【解析版】福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学理试题.pdf

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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（理 科） 一、选择题：本大题有10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的 1 （ 5 分） （2013?泰安一模）已知集合A= 1，1 ，B=x|1 2 x4，则 A B 等于（ ） A1，0，1 B 1 C 1，1 D 0，1 考点 ： 交 集及其运算 专题 ： 计 算题 分析：利 用指数函数的性质求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B，找出 A 与 B 的公 共元素，即可求出两集合的交集 解答：解 ：由集合B 中的不等式变

2、形得：20 2x 2 2， 解得： 0 x2， B=0 ，2） ，又 A= 1，1， 则 A B=1 故选 B 点评：此 题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 （ 5 分） （2010?泰安一模）若复数是纯虚数（ i 是虚数单位） ，则 a 的值为 （） A2 B 2C1D1 考点 ： 复 数代数形式的乘除运算 专题 ： 计 算题 分析：由复数的运算，化简可得复数为 ，由纯虚数的定义可得答案 解答：解： =， 因为为纯虚数，故2a=0 且 a+2 0，解得 a=2， 故选 B 点评：本 题考查纯虚数的概念，涉及复数代数形式的乘除运算，属基础题 3 （ 5 分） （2012

3、?厦门模拟） “ 2x3” 是“ x（x5） 0” 的（） A充分不必要条件B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 考点 ： 必 要条件、充分条件与充要条件的判断 专题 ： 应 用题 分析：由 2 x3 可得 x（x5） 0；由 x（x5） 0 可得 0x5，从而可判断 解答：解 ：由 2x3 可得 x（x 5） 0 由 x（ x5） 0 可得 0x5 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - “ 2x 3” 是“ x（x5） 0” 的充分不必要条件 故选 A 点评：本 题主要考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础试题 4 （ 5 分）已知向量，则向量的夹

4、角为（） A BCD 考点 ： 数 量积表示两个向量的夹角 专题 ： 计 算题 分析： 由向量的夹角公式可得cos =，代入可求向量的夹角 解答：解：设向量 的夹角为 由向量的夹角公式可得cos = 0 故选 C 点评：本 题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，属于基础试题 5 （ 5 分）给出命题：已知a、b 为实数，若a+b=1，则 ab 在它的逆命题、否命题、逆 否命三个命题中，真命题的个数是（） A3B 2C1D0 考点 ： 四 种命题的真假关系 专题 ： 计 算题；证明题 分析：首 先根据基本不等式判断原命题是正确的，则原命题的逆否命题就是正确的，再判断 原命题的逆命题的真假，用特例

5、判断是一个假命题，则原命题的否命题是一个假命题 解答：解 ： a、b 为实数， a+b=1， ab= 原命题是正确的， 逆否命题是正确的， 原命题的逆命题是：已知a、b 为实数，若ab ，则 a+b=1 这个命题只要举出a=b=， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 就可以说明这个命题是假命题， 原命题的否命题也是一个假命题， 它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，真命题的个数是1， 故选 C 点评：本 题考查圆命题的三个命题的真假，这种题目只要判断其中两个命题的真假就可以， 因为原命题与它的逆否命题具有相同的真假，否命题与逆命题具有相同的真假 6 （ 5 分）下列

6、函数中，周期为 ，且在上单调递增的奇函数是（） A BCD 考点 ： 正 弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性 专题 ： 综 合题；三角函数的图像与性质 分析：将 三角函数的化简，确定函数的奇偶性、周期性、单调性，即可得到结论 解答：解 ：对于 A，函数的周期为2 ，故不符合题意； 对于 B，=sin2x，周期为 ，且在上单调递减的奇函 数，故不符合题意； 对于 C，=cos2x，函数为偶函数，故不符合题意； 对于 D，=sin2x，周期为 ，且在上单调递增的奇函 数，故符合题意， 故选 D 点评：本 题考查三角函数的性质，考查三角函数的化简，周期运用三角函数的性质是关键 7 （ 5 分）把函数的

7、图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所 有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到图象的解析式为（） Ay=5sinx B CD 考点 ： 函 数 y=Asin （ x+ ）的图象变换；由y=Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式 专题 ： 三 角函数的图像与性质 分析：第一次变换可得得到函数 y=5sin2 （ x+）=的图象，再经 过第二次变换可得的图象，从而得出结论 解答：解：把函数 的图象向左平移个单位，得到函数y=5sin2 （ x+）=的图象， 再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到图象的 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文

