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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 江西省新余一中2013 年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（每小题5 分，合计 50 分.每小题只有唯一正确选项，请填写在答题纸中相应的 位置） 1 （ 5 分）设集合A=y|y=2 x+1 ，全集 U=R，则 C UA 为（） A（1，+）B 1，+）C（，1）D（ ，1 考点 ： 补 集及其运算 专题 ： 计 算题 分析：求 出集合 A 中函数的值域，确定出集合A，由全集U=R，找出不属于A 的部分，即 可求出 A 的补集 解答：解 ：由集合A 中的函数 y=2 x+11，得到 A=1 ，+） ， 全集 U=R， CUA=
2、 （ ，1 故选 D 点评：此 题考查了补集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2 （ 5 分）复数i（1+i）所对应的点位于复平面的（） A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限 考点 ： 复 数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题 ： 计 算题 分析：先 进行复数的乘法运算，得到i（1+i ）= 1+i，再由复数的几何意义得出其对应的复 平面中的点的坐标，即可得出复数对应的点所在的象限 解答：解 ：i（1+i）=1+i，它对应的点的坐标是（1，1） ，位于第二象限 故选 B 点评：本 题考查复数乘法运算及复数的几何意义，解题的关键是熟练掌握乘法的运算规则及 复
3、数的几何意义 3 （ 5 分）二项式展开式中的常数项为（） A60 B 60 C240 D240 考点 ： 二 项式定理 专题 ： 计 算题 分析：在二项式 展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值， 即可求出展开式中的常数项 解答： 解：二项式展开式的通项公式为Tr+1= ?（ 2） r?xr =?， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 令=0，可得r=2， 故展开式中的常数项为4=60， 故选 B 点评：本 题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 属于中档题 4 （ 5 分） “” 是“” 的（） 条件 A充分而
4、不必要B 必要而不充分 C充分必要D既不充分也不必要 考点 ： 充 要条件 专题 ： 证 明题 分析：根据正弦函数的定义，我们可以判断出 “” ? “” 为真命题，而 “” ? “” 不成立，进而根据充要条件的定义，即可得到答案 解答：解：当 时，成立， 故” 是“” 的充分条件 当时，+2k ，或 =+2k ，k Z 即 “” ? “” 不成立； 故 “” 是“” 的不必要条件； 故 “” 是“” 的充分不必要条件； 故选 A 点评：本 题考查的知识点是充要条件，其中熟练掌握正弦函数的定义及函数的周期性是解答 本题的关键 5 （ 5 分）实数x，y 满足，则不等式组所围成图形的面积为（） A
5、4B 2C D1 考点 ： 简 单线性规划的应用 专题 ： 计 算题；数形结合 分析：画 出约束条件表示的可行域，求出可行域的端点坐标，然后求解不等式组所围成图形 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 的面积 解答： 解：实数x，y 满足，它表示的可行域为如图： 不等式组所围成图形是三角形， 三个顶点坐标分别为（1，0） ， （ 0，1） ， （2，1） 所以所围成的图形的面积为：=1 故选 D 点评：本 题考查简单线性规划的应用，正确画出图形是解答本题的关键，考查计算能力、数 形结合思想的应用 6 （ 5 分） （2011?北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的
6、表面积是（） A32 B 16+16C48 D16+32 考点 ： 由 三视图求面积、体积 专题 ： 计 算题 分析：根 据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应 的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积 解答：解 ：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4 正方形形的四棱锥， 过顶点向底面做垂线，垂线段长是2， 过底面的中心向长度是4 的边做垂线，连接垂足与顶点， 得到直角三角形，得到斜高是2 四个侧面积是 底面面积是4 4=16， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 四棱锥的表面积是16+16， 故选 B 点评：本
7、题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的 体积和表面积的做法，本题是一个基础题 7 （ 5 分）已知x0是函数 的零点，设x0 （k， k+1） （k Z） ，则整数 k 的 取值为（） A0B 1C2D3 考点 ： 函 数零点的判定定理 专题 ： 函 数的性质及应用 分析：由题意 f（ 2）=ln210，f（3）=ln3 0，零点的存在性定理可得函数在区间（ 2， 3）上有零点，进而可得答案 解答：解 ：由题意得函数的定义域为：（0，+） ， f（2）=ln210，f（3）=ln30 由零点的存在性定理可得函数在区间（2，3）上有零点 结合题意可知：整数k 的
