a= 13 17 ， 0a2且 a1， a= 13 17 。 类型 2 求动点的轨迹 例 2 如图 2 ，动直线1kxy与 y 轴交于点 A，与抛物3 2 xy交于不同的两点B 和 C, 且满足 BP= PC ， AB= AC，其中.R。求 POA的重心 Q 的轨迹。 思路： 将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数 k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解： 由 3 1 2 xy kxy 得， k 2x2+(2k1

18、)x+4=0. 由 0 0k .0 6 1 2 1 kk且 设 P(x,y )，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图 2） A B C O P x y 9 则 x1+x2= 2 21 k k , x1 .x 2= 2 4 k . 由PCBP),( 11 yyxx=),( 22 yyxx 1 xx=)( 2 xx 由) 1,()1,( 2211 yxyxACAB 1 x= 2 x 。 . 21 82 0 21 21 2 2 1 1 kxx xx x x xx x xx . 21 16 1 21 8 1 k k k k xky消去 k 得，x 2 y 6=0 (*) 设重心 Q(x,y) ，

19、则 13 3 3 1 3 yy xx y y x x ，代入 (*) 式得， 3x6y4=0。 因为 3 8 4 3 4 81240 6 1 2 1 xxxxkk且且且 故点 Q 的轨迹方程是3x6y4=0（ 3 8 4 3 4 xx且） ，其轨迹是直线3x6y4=0 上且不包括点 ) 3 2 , 3 8 (), 3 4 ,4(),0, 3 4 (CBA的线段 AB。 类型 3 证明定值问题 例 3 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、 B 两点，OBOA与) 1, 3(a共线。设M 为椭圆上任意一点，且OBOAOM，其中.,R 证明： 2

20、2 为定值。 思路： 设 A、B、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、 韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。 解： 设椭圆方程为).0 ,(),0(1 2 2 2 2 cFba b y a x 则直线 AB 的方程为 . cxy代入椭圆方程中，化简得，.02)( 22222222 bacacxaxba 设 A(x 1,y1)，B(x2,y2)，则., 2 22 2222 21 22 2 21 ba baca xx ba ca xx 由OBOA与) 1, 3(a共线，),( 2121 yyxxOBOA得， 0)()(3 2121 xxyy。 又, 221

21、1 cxycxy 10 .3, 2 32 , 2 3 ,0)()2(3 22 22 2 212121 ba c ba cac xxxxcxx即 而, 222 bac于 是 2222 2 1 , 2 3 cbca。 因此椭圆方程为.33, 1 3 222 2 2 2 2 byx b y b x 即 设 M(x, y), 由OBOAOM得，),(),(),( 2211 yxyxyx， . 2121 yyyxxx且 因 M 为椭圆上一点，所以.3)(3)( 22 21 2 21 byyxx 即 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 3)3(2)3()3(byyxxyxyx 又 2222

22、 21 2 1 , 2 3 , 2 3 cbca c xx，. 8 3 2 22 2222 21 c ba baca xx 则 2 212121212121 3)(34)(33ccxxxxcxcxxxyyxx .03 2 9 2 3222 ccc而 ,33 22 1 2 1 byx,33 22 2 2 2 byx 代入得， 22 =1， 22 为定值。 类型 4 探索点、线的存在性 例 4 在 ABC 中， 已知 B(2, 0), C(2, 0), AD BC 于 D， ABC 的垂心 H 分有向线段AD 。所成的比为 3 1 设 P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使 |

23、1 , | 1 , | 1 HQPQHP 成等差数列，为什么？ 思路： 先将 ACBH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代 数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。 解：设 H(x, y), 由分点坐标公式知) 3 4 ,( y xA H 为垂心AC BH ，0),2)( 3 4 ,2(yx y x， 整理得，动点H 的轨迹方程为1 34 22 yx )0(y。 22 ) 1(|yxHP，2|PQ， 22 ) 1(|yxHQ。 假设 | 1 , | 1 , | 1 HQPQHP 成等差数列，则 | 1 | 1 | 2 HQHPPQ 11 即1 )1( 1 )

24、1( 1 2222 yxyx H 在椭圆上a=2, b=3, c=1，P、 Q 是焦点， 42aHQHP，即4) 1() 1( 2222 yxyx 由得， 2222 )1() 1(yxyx4) 1() 1( 2222 yxyx 联立、可得， 2)1() 1( 2222 yxyx， ,3,0 yx显然满足H 点的轨迹方程1 34 22 yx ， 故存在点H（0， 3） ，使 | 1 , | 1 , | 1 HQPQHP 成等差数列。 类型 5 求相关量的取值范围 例 5 给定抛物线C：xy4 2 ，F 是 C 的焦点，过点F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，且 9 ,4,AFFB，求

25、l 在y轴上截距的变化范围。 思路： 设 A、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y轴上的截距，利用 函数的单调性求其变化范围。 解： 设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，由AFFB 得，),1(), 1( 1122 yxyx，即 12 12 )1 (1 yy xx 由得，. 2 1 22 2 yy ,4 1 2 1 xy 1 2 22 2 2 ,4xxxy 。 联立、得， 2 x。 而).2,(),2,(,0BB或当直线 l 垂直于x轴时，, 1不符合题意。 因此直线l 的方程为)1(2)1(xy或).1(2)1(xy 直线 l 在y轴上的截距为 1 2 或. 1 2 由 1 2 1 2 1 2 知， 1 2 在9 ,4上递减的， 所以, 3 4 1 2 4 3 . 4 3 1 2 3 4 于是直线l 在y轴上截距的变化范围是. 3 4 , 4 3 4 3 , 3 4