《高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高考总复习 含详解答案 高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题 及详解 一、选择题 1(2010 山东东营质检 )在下列各函数中，最小值等于2 的函数是 () Ay x 1 x B ycosx 1 cosx 00，y0，且 2 x 1 y1，若 x2ym 22m 恒成立，则 实数 m 的取值范围是() Am4 或 m 2 Bm2 或 m 4 C 20，y0，且 2 x 1 y1， x2y (x 2y)( 2 x 1 y )4 4y x x y42 4y x x y 8，当且仅当 4y x x y，即 x2y 时取等 号， 又 2 x 1 y1， x4， y2， (x2y) min
2、8， 要使 x2ym 22m 恒成立，只需 (x2y) minm 2 2m，即 8m 22m，解得 40，a7a62a5，设 an的公比为q，则a6qa6 2a6 q ， q 2q2 0， q0， q2， aman4a1， a1 2 qmn216a 1 2， mn24， mn6， 1 m 4 n 1 6(mn) 1 m 4 n 1 6 5 n m 4m n 1 6 5 2 n m 4m n 3 2，等号在 n m 4m n ，即 n 2m4 时成立 3(2010 茂名市模考 )“a1 4”是“对任意的正数 x，均有 xa x 1”的 () A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非
3、充分也非必要条件 答案 A 解析 a1 4，x0 时， x a x 2x a x 1，等号在x 1 2时成立，又 a4 时， x a x x 4 x 2x 4 x4 也满足 x a x1，故选 A. 4(2010 广西柳州市模考)设 a，b R，则“ a b1”是“ 4ab1”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 答案 A 解析 a，b 中有一个不是正数时，若ab1，显然有4ab1 成立， a，b 都是正数 时，由 1ab2ab得 4ab1 成立，故ab1? 4ab1，但当 4ab1 成立时，未必有 ab1，如 a 5， b1 满足 4ab1
4、，但 511，故选 A. 5若 a0，b0，a， b 的等差中项是 1 2，且 a 1 a， b 1 b，则 的最小值为 ( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 1 2为 a、b 的等差中项， ab1 221. 高考总复习 含详解答案 a 1 ab 1 b? 1 1 a 1 b1 ab ab 1 1 ab， ab ab 2 ， ab ab 2 4 1 4.原式 1 4. 的最小值为5.故选 D. 6(文)若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x 2 y22x4y10 截得的弦长为 4， 则1 a 1 b的最小值是 ( ) A1 B2 C3 D 4 答案 D 解析 圆(x1) 2(y
5、 2)24，弦长为 4，故为直径，即直线过圆心(1,2)，ab 1. 1 a 1 b 1 a 1 b (a b)2b a a b4. 当且仅当ab 1 2时取等号 (理)半径为 4 的球面上有A、B、C、D 四点， AB，AC，AD 两两互相垂直，则ABC、 ACD 、 ADB 面积之和 SABCSACDSADB的最大值为 () A8 B16 C32 D64 答案 C 解析 根据题意可知，设ABa， ACb，ADc，则可知 AB，AC，AD 为球的内接 长 方 体 的 一 个 角 故a 2 b 2 c 2 64， 而S ABC SACD SADB 1 2 (ab ac bc) a 2b2a2c
6、2b2 c2 4 a 2 b2c2 2 32. 等号在 abc 83 3 时成立 7(文)已知 c 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的半焦距，则 bc a 的取值范围是 () A(1， ) B(2， ) C(1，2) D (1，2 答案 D 解析 由题设条件知，a1， a 2b2c2， bc 2 a 2 b 2c22bc a 2 2 b 2c2 a 2 2， bc a 2.故选 D. (理)已知 F1、F2分别为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点， P 为双曲线右支上的 高考总复习 含详解答案 任意一点，若 |PF1| 2 |PF2| 的值为