8、档 ! 值得收藏！ - 解析式为， 故选 B 点评：本 题主要考查函数y=Asin （ x+?）的图象变换规律，属于中档题 8 （ 5 分） （2013?日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax 的部分图象，其中 a0 且 a 1，则下列所给图象中可能正确的是（） A B C D 考点 ： 指 数函数的图像与性质；正弦函数的图象 专题 ： 压 轴题；数形结合 分析：本 题是选择题， 采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数和三角函数的图象的特 征进行判定 解答：解：正弦函数的周期公式 T=， y=sinax 的最小正周期T=； 对于 A：T2 ，故 a1，因为 y=ax的图

9、象是增函数，故错； 对于 B：T2 ，故 a1，而函数y=ax是减函数，故错； 对于 C：T=2 ，故 a=1， y=ax=1，故错； 对于 D：T2 ，故 a1， y=ax是减函数，故对； 故选 D 点评：本 题主要考查了指数函数的图象，以及对三角函数的图象，属于基础题 9 （5 分）已知，则的最大值为（） A B 2CD 考点 ： 平 面向量数量积的运算 专题 ： 平 面向量及应用 分析：由 题意可知四边形ABCD 为圆内接四边形， 由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定 理求的 AC 的长即可 解答：解 ：由题意可知：ABBC，CDAD ， 故四边形ABCD 为圆内接四边形， 且圆的直径为

10、AC，由勾股定理可得AC=， 因为 BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径， 故的最大值为： 故选 C -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本 题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题 10 （5 分）如图，正五边形ABCDE 的边长为2，甲同学在 ABC 中用余弦定理解得 ，乙同学在RtACH 中解得，据此可得cos72 的值所在 区间为（） A（0.1，0.2）B （0.2，0.3）C（0.3， 0.4）D（0.4，0.5） 考点 ： 解 三角形；余弦函数的定义域和值域 专题 ： 综 合题；压轴题 分析：根 据题意，建立方程，

11、再构造函数利用零点存在定理，确定零点所在区间 解答：解：根据题意可得 构造函数1 ， x 所在区间为（0.3，0.4） 即 cos72 的值所在区间为（0.3，0.4） 故选 C 点评：本 题考查解三角形，考查函数思想，考查函数零点的判断，属于中档题 二、填空题：本大题有7 小题，每小题5 分，共 35 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11 （5 分）已知数列an 为等差数列，若a3+a4+a5=9，则 S7=21 考点 ： 等 差数列的性质；等差数列的前n 项和 专题 ： 计 算题；等差数列与等比数列 分析：由 数列 an 为等差数列，且 a3+a4+a5=9，能够得到a4=3，再由等差数

12、列的通项公式和 前 n 项和公式能够求出S7 解答：解 ：数列 an为等差数列，且 a3+a4+a5=9， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - a4=3， S7= （a1+a7）=7a4=21 故答案为： 21 点评：本 题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用， 是基础题 解题时要认真审题， 仔细解答 12 （5 分） （2013?泰安二模） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是a，b，c， 若 sinB=2sinC ， ，则 A= 考点 ： 余 弦定理的应用 专题 ： 计 算题；解三角形 分析：由正弦定理知 sinB=，故由 sinB=2sin

13、C ，得到 b=2c，再由，得 到 a=，由此利用余弦定理能够求出cosA，进而能够求出A 解答：解 ：在 ABC 中，角 A， B，C 的对边分别是a，b，c， ， sinB=， sinB=2sinC ，即 b=2c， ， a 24c2=3c2， a= ， cosA=， A= 故答案为： 点评：本 题考查三角形中内角大小的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的 合理运用 13 （5 分）函数 f （ x） =cos 2x+sinxcosx （） 的取值范围是，1 考点 ： 复 合三角函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用 专题 ： 三 角函数的求值 分析：利用三角函数的恒等变换化简

14、函数 f（x）的解析式为sin（+2x） ，根据 x 的范围求 得函数 f（x）的值域 解答：解：函数 f（x）=cos2x+sinxcosx =?+sin2x -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - =cos2x+sin2x=sin （+2x） ，0 x， x， sin（+2x） 1 故函数 f（x）的值域为 ，1， 故答案为 ，1 点评：本 题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，求正弦函数的定义域和值域，属于中 档题 14 （5 分）偶函数f（ x）满足 f（x+2）=f（ x） ，且当 x 0，1时， f（x）=x+1，则关于 x 的方程上解的个数是3个 考点

15、： 根 的存在性及根的个数判断 专题 ： 计 算题；函数的性质及应用 分析：讨 论函数 y=f （x）奇偶性、周期性和x 0， 1时的表达式，可得函数y=f （x）在区 间 1，3上的图象，由此作出函数y=f（x）与 g（x）=在同一坐标系内区 间 0，3上的图象，结合函数零点存在性定理加以讨论，可得本题答案 解答：解 ：当 x 0，1时， f（ x）=x+1， 函数 y=f（x）在 0，1上的图象是以（0， 1）和（ 1，0） 为端点的线段 函数 y=f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称 当 x 1， 0时，函数图象是以（0， 1）和（ 1，0） 为端点的线段 又函数f（x）满足 f（x+2