8、取值为2 故选 C 点评：本 题考查函数零点的存在性定理，涉及对数函数的运算，属基础题 8 （ 5 分）已知（n N *） ，数列 a n 前 n 项的和为Sn，则 S2013的值为 （） A2013 B 0 C D 考点 ： 数 列的求和 专题 ： 计 算题 分析：由二倍角公式可得 =sin，可周期为3，前三项的和为0， 而 2013=671 3，可得 S2013的值为 0 解答：解：由二倍角公式可得 =sin 由周期公式可得T=3，而=， =，=0， 故 S2013=a1+a2+a3+ +a2013= 671 （a1+a2+a3）=0 故选 B -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档
9、! 值得收藏！ - 点评：本 题考查数列的求和问题，涉及三角函数的化简以及函数的周期性，属中档题 9 （5 分）F1，F2分别为椭圆 的左右焦点，点P（x，y）在直线 x+y 2=0 上（x 2 且 x1） ，直线 PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（） A2B CD2 考点 ： 直 线与圆锥曲线的关系 专题 ： 计 算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：先确定椭圆的左右焦点坐标，再表示出斜率，进而计算 ，利用点P（x，y） 在直线 x+y2=0 上（ x 2且 x1） ，即可求得结论 解答：解 ：由题意， F1（ 1，0） ，F2（1，0） 直线 PF1，PF2的斜率分别为k1
10、、k2， = 点 P（x， y）在直线x+y2=0 上（ x 2 且 x1） ， y=2x，=2 =2 故选 A 点评：本 题考查椭圆的几何性质，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题 10 （5 分）如图，数轴上点A 对应的数值为4，点 B 对应的数值为4，点 M 对应的数值 为 x（ 4x4） ，现将线段AB 弯折成一个边长为2 的正方形，使A、 B 两点重合于点P （P 为该边的中点） ，设线段 PM 的长度为 L，则建立了一个L 关于 x 的映射关系L=L （x） ， 有下列论断： （1） （2）L（x）为偶函数 （3）L（x）有 3 个极值点 （4）L（x）在（ 4，4）上为
11、单调函数 其中正确的个数为（）个 A1B 2C3D4 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 考点 ： 进 行简单的演绎推理 专题 ： 压 轴题；演绎法 分析：由 图形可知 （ 1）通过勾股定理可计算出； （ 2）因为 PM 关于经过正方形的边CE、FD 的中点所在的直线对称，故是偶函数； （ 3）由表达式可求出其三个极值点0， 1，1； （ 4）因为（ 2）正确，所以（4）不正确 解答：解：如图所示： （1）当 M 为边 CD 的中点时，由勾股定理得 L（2）=， 故（ 1）正确； （ 2）由图的对称性可看出L（ x） =L（x） ； （ 3）当 0 x4 时， L（
12、 x）=L（x）=，可知当 x=0 时， L（x）取得极小值；当x= 1 时， L（ x）取得极大值，故有三个极值点 （ 4）由（ 2）可知 L（x）在区间（ 4，4）是偶函数，故不是单调函数，所以（4） 不正确 故选 C 点评：正 确画出图形是解决问题的关键 二、填空题（每小题5 分，合计25 分，请将答案填到答题纸上其中15 题为选做题，若 两题都作答，则只按第1 题给分） 11 （5 分）下列式子根据规律排列，在横线上补充缺失的式子，1 3=12， 13+23=（1+2）2， 1 3+23+33=（1+2+3）2， ， 13+2 3+33+ +n3=（1+2+3+ +n）2 考点 ： 归
13、 纳推理 专题 ： 规 律型；等差数列与等比数列 分析：通 过观察得出等式的左边是连续自然数的立方和，右边是连续自然数和的平方，由此 解决问题 解答：解 ：由 13=12， 1 3+23=（1+2）2， 1 3+23+33=（ 1+2+3）2， 可知 13+23+33+ +n3=（1+2+3+ +n） 2， 故答案为： ，13+23+33+ +n3=（1+2+3+ +n） 2 点评：此 题能够分别观察等式的左边和右边，正确找到左右两边之间的联系，并正确利用结 论进行计算是关键 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 12 （5 分） （2012?河南模拟）阅读程序框图，
14、如果输出的函数值在区间内， 则输入的实数x 的取值范围是2， 1 考点 ： 选 择结构 专题 ： 计 算题 分析：由 程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x 的取值范围 解答： 解：由程序框图可得分段函数： 令，则 x 2， 1，满足题意； 故答案为： 2， 1 点评：本 题考查程序框图，解题的关键是读懂框图，写出分段函数，属于基础题 13 （5 分）圆 x 2+y2=2 内的曲线y= sinx 与 x 轴围成的阴影部分区域记为M（如图），随 机往圆内投掷一个点A，则点 A 落在区域 M 的概率为 考点 ： 定 积分的简单应用；几何概型 专题 ： 计 算题；概率与统计 分析：先
15、求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx 与 x 轴围成的区域的面积，从而可求概率 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 解答：解 ：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3 正弦曲线y=sinx 与 x 轴围成的区域记为M， 根据图形的对称性得：面积为S=20sinxdx= 2cosx|0=4， 由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A，则点 A 落在区域M 内的概 率 P= 故答案为： 点评：本 题考查利用积分求解曲面的面积，几何概型的计算公式的运用，考查学生的计算能 力，属于中档题 14 （5 分）已知双曲线（a
