2018新高一分班考试必背知识点汇总(数学).pdf

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1、2018新高一分班考试必背知识点 汇总（数学） 目录 第 01 讲 几何综合专题必背考点 1 第 02 讲 方程综合专题必备考点 10 第 03 讲 数论专题必备考点 20 第 04 讲 不等式专题必背考点 26 第 05 讲 直线与圆专题必背考点 32 第 06 讲 代几综合专题必背考点 41 第 07 讲 集合专题必备考点 56 第 08 讲 函数的概念专题必背考点 62 第 09 讲 函数专题必背考点 69 第 10 讲 模拟测试 . 75 第 01 讲 几何综合专题必背考点 一、圆幂定理 过点A任作一条直线，与圆交于两点，AM和 AN 的乘积称为点A关于该圆的圆幂。当点A在圆外的 时候

2、，即切割线定理，当点 A在圆内的时候，即相交弦定理。这两个定理统称为圆幂定理。 1相交弦定理 如果圆内两条弦AB和 CD 相交于点P，那么 PA BPCP DP A O P D C B 2割线定理 如果从圆外一定P向圆引割线PAB和 PCD ，那么 PA PBPCPD O P D C B A 3切割线定理 如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线 PC ，那么 2 PA PBPC 实际上，可以把切割线定理看做是割线定理的极限情形，于是上述结论可以合并为： 如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于 A B、 与 CD、 ，那么就有PA PBPC PD ， 这里 PA B、 、 及 P CD、 、分

3、别共线 O P C B A 考虑经过P点和圆心 O 的直线，设PO 交O 于 MN、，R为圆的半径，则有 22 PA PBPC PDPMPNOPR OPROPR 22 OPR 即为P点到原O 的幂，圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0 如果 A B CD、 、 、是同一个圆上死点，那么，就有这四点组成的四边形ABCD 的内对角互补，即 180ABCADC，180BADBCD，并且ADBACB （同弧所对的圆周角相等） （2）对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线 事 实 上 ， 设 点A到 圆 1O 和 圆2O 的 幂 相 等 ， 圆1O 、 圆2O 的 半 径 分 别 为

4、1R 、2R12()RR ， 则 2 1 AO 222 122 RAOR，即 2222 1212 AOAORR常数 O2O1MD A 如图所示，设 12 O O 的中点为D， 12 AMO O 于点M，注意到： 222 1112AOADO DO D DM ， 222 2222AOADDODODM 则 22 12 122 RR DM O O 常数 所以，过定点M的垂线即是两圆等幂点的轨迹 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴 特别地， 若两圆同心， 则 12 0O O，此时同心圆的根轴不存在；若 2 0R，圆 2 O 变成一点 2 O ，则点A对 于圆 2 O 的幂是 2 2 AO ，此时直线 (轨迹

5、 )称为一圆与一定点的根轴 2、根轴的性质 （1）若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线 （2）若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线 （3）三个圆，其两两的根轴或者相交于一点，或者互相平行，这称为根心定理 若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点称为 三个圆的根心显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线 时，根心存在. （4）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上 二、四点共圆 1、四点共圆定义及性质 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“ 四点共圆 ” 四点共圆有三个性质： （

6、1）同弧所对的圆周角相等（ 2）圆内接四边形的对角互补（3）圆内接四边 形的外角等于内对角以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明 证明四点共圆的基本方法（四点共圆常用于倒角，有神来之笔的感觉！） 2、证明四点共圆的方法： （1）若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆 （2）若一个四边形的一组对角的和等于180 ，则这个四边形的四个顶点共圆 （3）若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆 （4）若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线 的两个端点共圆 （5）若 AB、 CD 两线段和交于P点，且 PA PB PC

7、 PD ，则 ABCD、 四点共圆 （6）若 AB、 CD 两线段延长后相交于 P且 PA PBPC PD ，则 A BCD、四点共圆 （7）边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理） 1. 如图，四边形ABCD为O的内接四边形. 延长 AB 与DC相交于点G,CDAO, 垂足为 E, 连接 BD,50GBC ，则 DBC的度数为（ ）. A.50 B.60 C.80 D.85 【答案】 C 【解析】 2. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形 门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0. 25 米， BD

8、=1. 5 米，且 ABCD与水平地面都是垂直的根据以 上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（） A2 米B2. 5 米C2. 4 米D2. 1 米 【答案】 B 【解析】 试题分析：连接OF，交 AC于点 E， BD是 O 的切线， OF BD，四边形ABDC是矩形， ADBD， OEAC，EF =AB，设圆 O 的半径为R，在 RtAOE中， AE=AC=BD=0. 75 米， OE=RAB=R0.25， AE 2 +OE 2 =OA 2， 0. 752+（R0.25）2 =R 2，解得 R=1.251. 252=2.5（米）故这扇圆弧形门的最高点离地 面的距离是2.