16、）=f（x） ， 将函数图象在区间1，1上的图象向右平移2 个单位， 可得区间 1，3上的图象 因此，作出函数y=f（ x）与 g（x）=在区间 0，3上的图象如图所示 显然它们有一个公共点A（0，1） f（1）=0g（1）=，f（2）=1g（2）=， 两个图象在（1，2）上有一个公共点B 同理可得：两个图象在（2，3）上有一个公共点C 所以函数y=f （x）与 g（x）=在区间 0，3上的图象总共有3 个不同的交点 故答案为： 3 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本题给出有周期的偶函数 f（x） ，讨论方程在指定区间上零点的个 数，着重考查了函数的奇偶性

17、、周期性和函数零点存在性定理等知识，属于中档题 15 （5 分）已知数列 an的通项公式为，则数列中数值最大的项是第6 项 考点 ： 数 列的函数特性 专题 ： 等 差数列与等比数列 分析：先求出 的表达式，进而利用函数的单调性即可求出 解答： 解：=1， 可知：当n 5 时，； 当 n 6 时，1， 又 n 6 时，单调递减， 当 n=6 时，取得最大值 故最大项为第6 项 故答案为6 点评：熟 练掌握函数的单调性是解题的关键 16 （5 分）如图 ABC 中，AD=2DB ， 2AE=EC ， BE CD=P 若， 则 x+y= -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！

18、- 考点 ： 向 量的线性运算性质及几何意义 专题 ： 计 算题 分析：由梅涅劳斯定理， 知：=1， 由ABC 中，AD=2DB ， 2AE=EC ，BE CD=P， 知， 所以=， 再由， 能求出结果 解答：解 ：如图，由梅涅劳斯定理，知： =1， ABC 中， AD=2DB ，2AE=EC ，BECD=P， ， ， = = = =， ， x+y= 故答案为： -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本 题考查向量的线性运算和几何意义，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注 意梅涅劳斯定理的合理运用 17 （5 分）将方程x+tanx=0 的正根从小到大地依次排

19、列为a1，a2， ，an， ，给出以下不 等式： ； 2an+1an+2+an； 2an+1 an+2+an；其中，正确的判断是 （请写出正确的序号） 考点 ： 命 题的真假判断与应用 专题 ： 数 形结合；函数的性质及应用 分析：在 同一坐标系中分别画出直线y1= x 及正切曲线 y2=tanx 的图象， 借助图象分析方程 x+tanx=0 的正根的分布情况及变化规律，进而可得答案 解答：解 ：分别作直线y1= x 及正切曲线 y2=tanx 的图象如图所示： 则两者的交点即为x+tanx=0 的根 则在正切函数的每一个周期内， y1与 y2都有一个交点， 由图可得两个交点横坐标之间的差大于

20、正切函数的半个周期， 但不超过正切函数的一个周期 an+1an ，故 对 错 从原点向右距离越来越大 an+2an+1an+1an，即： 2an+1 an+2+an； 故 对 错 故答案为： 点评：本 题以命题的真假判断为载体考查了正切函数的图象和性质，方程根与函数零点的关 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 系，画出两个函数的图象，借助图象直观分析是解答的关键 三、解答题：本大题有5 小题，共65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （12 分）已知数列 an的通项公式为an=2n1，数列 bn的前 n 项和为 Tn，且满足 Tn=1 bn （1）

21、求 bn的通项公式； （2）在 an中是否存在使得 是bn中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要 求写出所有的项） ；若不存在，请说明理由 考点 ： 数 列的应用 专题 ： 综 合题；等差数列与等比数列 分析：（ 1）由题意可知 b1= ，bn=bn1bn，故 bn为首项和公比均为的等比数列，由此 能够求出 bn的通项公式； （ 2）设an中第 m 项 am满足题意，即，从而可得m=2 n112，由 此可得结论 解答：解： （1）当 n=1 时， b 1=T1=1b1， b1= （2 分） 当 n 2 时， Tn=1bn， Tn1=1bn1， 两式相减得：bn=bn1bn，即： bn= b

22、n1 （6 分） 故 bn为首项和公比均为 的等比数列， bn= （8 分） （ 2）设 an 中第 m 项 am满足题意，即，即 2m1+25=2 n 所以 m=2 n112 （ m N* ， n N *） ， 取 n=5， 则 m=4， a 4=7 （其它形如m=2 n112 （m N*， n N *）的数均可） （12 分） 点评：本 题考查数列的递推式的应用，考查等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 19 （12 分） （2007?山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按 固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105 的方向

