简单的线性规划及实际应用..pdf

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1、数学 简单的线性规划及其实际应用 【基础知识导引】 1方程 x+y+1=0 在平面直角坐标系中，表示一条直线，那不等式x+y+10 在平面直角 坐标系中表示什么呢？ 2如何确定一个点在某条直线的右（或左）上方？ 3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值？ 4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解？ 5常见的线性规划问题有哪些？你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例 子或模型吗？ 【重点难点解析】 本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题以及线性规划的实际 应用，重点是二元一次不等式表示平面区域，而难点则是应用线性规划的方法解决一些简单 的实际问题。

2、 1关于二元一次不等式表示平面区域 直线 1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线1 上方的点；在直线1 下方的点，其中 ykx+b 表示直线上方的半平面区域，y0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组 成的平面区域，对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y） ，实数 Ax+By+C 的符号 都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点 )( 00 yx ， （常取（ 0， 0） ，将它的坐标代入 Ax+By+C ， 由其值的符号可判定Ax+By+C0表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的 “同 侧同号，异侧异号”的符号法则，它闪现了数形结合思想方法的光芒。 2关

3、于线性规划问题 求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题，便是线性规划问题。 线性规划问题，一般条件比较繁，因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难。 求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是： 列出线性约束条件及写出目标函数； 求出线性约束条件所表示的平面区域； 通过平面区域求出满足线性条件下的可行解； 用图形的直观性求最值； 检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。 线性规划的实际问题，主要涉及以下常见类型； 物资调运问题求怎样编制调运方案，能使总运费最少； 产品安排问题求如何组织生产，能使利润最大； 下料问题求如何下料，能使损耗最少，利用率最高。 应用线性规

4、划的图解方法，一般必须具备下列条件： 能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求； 要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个； 所求的目标函数是约束条件的； 约束条件应明确地表示为线性不等式或等式； 约束条件中所涉及的变量不超过两个。 【难题巧解点拨】 例 1 画出不等式2x3y+60 所表示的平面区域。 解先画出直线2x3y+6=0（画成虚线） 取原点（ 0， 0） ，代入 2x3y+6=0 中，因为 2030+60， 所以，原点在不等式2x3y+60 所表示的平面区域内，不等式 2x3y+60 所表示的平 面区域如图11 所示。 点悟：教科书中有这样的一段叙述：“由于对在直线Ax+By

5、+C=0同一侧的所有点 （x，y） 来说，把它的坐标（x，y）代入 Ax+By+C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的 某一侧取一个特殊点 )( 00 yx ， ， 从 CByAx 00 的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪 一侧的平面区域，特殊地，当C 0 时，常把原点作为此特殊点。”这里强调了这样的一个 重要的事实：在直线一侧所有的点都使Ax+By+C 同号，另外，由于原点的代入，数值计算 相对来说较简单，故当C0 时，取原点作为特殊点来判断Ax+By+C的符号，那应该是最 方便的，当C=0 时，因原点已在直线Ax+By+C=0上，故不能通过原点来判断Ax+By+C的 符号，此时

6、其值恒为0。 例 2 用不等式组表示图12 中的阴影部分（含边界）。 解首先求出各条边所在的直线方程。 可以用两点式直接写出各边的方程。 AB：6x+y+15=0 ； BC：x2y4=0；CD：2x+y8=0；DA ：x+6y 15=0。 原点（ 0，0）在直线AB 的右方，将（0，0）代入 60+0+150 ， 所以，直线AB 的右半平面区域为：x+y+15 0， 同理，直线BC 的上半平面区域为：x2y40，直线CD 的左半平面区域为：2x+y 80，直线 DA 的下半平面区域为：x+6y150。 故所求的不等式组为 .0156 , 082 , 042 , 0156 yx yx yx yx

7、 点悟：必须注意这里用的是“”、 “” ，而非“” 、 “” ，它们的唯一的区别就是前 者表示的区域包括边界，后者表示的区域不包括边界。 例 3 北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型” 洗衣机， 由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就有销售多少，因此该公司要根据实际 情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产 品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品有关数据如下表： 资金 单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百 元）电子琴洗衣机 成本30 20 300 劳动力（工资）5 10 110 单位利润6 8

8、 试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？ 解设电子琴和洗衣机月供应量分别为x 架、 y 台，总利润为百元，根据题意，有 . , ,110105 ,3002030 ,0 ,0 Ny Nx yx yx y x =6x+8y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，即图13 中的阴影部分，作动直线 =6x+8y ，如图中的虚线部分，显然当动直线过图中的M 点时， 取最大值。 解方程组 1101050 3002030 yx yx 得 M（4，9） 即当供应量为电子琴4 架、洗衣机 9 台时，公司可获最大利润，最大利润是4 6+8 9=96 （百元）。 【拓展延伸探究】 例 1 预