9、 5 米故选 B 3. 如图，点 A， B， C在 O上，ABC=29 ， 过点 C作 O的切线交OA的延长线于点D， 则 D的大小为（） A29 B 32 C42 D58 【答案】 B 【解析】 4. 如图， ABC是 O 的内接三角形，C=30， O 的半径为5，若点 P是 O 上的一点，在ABP中， PB=AB，则 PA的长为（） A5B 5 3 2 C5 2D5 3 【答案】 D 【解析】 考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质 5. 如图， O 是 ABC的外接圆， BC为 O 的直径，点E为 ABC的内心，连接AE并延长交 O 于 D 点， 连接 BD 并延长至 F，使得 B

10、D=DF，连接 CF 、BE （1）求证： DB=DE； （2）求证：直线CF为 O 的切线 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 6. 如图， Rt ABC中， C=90 ，BC=3，点 O 在 AB上， OB=2，以 OB为半径的 O 与 AC相切于点D，交 BC 于点 E，求弦 BE的长 【答案】 2. 【解析】 BF=1 2 BE， AC 是圆的切线，ODAC， ODC= C=OEC=90 ，四边形ODCF是矩形， OD=OB=FC=2 ，BC=3， BF=BC-FC=BC-OD=3-2=1 ， BE=2BF=2 考点：切线的性质；勾股定理 1.【2016，新课标 1

11、 卷】如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该 几何体的体积是 28 3 ,则它的表面积是（） A.17B.18C.20D.28 【答案】 A 2.【2016，新课标3理数】在封闭的直三棱柱 111 ABCA B C内有一个体积 为V的球，若ABBC，6AB，8BC， 1 3AA，则V的最大值是（） A.4 B. 9 2 C.6 D. 32 3 【答案】 B 3.【2015，山东， 理 7】在梯形ABCD中， 2 ABC，/ /,222ADBC BCADAB.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） A. 2 3 错误！

12、未找到引用源。B. 4 3 错误！未找到引用源。C. 5 3 错误！未找到引用 源。 D.2 【答案】 C 4. 【2015， 新课标 2， 理 9】 已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点， 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为 ( ) A36 B.64 C.144 D.256 【答案】 C来源 第 02 讲 方程综合专题必备考点 一、 韦达定理 1.韦达定理的含义 如果 2 0(0)axbxca的两根是 1 x ， 2 x ，则 12 b xx a ， 12 c x x a （隐含的条件： 0 ） 特别地，当一元二次方程的二次项系

13、数为1 时， 设 1 x ， 2 x 是方程 2 0xpxq的两个根，则 12 xx p ， 12 xxq 2.韦达定理的逆定理 以两个数 1 x ， 2 x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 2 1212 ()0xxxxx x 一般地，如果有两个数 1 x ， 2 x 满足12 b xx a ， 12 c x x a ，那么 1 x ， 2 x 必定是 2 0(0)axbxca的 两个根 3.韦达定理与根的符号关系 在 2 4bac 0 的条件下，我们有如下结论： 当0 c a 时，方程的两根必一正一负若0 b a ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0 b a ， 则此方程的正根小

14、于负根的绝对值 当0 c a 时，方程的两根同正或同负若0 b a ，则此方程的两根均为正根；若0 b a ，则此方程 的两根均为负根 更一般的结论是： 若 1 x ， 2 x 是 2 0(0)axbxca的两根（其中 12 xx ） ，且m为实数，当0 时，一般地： 121 ()()0xmxmx m， 2 xm 12 ()()0xmxm且 12 ()()0xmxm 1 x m， 2 xm 12 ()()0xmxm且 12 ()()0xmxm 1 xm， 2 xm 特殊地：当0m时，上述就转化为 2 0(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件 其他有用结论： 若有理系数一元二次方程有一

15、根ab ，则必有一根a b （ a， b 为有理数） 若0ac，则方程 2 0(0)axbxca必有实数根 若0ac，方程 2 0(0)axbxca不一定有实数根 若 0abc ，则 2 0(0)axbxca必有一根1x 若0abc，则 2 0(0)axbxca必有一根1x 4.韦达定理的应用 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根，以便利用韦达定理； 利用韦达定理求出一元

16、二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一 点设置陷阱 二、 根的分布 1.一元二次不等式的解集 一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a为例） ： 2.二次函数与一元二次方程根的分布 判别式 : 2 4bac 000 二次函数 2 yaxbxc (0)a的图象 x2 x1 O y x x1=x2 O y xOx y 一元二次方 程: 2 0axbxc (0)a的根 有两相异实根 12 ,xx 2 4 2 bbac a 12 ()xx 有两相等实根 12 2 b xx a 没有实根 不等式的 解集 2 0axbxc (0)a 1 x x x 或 2 xx Rx

17、 x，且 2 b x a 实数集R 2 0axbxc (0)a 12 x xxx 无解无解 所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点问题） ，因此，二次方程的 实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法 来研究是非常有益的 设 2 0fxaxbcc a的二实根为 1 x ， 2 x ， 12 xx， 2 4bac ，且，是预先给 定的两个实数 （1） 当两根都在区间，内，方程系数所满足的充要条件： 12 xx，对应的二次函数fx 的图象有下列两种情形： x 1 x2 a0 O x yy x Ox2x 1 当0a时的充要条件

18、是： 0 ， 2 b a ，0f，0f 当0a时的充要条件是： 0 ， 2 b a ，0f，0f 两种情形合并后的充要条件是： 0 2 00 b a ff ， ， （2） 当两根中有且仅有一根在区间，内，方程系数所满足的充要条件； 1 x或 2 x，对应的函数fx 的图象有下列四种情形： x1 x y O x1 x y O x y x 1 O x y x1O 从四种情形得充要条件是：0ff （3） 当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间，的两旁时； 12 xx 对应的函数fx 的图象有下列两种情形： x y x 2 x 1O O x1x 2 y x 当0a时的充要条件是：0f，0f 当0a时充要条件是：0f，0f 两种情形合并后的充要条件是：()0f，()0f 当两根分别在区间，之外的同侧时： 12 xx或 12 xx ，对应函数fx 的图象有下列四种情形： x y x 1 x2 O x y x1x2O x y x1x2 O x y x1 x 2 O 当 12 xx时的充要条件是： 0， 2 b a ，0f 当 12 xx 时的充要条件是： 0， 2 b a ，0f 3.区间根定理 如果在区间a b， 上有0fafb，则至少存在一个xab，使得0fx 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力