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1、1 第 11 题函数的奇性 I 题源探究黄金母题 【例 1】判断下列函数的奇偶性： 2 1x fx x 【解析】,fxfxfx为奇函数 【例 2】 已知函数 fx 是定义在R上的奇函数， 当0x时， 1fxxx画出函数 fx的图象， 并求出函数的解 析式 【答案】 0)1( 0),1 ( )( xxx xxx xf ， 【解析】 函数 fx 是定义在R上的奇函数， 则对Rx都 有：)()(xfxf，当0x时，0x，则 ）（1-)1()()(xxxxxfxf，那么 0) 1( 0),1 ( )( xxx xxx xf ， ；函数图象如下： 精彩解读 【试题来源】例 1：人教 A版必修一第36 页
2、练习第1（3）题；例2：人教 A版必修 一第 39 页 A组第 6 题 【母题评析】本题借助函数的奇性，利用 函数的奇性的定义，求函数的解析式，并 利用奇函数、函数图象的性质，画出函数 的图象借助函数的奇性以及函数图象特 征解题是高考函数部分重点考察内容 【思路方法】借助函数的奇、性的定义既 可以求值，也可以求函数的解析式，而画 函数图像是，只需画出y轴右侧的图象， 按照函数图象的对称要求，再画出y轴左 侧的图象另外画图时取几个特殊点，以 数助形，确保准确无误！ II 考场精彩真题回放 【例 1】 【2017 高考新课标I 卷】函数( )f x在(,)单 调递减，且为奇函数 若(11)f， 则
3、满足21()1xf 的x的取值范围是 A 2,2 B 1,1 C0, 4 D1,3 【命题意图】本类题常利用函数的奇性、 周期性求值 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 2 【答案】 D 【解析】因为( )f x为奇函数且在(,)单调递减，要使 1( )1fx成立，则x满足11x，从而由 121x得13x，即满足1(2)1f x成立的 x的取值范围为1,3，选 D 【考点】函数的奇性、单调性 【名师点睛】奇性与单调性的综合问题，要重视利用奇、函 数与单调性解决不等式和比较大小问题，若( )f x在 R上为 单调递增的奇函数，且 12 ()()0f xf x，则 12 0xx， 反之亦成立 【
4、例 2】【 2017 高考北京卷】已知函数 1 ( )3( ) 3 xx fx， 则 ( )f x A是奇函数，且在R上是增函数 B是函数，且在R上是增函数 C是奇函数，且在R上是减函数 D是函数，且在R上是减函数 【答案】 A 【解析】 11 33 33 xx xx fxfx ，所以 函数是奇函数， 并且3x是增函数， 1 3 x 是减函数， 根据增 函数 -减函数 =增函数，所以函数是增函数，故选A 【例 3】【 2017 高考新课标I 】函数 sin2 1cos x y x 的部分图 像大致为 （） 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度较小，往往借助函数的奇性、单调性、 周期性等解题
5、，常考查求值、比较大小、 解不等式等 【难点中心】本题是考查利用函数周期性 和奇性求函数值，是基础题利用函数的 周期性、奇性求函数值，需要先借助周期 性调整自变量的值，再利用奇性调整自变 量的符号，最终利用已知函数的解析式求 值而借助周期性、奇性、单调性进行比 较大小或解不等式时，还要利用函数的单 调性 3 AB CD 【答案】 C 【解析】由题意知，函数 sin2 1cos x y x 为奇函数，故排除B ； 当x时，0y，排除 D；当1x时， sin 2 0 1cos2 y， 排除 A 故选 C 【例 4】【2017 高考新课标II卷】 已知函数( )f x是定义在R 上的奇函数，当 (,
6、0)x 时， 32 ( )2f xxx，则 (2)f 【答案】 12 【解析】 (2)( 2)2( 8)412ff 【例 5】 【2017 高考山东卷】已知f(x)是定义在 R上的偶函 数，且 f(x+4)=f(x-2)若当 3,0x时，( )6 x f x， 则 f(919)= 【答案】6 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，fx是周期函数，且 6T，所以(919)(66531)(1)fff ( 1)6f III理论基础解题原理 4 考点一函数的奇性的基本概念 1如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么，函数f(x) 是函数，函数 的图象关于y轴对称 2如
7、果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么，函数f(x) 是奇函数， 奇函数的图象关于原点对称 考点二对函数的奇性的理解 (1) 判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇性 的一个必要条件 (2)判断函数f(x) 是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x) f(x) ，而不能说存在x0 使f( x0) f(x0)，对于函数的判断以此类推 考点三函数的奇性的有关结论 （1）在奇、函数的定义中，)()(),()(xfxfxfxf是定义域上的恒等式，要注意利用反向 使用，如：)()(),()(xfxfxfxf （2）奇函数图象关于
8、原点对称，奇函数)(xf若在0x处有意义， 则0)0(f；奇函数在关于原点 对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值， 则其和为零； （3）函数图象关于y轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反 IV 题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比 较大小、解不等式有联系 【技能方法】 1判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析 式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断利用定义判断函数奇偶性的步骤：