16、 0，b0）的左右焦点为F1，F2，点 P 在双曲线上， 且， PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为 考点 ： 双 曲线的简单性质 专题 ： 计 算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：利 用向量垂直，结合双曲线的定义，PF1F2的面积，即可求得双曲线的离心率 解答：解 ：不妨设P在双曲线的右支上，设|PF1|=m，|PF2|=n，则 ， PF1F2的面积为， ， e= = 故答案为： 点评：本 题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题 15 （5 分） （1）若不等式 |x1|+|x2|a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ，1）； （2）在极坐标下，点到直
17、线的距离 考点 ： 绝 对值不等式；简单曲线的极坐标方程 专题 ： 计 算题；压轴题 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 分析：要 使不等式 |x1|+|x2|a 恒成立，需f（x） =|x1|+|x 2|的最小值大于a，问题转 化为求 f（x）的最小值 把极坐标方程化为普通方程，把点 A 的极坐标化为直角坐标，利用点到直线的距离公 式求出点到这条直线的距离 解答：解 ： （1）设 f（x）=|x1|+|x2|， 则有 f（ x）=， 当 x 1 时， f（x） 1； 当 1 x 2 时， f（x）有最小值1； 当 x 2 时， f（x） 1； 综上 f（ x）有最
18、小值1， 所以实数a 的取值范围为（，1） 解：直线的可化为 sin + cos +2=0， 化成直角坐标方程为：x+y+2=0 ， 点可化（ 0，2） ， 根据点到直线的距离公式d=， 故答案为：（ ，1） ， 点评：本 题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想本题考查把极坐标方程 化为普通方程的方法，以及点到直线的距离公式的应用解答关键是利用直角坐标与 极坐标间的关系，即利用 cos =x， sin =y， 2=x2+y2，进行代换即得 三、解答题（共6 小题，合计75 分） 16 （12 分）已知等差数列an 和等比数列 bn 中， a1=b1=2，b2=a2+1=， （1）分
19、别求数列an 、bn的通项公式； （2）求数列的前 n 项的和 Sn 考点 ： 微 积分基本定理；数列的求和 专题 ： 等 差数列与等比数列 分析：（ 1）先求 ，进而根据等差数列an 和等比数列 bn的通项公式，即可解出 公差和公比，即可求出通项公式 （ 2）先求出，再利用错位相减法即可求出其和Sn 解答：解： （1） =40=4， b2=a2+1=4 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 设等差数列 an和等比数列 bn公差、公比分别为 d、q 则 2q=2+d+1=4 ，解得 d=1， q=2 an=2+1 （n1）=n+1， （ 2）由（ 1）可得， Sn=
20、， 2Sn=2+ 错位相减得 点评：本 题考查了等差数列和等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的和，充分理解 以上知识和方法是解题的关键 17 （12 分）已知，锐角 ABC 的三内角 A、B、C 对应的三边分别为a、b、c满足： f（ A） =1 （1）求角 A； （2）若 a=2， ABC 的面积为，求边 b、c 的值 考点 ： 解 三角形；平面向量的综合题 专题 ： 计 算题；解三角形；平面向量及应用 分析：（ 1）通过向量的数量积以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的 形式，通过f（A）=1求出 A 的大小 （ 2）利用三角形的面积以及余弦定理得到方程组，求解b， c
21、 的值即可 解答：解： （1）因为 ， 所以=cos2xsin2x， 即， f（A）=1 ， （6 分） （ 2）a=2，ABC 的面积为， 由余弦定理a 2=b2+c22bccosA，可得 4=b2+c2 bc， ，所以 bc=4， 解得 b=c=2（12 分） 点评：本 题考查两角和的正弦函数的应用，余弦定理以及三角形的面积公式的应用，考查计 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 算能力 18 （12 分）日本欲非法将我国领土钓鱼岛及附属岛屿国有化，激起我国民强烈愤慨某历 史老师提出4 个有关钓鱼岛的问题让甲同学连续依次作答，并规定： 若甲同学连续答错两个 问题则
22、停止作答已知甲同学回答每个问题正确的概率都是，且回答各个问题之间不受影 响 （1）求甲同学回答问题没有一个正确的概率； （2）设甲同学回答问题的个数为X，求 X 的分布列及数学期望 考点 ： 离 散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题 ： 计 算题；概率与统计 分析：（ 1）求得甲同学回答每个问题不正确的概率，利用概率公式，可求甲同学回答问题 没有一个正确的概率； （ 2）确定 X 的可能取值，求出相应的概率，即可求X 的分布列及数学期望 解答：解： （1）甲同学回答每个问题正确的概率都是 ， 甲同学回答每个问题不正确的概率都是， 甲同学回答问题没有一个正确的概率为p=（4