7、8a，则双曲线的离心率e 的取值范围是 () A(1， ) B(1,2 C(1，3 D (1,3 答案 D 解析 |PF1| 2 |PF2| 2a|PF2| 2 |PF2| 4a 2 |PF2| |PF2|4a 4a4a8a，当且仅当 4a 2 |PF2| |PF2|，即 |PF2|2a 时取等号 这时 |PF1|4a.由|PF1|PF2|F1F2|得 6a2c，即 ec a3， e(1,3 8(2010 南昌市模拟 )已知 a，bR ，ab1，M2 a2b，则 M 的整数部分是 ( ) A1 B2 C3 D 4 答案 B 解析 a，bR ，ab 1， 0b0，则集合 M 等于 () AEFB
8、EF CE(?RF) D (?RE)F 答案 C 解析 ab0， a aa 2 ab 2 abb 2b， 如图可见集合M 在 E 中，不在 F 中，故 ME?RF. 10(文)(2010 衡水市模考 )已知 ABC 中，点 D 是 BC 的中点， 过点 D 的直线分别交直 线 AB、AC 于 E、F 两点，若 AB AE ( 0)，AC AF ( 0)，则 1 4 的最小值是 () A9 B. 7 2 C5 D. 9 2 答案 D 解析 ED AD AE 1 2(AB AC )AE 高考总复习 含详解答案 1 2( AE AF )AE 21 AE 2AF ， EF AF AE . ED 与EF
9、 共线，且 AE 与AF 不共线， 21 1 2 1 ， 2， 1 4 1 2 1 4 ( ) 1 2 5 4 9 2，等号在 4 3， 2 3时成立 (理)(2010 广东省高考调研)如图在等腰直角ABC 中，点 P 是斜边 BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N，若 AB mAM ，AC nAN ，则 mn 的最大值 为() A. 1 2 B1 C2 D 3 答案 B 解析 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC 的腰长为2，则 P 点坐标为 (1,1)，B(0,2)、C(2,0)， AB mAM ，AC nAN ， AM AB m ，
10、AN AC n ， M 0， 2 m 、N 2 n，0 ， 直线 MN 的方程为 my 2 nx 2 1， 高考总复习 含详解答案 直线 MN 过点 P(1,1)， m 2 n 21， m n2， mn2mn， mn mn 2 4 1，当且仅当mn1 时取等号，mn 的最大值为 1. 二、填空题 11(2010 山东聊城、山东邹平一中模考)已知 b0，直线 b 2xy 10 与 ax(b24)y 20 互相垂直，则ab 的最小值为 _ 答案 4 解析 两直线垂直， ab 2(b24)0， ab 24 b 2 ， b0， ab b 24 b b4 b 4， 等号在 b 4 b，即 b2 时成立
11、12(文)(2010 重庆文， 12)已知 t0，则函数y t 24t1 t 的最小值为 _ 答案 2 解析 yt 24t1 t t1 t 4 因为 t0，y t1 t 42t 1 t 4 2. 等号在 t1 t ，即 t1 时成立 (理)(2010 安徽合肥六中质检)已知三个函数y2 x，y x2，y8 x 的图象都过点A，且点 A 在直线 x m y 2n1(m0，n0)上，则 log 2mlog2n 的最小值为 _ 答案 4 解析 由题易得， 点 A 的坐标为 (2,4) ，因为点 A 在直线 x m y 2n 1(m0，n0)上，所以 1 2 m 4 2n2 2 m 4 2n，mn16
12、，所以 log 2m log2n log2(mn)4，故 log2mlog2n 的最小 值为 4. 13(文)(2010 南充市 )已知正数a， b， c 满足： a2b c1 则 1 a 1 b 1 c 的最小值为 高考总复习 含详解答案 _ 答案 64 2 解析 1 a 1 b 1 c a2bc a a 2bc b a 2bc c 2b a a b c a a c c b 2b c 42 222 24642， 等号在 2b a a b， c a a c， c b 2b c 同时成立时成立 即 ac2b1 2 2 时等号成立 (理)(2010 北京延庆县 )已知 x0，y0，lg2 xlg8
13、y lg2，则 xy 的最大值是 _ 答案 1 12 解 析 lg2 x lg8 y lg2， 2 x 8y 2， 即2 x3y 2， x 3y 1， xy 1 3 x (3y)1 3 x3y 2 21 12，等号在 x3y，即 x 1 2，y 1 6时成立 14 (文)(2010 重庆一中 )设 M 是 ABC 内一点，且AB AC 23， BAC30 ， 定义 f(M) (m，n，p)，其中 m，n，p 分别是 MBC， MCA，MAB 的面积若f(M) 1 2，x，y ， 则1 x 4 y 的最小值是 _ 答案 18 解析 AB AC |AB | |AC |cos30 3 2 |AB|