9、算有 2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可 能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子和椅子各购买多少？ 分析 这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行 求解。 解设桌子和椅子各购买x、y 张，则 x、y 必须满足线性约束条件 . , ,2000205 , ,0 ,0 Ny Nx yx yx y x 其目标函数z=x+y 。 由 ,20002050 , yx yx 解得 . 7 200 , 7 20 y x 故图 14 中点 A 的坐标为 ) 7 200 7 200 (， 。 由 20002050 5

10、.1 yx xy 解得 2 75 25 y x 故图中点B 的坐标为 ) 2 75 25(， 。 满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界和内部），以 A、B、O 为顶点 三角形区域。 动直线 z=x+y 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为z 的直线，如图所示的虚线，当动直 线运动到如图所示的B 点时， z 的取值最大，此时x=25，2 75 y 。 但由于 x、y 的取值均为整数，故y 应取 37，即购买25 张桌子、椅子37 张，是最优选 择。 点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解 ) 2 75 25(， 后，显然它不满足题意，故应 取最优解的近似值，这便是实际问题与一般

11、的非应用问题的最大区别。 例 2 私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200 万元举办一所中学，为了考虑社 会效益和经济效益， 对该地区教育市场进行调查，得出一组数据， 列表如下 （以班级为单位） ： 市场调查表 班级 学生数 配备 教师数 硬件建设费 （万元） 教师年薪 （万元） 初中50 2.0 28 1.2 高中40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、 办公费，初中每生每年可收取600 元，高中每生每年可收取1500 元。因生源和环境等条件 限制，办学规模以20 至 30 个班为宜（含20 个与 30 个） 。教师实行聘

12、任制。初、高中的教 育周期均为三年。请你合理地安排招生计划，使年利润最大， 大约经过多少年可以收回全部 投资？ 分析 这是一道线性规划问题，可假设初中编制为x 个班级，高中编制为y 个班级，利用 题设先列出不等式组，求出目标函数， 然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图 形法加以求解。 解设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班。则依题意有 Nyx yx yx , ,12005828 ,3020 （） 又设年利润为s万元，那么 s=（5060010000）x（ 40150010000）y-2.4x-4y ， 即 s=0.6x+2y。 现在直角坐标系中作出（）所表示的可行域，如图15 所

13、示。 问题转化为在如图15 所示的阴影部分中，求直线 s =0.6x+2y 在 y 轴上的截距的最大值， 如图，虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线， 显然当直线过图中的A 点时，纵截距 sy 2 1 取最大值。 解联立方程组 .12005828 ,30 yx yx 得 .12 ,18 y x 将 x=18，y=12 代入 s中得， 8 .34 max s 。 设经过 n 年可收回投资，则 第 1 年利润为65060010000621.2440150010000 42.51.6=11.6（万元）； 第 2 年利润为211.6=23.2（万元）， 以后每年的利润均为34.8 万元，故依题意应有1

14、1.6+23.2+34.8（n2）=1200。 解得 n35.5。 故学校规模以初中18 个班、 高中 12 个班为宜， 第一年初中招生6 个班约 300 人，高中招 生 4 个班约 160，从第三年开始年利润为34.8 万元，约经过36 年可以收回全部投资。 点悟：读懂问题，正确理解“教育周期为三年”的含义（办学第三年，学校班级数才达到 正常的办学规模；而刚开办的第一年和第二年中，都有班给空缺），正确理解表格所赋予的 内含，是解题的关键，另外，这是一个实际问题，最后对n 的取值应采用“进1 法” ，而不 应采用“舍尾法” 。 例 3 已知函数 caxxf 2 )( 满足 4f（1） 1， 1

15、 f（2） 5，试求 f（3）的 取值范围。 分析 由 4f（1） 1， 1 f（2） 5，可求出 a、c 的可行域，然后将f（3）表示 成关于 a、c的目标函数，即就是求该目标函数的最大值与最小值。 解由 4f（1） 1，得 4 ac 1， 由 1f（2） 5，得 1 4ac5。 作出它们的可行域如图16 阴影部分所示（含边界）。 目标函数f（3） =9ac，它表示斜率为9，在 c 轴的截距为f（ 3）的直线。 由 . 14 , 1 ca ca 解得 A（0，1） 。 由 54 ,4 ca ca 解得 B（3，7） 。 由图可知，当动直线过点A 时， f（3）取最小值为1；当动直线过点B 时

