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1、新课标中考数学分类专题复习试题：阅读型试题 近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以 是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的 内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答 例 1、 （台州） 我国古代数学家秦九韶在算书九章中记述了“三斜求积术”，即已 知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： ) 2 ( 4 1 2 222 22 cba bas（其中a、b、c 为三角形的三边长，s 为面 积） 。 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： )()(cpbpapps（其中 2 cba p）
2、。 (1) 若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式和公式，计算该三角 形的面积。 (2) 你能否由公式推导出公式？请试试。 分析： 这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术” 的现在代公式， 第（1） 小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。 1 2 4 3 F E DDD CCCB BB AAA 练习 1 （贵州市）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、 C 两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（a） ，小刚过AB 、AC的中点画直 线 EF，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b）
3、； （a）（b）（c） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为： 21 _SS， 43 _SS； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的 直线有条，请在图（c）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ （4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图 形； 2 （资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的 这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图 8所示， 矩形 ABEF即为 ABC的“友好矩
4、形”.显然， 当ABC是钝角三角形时，其“友 好矩形”只有一个 . (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如图 8，若ABC为直角三角形， 且C=90 ， 在图 8中画出 ABC 的所有“友 好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； (3) 若ABC是锐角三角形， 且 BCACAB ，在图 8中画出 ABC 的所有“友好矩形” ， 指出其中周长最小的矩形并加以证明. 3 （玉林） 阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角 ABC中， A、 B、 C的对边分别是a、b、c过 A作 AD BC于 D(如图 )， 则 sinB= c AD ， sinC= b AD ，
5、即 AD=csinB， AD=bsinC， 于是 csinB=bsinC ， 即 C c B b s i ns i n 同理有 A a C c sinsin ， B b A a sinsin 所以 C c B b A a sinsinsin (*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、 A，运用上述结论 (*) 和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、B、 C ，请你按照下列步骤填空，完成 求解过程： 第一步：由条件a、b、 A B； 第二步：由条件A、 B C； 第三步：由条件c (2) 一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向
6、上，随后货轮以284 海里 时的速度按北偏东45的方向航行， 半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北 偏西 70的方向上 ( 如图 ) ，求此时货轮距灯塔A的距离 AB(结果精确到01参考数据： sin40 =06 4 3 ，sin65 =090 6 ，sin70 =0940，sin7 5 =09 6 6) 4、 （佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”下 面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角 AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数 x y 1 的图象交于点P，以 P 为圆心、以2OP为半径作弧交图象
7、于点R分别过点P和 R作x轴和y轴的平行线，两 直线相交于点M ，连接 OM 得到 MOB ，则 MOB= 3 1 AOB 要明白帕普斯的方法，请研 究以下问题： （1）设) 1 ,( a aP、) 1 ,( b bR，求直线 OM对应的函数表达式（用含ba,的代数式表示） （2）分别过点P和 R作y轴和x轴的平行线， 两直线相交于点Q 请说明 Q点在直线 OM 上，并据此证明MOB= 3 1 AOB （ 3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明） 5、 （福州）已知：如图8，AB是 O的直径， P是 AB上的一点（与A、B不重合），QP AB ， 垂足为 P，直线 Q
8、A交 O于 C点，过 C点作 O的切线交直线QP于点 D。则 CDQ 是等 腰三角形。 对上述命题证明如下： 证明：连结OC OA OC A 1 CD切 O于 C点 OCD 90 1 290 A 290 在 RtQPA中， QPA 90 A Q 90 2 Q DQ DC 即 CDQ 是等腰三角形。 问题：对上述命题， 当点 P在 BA的延长线上时， 其他条件不变， 如图 9 所示，结论“ CDQ 是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。 图8 2 1 DC O A B P Q 图 9 D C A B P Q 能力训练 1、 （内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾
9、经研究过这样一个问题： 1+2+3+ +100？经过研究， 这个问题的一般性结论是1+2+3+1 2 1 nnn，其 中是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1 2+23+1nn？ 观察下面三个特殊的等式: 210321 3 1 21; 321432 3 1 32; 432543 3 1 43. 将这三个等式的两边相加，可以得到12+23+3420543 3 1 . 读完这段材料，请你思考后回答： 1011003221. 21432321nnn . 21432321nnn. （只需写出结果，不必写中间的过程） 2、 （陕西）阅读：我们知道，在数轴上，x1 表示一个点，而在平面直角坐标系中，x
10、1 表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2xy10 的所有解为坐标的点组成的 图形就是一次函数y2x1 的图象，它也是一条直线，如图. 观察图可以得出：直线1 与直线 y2x1 的交点 P的坐标（ 1，3）就是方程组 1 210 x xy 的解，所以这个方程组的解为 1 3 x y 在直角坐标系中，x1 表示一个平面区域，即直线 x1 以及它左侧的部分，如图； y2x1也表示一个平面区域，即直线y2x1 以及它下方的部分，如图。 回答下列问题： (1) 在直角坐标系（图）中，用作图象的方法求出方程组 2 22 x yx 的解； (2) 用阴影表示 2 y2x2 y0 x ，所围成的区域。
11、P(1,3) O x y 3 7-2 题图 l x=1 y=2x+1 O x y 72 题图 l x=1 O x y 72 题图 l y=2x+1 答案： 练习 1 （1）_，_； （2）无数，图略； 2(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边 重合， 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这 样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”. (2) 此时共有2 个友好矩形，如图的BCAD 、ABEF. 易知，矩形BCAD 、ABEF的面积都等于ABC面积的 2 倍， ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3 个友好矩形， 如图的 BC
12、DE 、CAFG 及 ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小 . 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形 BCDE 、 CAFG 及 ABHK 的周长分别为L1， L2， L3， ABC的边长 BC=a ， CA=b ， AB=c，则 L1= 2S a +2a，L2= 2S b +2b，L3= 2S c +2c . L1- L2=( 2S a +2a)- ( 2S b +2b)=2(a-b) abS ab ， 而 abS，ab， L1- L20，即 L1 L 2 . 同理可得， L2 L3 . L3最小，即矩形ABHK 的周长最小 . 3解： (1) B b A a s
13、insin , A+B+C=180， a、 A、 C或 b、 B、 C， A a C c sinsin 或 C c B b sinsin (2) 依题意，可求得ABC=65 ， A=40 ,BC=142,AB213 答：货轮距灯塔A的距离约为213 海里 (9 分) 4、解：（1）设直线OM 的函数关系式为) 1 ,(), 1 ,(, b bR a aPkxy 则), 1 ,( a bM ab b a k 11 直线 OM 的函数关系式为x ab y 1 （2）Q的坐标) 1 ,( b a满足x ab y 1 ，点Q在直线 OM上 四边形PQRM 是矩形， SP=SQ=SR=SM= 2 1 P
14、R SQR= SRQ PR=2OP ， PS=OP= 2 1 PR POS= PSO PSQ是 SQR的一个外角， PSQ=2 SQR POS=2 SQR QR OB ， SOB= SQR POS=2 SOB SOB= 3 1 AOB （3）以下方法只要回答一种即可 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后， 再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角 5、答：结论“CDQ 是等腰三角形”还成立 证明：略 能力训练： 1、 343400( 或102101100 3 1 21 3 1 nnn 321 4 1 nnnn 2. 解： （1）如图所示， 在坐标系中分别作出直线x 2 和直线 y 2x2， 这两条直线的交点是P（ 2，6） 。 则 2 6 x y 是方程组 2 22 x yx 的解。 （1）如阴影所示。 x y O y= 2x+2 x=2 P l