《二面角典型例题分析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二面角典型例题分析.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、NO.* 1N0.* 二面角典型例题分析 例 1 如图 1-125 ， PC 平面 ABC ，AB BC=CA PC ，求二面角BPA C的平面角的正切值。 分析由 PC 平面 ABC ，知平面 ABC 平面 PAC ，从而 B在平面 PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。 解 PC平面 ABC 平面 PAC 平面 ABC ，交线为AC作 BD AC于 D点，据面面垂直性质定理，BD 平面 PAC ，作 DE PA于 E，连 BE ，据三垂线定理，则BE PA ，从而 BED是二面角BPA C的平面角。 设 PC a，依题意知三角形ABC是边长为a 的正三角形， D
2、是 PC = CA=a， PCA=90 ，PAC 45在 Rt DEA 评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法 来求解。 NO.* 2N0.* 例 2 在 60二面角M aN内有一点P ， P到平面 M 、 平面 N的距离分别为1 和 2， 求点 P到直线 a 的距离。（图1126） 分析设 PA 、PB分别为点P到平面 M 、N的距离，过PA、PB作平面 ，分别交 M 、 N于 AQ 、BQ. 同理，有PB a， PAPB=P ， a 面 PAQB 于 Q 又 AQ、BQ 平面 PAQB AQa，BQ a. AQB是二面角M a N的平面角。 AQB 60 连
3、 PQ ，则 PQ是 P到 a 的距离，在平面图形PAQB 中，有 PAQ PBQ=90 P、A、 Q 、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB 的外接圆的直径2R 在 PAB中， PA=1，PB=2 ， BPA 180-60 =120，由余弦定理得 NO.* 3N0.* AB214-2 1 2cos120 7 由正弦定理： 例 3 如图 1-127 过正方形ABCD 的顶点 A作 PA 平面 ABCD ，设 PA=AB a 求（ 1）二面角 BPC D的大小；（ 2）平面 PAB和平面 PCD所成二面角的大小。 分析二面角 BPC D的棱为 PC ，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面 P
4、CD所成二面角“无棱”须找二面角的棱。 解（1） PA平面 ABCD ，BD AC BDPC（三垂线定理） 在平面 PBC内，作 BE PC ，E为垂足，连结DE ，得 PC 平面 BED ，从而 DE PC ，即 BED是二面角BPC D的平面角。 在 RtPAB中，由 PA AB=a PA平面 ABCD ，BCAB BCPB（三垂线定理） 在 RtPBC中， 在 BDE中，根据余弦定理，得 NO.* 4N0.* BED 120 即二面角BPC D的大小为120。 （2）过 P作 PQ AB ，则 PQ 平面 PAB ， ABCD PQCD ，PQ 平面 PCD 平面 PAB 平面 PCD于 PQ PA AB ，AB PQ PAPQ PA平面 ABCD ，CD AD CD PD （三垂线定理的逆定理） PQ CD PDPQ 所以 APD是平面 PAB和平面 PCD所成的二面角的平面角。 PAAB=AD ， APD=45 即平面 PAB和平面 PCD所成的二面角为45。