23、 分） （ 2）X 的可能取值为2，3，4，则 ， X 的分布列为 X 2 3 4 P 数学期望为EX=2 +3 +4 =（12 分） 点评：本 题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力， 属于中档题 19 （12 分）如图所示，在ABC 中， AC=1 ，P 为 AB 的中点， DC 平面 ABC ，EBDC，DC=EB=2 （1）求证： AD 平面 PCE； （2）求二面角ACE P 的余弦值 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 考点 ： 二 面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题 ： 计 算题；证明题；空间角 分析：（ 1
24、）连接 BD 交 CE 于点 Q，连接 PQ，可得 PQ 是ABD 的中位线，得PQAD ， 结合线面平行判定定理可得AD 平面 PCE； （ 2）过点 P作 PFAE 于 F，再过点 F 作 FGEC 于 G，连接 PG根据线面垂直的 判定与性质， 可得 PGEC，得 PGF 就是二面角ACEP 的平面角 RtPFG 中， 算出 FG、PG 的长，可得cosPGF=，即二面角ACEP 的余弦值 解答：解 ： （1）连接 BD 交 CE 于点 Q，连接 PQ EBDC，DC=EB ，四边形BCDE 是平行四边形，得Q 为 BD 中点 由此可得 ABD 中， PQ 是中位线，可得PQAD PQ?
25、 平面 PCE，AD ? 平面 PCE， AD 平面 PCE； （6 分） （ 2）过点 P 作 PFAE 于 F，再过点 F 作 FGEC 于 G，连接 PG DC平面 ABC ，EBDC， EB平面 ABC ，结合 AC ? 平面 ABC ，得 AC EB ACAB ，AB EB=B ， AC平面 ABE PF? 平面 ABE ， AC PF AEPF，AC AE=A ， PF平面 ACE FGEC，FG 是 PG 在平面 ACE 内的射影 PGEC，得 PGF 就是二面角A CEP 的平面角 RtABE 中， AB=3 ，BE=2， P为 AB 中点，且PFAE 由 ABE AFP，得
26、PF= 同理：由 ACE FGE，得 GF= RtPFG 中， PG= 因此， cosPGF=，即二面角ACEP 的余弦值等于 （ 12 分） -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本 题在特殊多面体中，证明线面平行并且求二面角的余弦值，着重考查了直线与平面 平行的判定，二面角的平面角的定义及求法等知识，属于中档题 20 （13 分）椭圆（ ab0）的上下焦点分别为F1，F2，在 x 轴的两端点分 别为 A，B，四边形F1AF2B 是边长为 4 的正方形 （1）求椭圆方程； （2）过点 P（ 0，3）作直线l 交椭圆与M，N 两点，且，求直线 l 的方程 考点
27、： 直 线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题 ： 综 合题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：（ 1）由四边形F1AF2B 是边长为 4 的正方形，可得b，c 的值，进而可求a 值，即可 求得椭圆方程； （ 2）设出直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求直线l 的方程 解答： 解： （1）由题意， b=c=2， a 2=b2+c2=16，椭圆方程为 ； （ 2）设直线l 的方程为y=kx+3 ，代入椭圆方程，可得（k2+2）x 2+6kx 7=0 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2= ，x1x2= -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 !
28、值得收藏！ - ， x1=3x2， 2x2= ， 3x2 2= 27k2=7k 2+14 k2= k= 直线 l 的方程为y=x+3 点评：本 题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于 中档题 21 （14 分）已知函数f（x）=x 2+ax（ a+2）lnx2 （1）当 a=1 时，求证：当x 1 时， f（ x） 0 （2）若 a 2，探求 f（x）的单调区间 （3）求证：+ +（+） （ n 4，n N *） 考点 ： 导 数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题 ： 综 合题；压轴题；导数的综合应用 分析：（ 1）求导函数，确定f（
29、x）在 1，+）为增函数，即可证得结论； （ 2）求导函数，分类讨论，可得函数的单调区间； （ 2）先证明，再 x 分别取 2，3， ，n，叠加即可得到结论 解答：（ 1）证明： a=1，x 1 时， ， f（x）在 1，+）为增函数， f（x） f（1）=0； （ 2）解： a （ 4，2）时，函数的单调增区间为，单调减 区间为； a=4，函数的单调增区间为（0+） ； a 4 时，函数的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - ； （ 3）证明：由（1）得：当x1 时， x 2+x23lnx ， ， ， + +（ 1+）（+）=（+） 点评：本 题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题