16、， f（3）取最 大值为 20。 故 f（3）的取值范围为1，20。 点悟：常有如下“解法”： 由 4f（1） 1，得 4ac 1，于是 1ca4。 由 1f（2） 5，得 1 4ac5。 +，得 0 3a9，故 0a3。 4 +，得 33c21，故 1c7。 于是， f（3）=9ac，当 a=3、c=1 时取最大值为26，当 a=0、c=7 时取最小值为7。 故 f（3）的取值范围为7，26。 试分析以上的解答，是正确的还是错误的？为什么？ 【命题趋势分析】 对于 Ax+By+C0或 Ax+By+C （0 B0 表示直线Ax+By+C=0的上方区域表示直线 Ax+By+C=0 的下方区域 A

17、x+By+C （0 A0 表示直线Ax+C=0 的右侧区域表示直线Ax+C=0 的左侧区域 Ax+C0 表示直线Ax+C=0 的左侧区域表示直线Ax+C=0 的右侧区域 【同步达纲练习】 1下列命题正确的是（） A线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或 y 的值 B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值 C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域 D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2设 E 为平面上以A（4，1） ，B（-1，-6） ，C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界） ， 则 z=4x-3y 的最大值与

18、最小值分别为（） A14， -18 B-14，-18 C18，14 D18，-14 3不等式 |x|y2|x|所表示的平面区域（均含边界）为图17 中的（） 4若不等式ax+（2a-1）y+10 表示直线ax+（2a-1） y+1=0 的下方区域，则实数a 的取 值范围为 _。 5某工厂可以制造三种产品，每单位产品分别获利润10 元， 6 元， 4 元，每件产品生产 需要消耗原材料1 个单位，劳动力消耗分别为10 个， 4 个， 5 个，设备消耗工时分别是2 小时， 2 小时， 6 小时，现有原料100 个单位，劳动力600 个，设备可利用工时为300 小时， 试建立使总利润达到最大的生产利润

19、模型。 6家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时 做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000 个工作时；漆工平均两 小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300 个工作时，又已知制 作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元和 20 元，试根据以上条件， 问怎样安排生产能获 得最大利润？ 7某厂能够生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产 品的产值如表所示，但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多56 吨，供 电至多 45 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日值最大？ 用煤（吨）用电

20、（千瓦）产值（万元） 甲种产品7 2 8 乙种产品3 5 11 8在约束条件：2x+5y10，2x3y 6，2x+y10 下，求 22 yxz 的最小值。 参考答案 【同步达纲练习】 1D （点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，是线性 规划问题， 满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函 数取得最大值或最小值的可行解便是最优解） 2A （点拨： 当动直线 z=4x3y 通过点 B 时，z 取最大值， 通过点 C 时，z 取最小值） 3A （点拨：可取特殊点法进行判断排除） 4 2 1 a （点拨：因直线ax+（2a 1）y+1=0 恒过定点

21、（ 2，1） ，而显然点（ 2，0） 在点（ 2，1）的下方，故它应满足不等式，将点（2，0）代入不等式，即得2a+10。 ） 5设 x、y、z 分别是三种产品的计划制造产品，则约束条件为 . ,0 ,300622 ,6005410 ,100 Nzyx zyx zyx zyx zyx 、 、 ， 求 =10x+6y+4z 的最大值。 6生产 200 把椅子、 900 张书桌可获得最大利润21000 元（点拨：设每星期生产x 把 椅子、 y 张书桌，那么利润P=15x+20y ，而 x、y 必须满足约束条件： .0 ,0 ,13002 ,800084 y x yx yx 在 直角坐标系内作出它的

22、表示的区域，它围成一个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0） ， （650，0） ， （200，900） ， （0，1000） ，而直线 P=15x+20y ，当 P 变化时， 它是一组斜率为4 3 的平行直线，当纵截距最大时，利润亦最大， 在上述区域内平行移动的直线，易见当直线过 点（ 200，900）时， P 值最大。） 7每天生产甲种产品5 吨，乙种产品7 吨，日产值到达最大值117 万元（点拨：设每 天生产甲种产品x 吨， 乙种产品 y 号， 则 7x+3y56， 2x+5y45， x、 y0， 目标函数 z=8x+11y ， 作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当x=5，y=7 时， z 取最大值117 万元） 8线性约束条件2x+5y10，2x3y 6， 2x+y10 所表示的区域恰好围成一个三 角形区域（含边界） ，其三个顶点为（5，0） ， （3， 4） ， （ 0，2） ，而 22 yxz 表示原点到 点（ x，y）距离 d 的平方，故问题等价于原点到可行域内的点的距离d 的平方的最小值，由 图 形 不 难 得 出 当d 为原 点 到 直 线2x+5y=10的 距 离 时 ， 所 求 值 最 小 ， 故 最 小 值 为 29 100 52 |10| 2 22 。