14、|AC|2 3， |AB| |AC|4， 由 f(M)的定义知， SABC1 2xy， 又 SABC1 2|AB| |AC| sin30 1， xy 1 2(x0，y0) 1 x 4 y 2(xy) 1 x 4 y 2 5 y x 4x y 2(52 4)18，等号在 y x 4x y ，即y2x 1 3 时 成立， 1 x 4 y min18. (理)(2010 江苏无锡市调研)设圆 x 2 y21 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点A，B， 则 AB 的最小值为 _ 答案 2 解析 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为 x a y b 1，则 高考总复习 含详解答
15、案 ab a 2b21， a 2 b 2a2b22ab，切线与两轴交于点 A(a,0)和(0， b)，不妨设a0，b0， ab 2， 则 AB|AB|a 2b2 2ab2. 三、解答题 15已知 、都是锐角，且sin sin cos( ) (1)当 4，求 tan的值； (2)当 tan取最大值时，求tan( )的值 解析 (1)由条件知， sin 2 2 sin 4， 整理得 3 2sin 1 2cos 0， 为锐角， tan 1 3. (2)由已知得sin sin cos cos sin 2 sin ， tan sin cos sin 2 tan ， tan sin cos 1sin 2
16、sin cos 2sin 2 cos 2 tan 2tan 2 1 1 2tan 1 tan 1 22 2 4 . 当且仅当 1 tan 2tan时，取 “”号， tan 2 2 时， tan取得最大值 2 4 ， 此时， tan( ) tan tan 1 tan tan 2. 16 (文)(2010 江苏盐城调研 )如图， 互相垂直的两条公路AM 、 AN 旁有一矩形花园ABCD ， 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求 P 在射线 AM 上， Q 在射线 AN 上，且 PQ 过点 C，其中 AB30 米， AD20 米记三角形花园APQ 的面积为S . (1)当 DQ 的长度是多
17、少时，S最小？并求S 的最小值 (2)要使 S不小于 1600 平方米，则DQ 的长应在什么范围内？ 高考总复习 含详解答案 解析 (1)设 DQx 米(x0)，则 AQx20， QD DC AQ AP ， x 30 x20 AP ， AP30 x 20 x ，则 S 1 2APAQ 15 x20 2 x 15(x 400 x 40) 1200，当且仅当x 20 时取等号 (2)S1600， 3x 2200x12000， 0b0)以双曲线 x 2 3 y 21 的焦点为顶点，其离心率与双曲 线的离心率互为倒数 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点A，B，点 M 是
18、椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点 求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值； 高考总复习 含详解答案 若直线MA、MB 与直线 x4 分别交于点P、Q，求线段PQ 长度的最小值 分析 由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得 点 A，B 坐标，设出 M 点坐标，可列出kMAkMB的表达式，利用M 在椭圆上可消元，通过计 算验证结果为常数，再根据点A、M、P 三点共线和M、B、Q 三点共线就可以找到点P、Q 的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ 长度的最小值 解析 (1)易知双曲线 x 2 3 y 21 的焦点为 (2,0)，(2,0)，离心率为2 3 ，故在椭
19、圆C 中 a2，e 3 2 ， c3，b1，故椭圆C 的方程为 x 2 4 y 21. (2)设 M(x0，y0)，(x0 2)，由题易知A( 2,0)， B(2,0)，则 kMA y0 x02 ， kMB y0 x02， 故 kMAkMB y0 x02 y0 x02 y0 2 x0 2 4 ， 点 M 在椭圆 C 上，则 x0 2 4 y0 21， 即 y0 21x0 2 4 1 4(x 0 24)，故 k MA kMB y0 2 x0 24 1 4，直线 MA ，MB 的斜率之积为定 值 解法一：设P(4，y1)，Q(4，y2)，则 kMAkP Ay 1 6 ，kMBkBQy 2 2 ，由得 y1 6 y2 2 1 4， 即 y1y2 3，当 y10，y20 时，当且仅当y13，y23时， |PQ|有最小 值 2 3. 解法二：设直线MA 的斜率为k，直线 MA 的方程为yk(x2)，从而 P(4,6k)，由知 直线 MB 的斜率为 1 4k，直线 MB 的方程为 y 1 4k(x2)，故得 Q 4， 1 2k ，故 |PQ|6k 1 2k|2 3，当且仅当 k 3 6 时等号成立