23、B1处， 此时两船相距20 海里当甲船航行20 分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方 向的 B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 考点 ： 解 三角形的实际应用 专题 ： 计 算题；应用题 分析：连 接 A1B2，依题意可知A2B2，求得 A1A2的值，推断出 A1A2B2 是等边三角形，进 而求得 B1A1B2，在A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值， 进而求得乙船的速 度 解答：解：如图，连接 A1B2， A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=105 60 =45 ， 在 A1B2B1中

24、，由余弦定理得 B1B2 2=A 1B1 2+A 1B2 2 2A 1B1?A1B2cos45 = ， 因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里 点评：本 题主要考查了解三角形的实际应用要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识， 考查了综合分析问题和解决实际问题的能力 20 （13 分）如图， 9 个正数排列成3 行 3 列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成 等比数列，且所有的公比都是q，已知 a12=1， ，又设第一行数列的公差为 d1 （）求出a11，d1及 q； （） 若保持这 9 个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n 行 n 列的数表如下，试写出 数表第 n 行第 n

25、列 ann的表达式，并求Sn=a11+a22+a33+ +ann的值 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 考 点 ： 数列与函数的综合 专 题 ： 综合题；等差数列与等比数列 分 析 ： （）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求 出 a11，d1及 q （）由图表中的规律，知=， 由此利用错位相减法能求出Sn=a11+a22+a33+ +ann的值 解 答 ： （本题满分13 分） 解： （） 9 个正数排列成3 行 3 列，其中每一行的数成等差数列， 每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q， a12=1，设第一行数列的公差为d1 ， 解得 （）因为=， 由

26、，得， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点 评 ： 本题考查数列与函数的综合应用，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查计算能 力，考查等差数列和等比数列的性质，解题时要注意错位相减法的合理运用 21 （13 分） （2012?厦门模拟） 已知函数f （ x）=Asin（2x+ ） ，其中 A 0， 试分别解答下列两小题 （I）若函数f（x）的图象过点E，求函数y=f（x）的解 析式； （）如图，点M，N 分别是函数y=f（ x）的图象在y 轴两侧与x 轴的两个相邻交点，函 数图象上的一点P（t，）满足，求函数f（ x）的最大值 考点 ： 三 角函数中的恒等变

27、换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角；由 y=Asin （ x+ ） 的部分图象确定其解析式；三角函数的最值 专题 ： 综 合题 分析：（ I）根据函数 f（x）的图象过点E，建立方程，可 求 的值，利用，可求 A 的值，从而可得函数解析式； （）利用，可求 |NC|=，从而 |MC|=|MN| |NC|=，由此可得 +2t=，利用 P（t，）在图象上，即可求得函数f（x）的最大值 解答：解： （I）函数 f（x）的图象过点E， Asin（+ ）=1，Asin （+ ） =， sin（+ ）=sin（+ ） ， 展开化简可得 =sin tan = ， -精品文档 ! 值得拥有！ - -

28、珍贵文档 ! 值得收藏！ - 函数 f（x）=Asin （2x+） ， ， A=2 f（x）=2sin（ 2x+） ； （）设P 在 x 轴上的射影为C，=|NC|= |NC|= |MC|=|MN| |NC|= t（）（+t）= +2t= P（t，）在图象上 Asin（ +2t）= A= 函数 f（x）的最大值为 点评：本 题考查三角函数的解析式，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 22 （15 分） （2012?厦门模拟）已知函数f（x）=21nx+ax 21 （a R） （I）求函数f（x）的单调区间； （）若a=l，试解答下列两小题 （i）若不等式f（1+x）+

29、f（1x） m 对任意的0x l 恒成立，求实数m 的取值范围； （ii ）若 x1，x2是两个不相等的正数，且以f（ x1）+f（x2）=0，求证： x1+x22 考点 ： 利 用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题 ： 综 合题 分析：（ I）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，求导函数，令f （x） 0，分类讨论可得函 数的单调区间； （）（ i）构造函数F（ x）=f（ 1+x）+f（ 1x）=2ln（1+x）+2ln（ 1x）+2x 2，求 导函数，确定F（x）在（ 0，1）上为减函数，从而可求实数m 的取值范围； （ ii）由 f（x1）+f（ x2）=0，可

30、得（ x1+x2）2=2x1x22lnx1x2+2 设 t=x1x2，则 t0，g （ t）=2t2lnt+2，求出 g（t）min，即可证得结论 解答：（ I）解：函数 f（ x）的定义域为（0，+） ，f （x）= 令 f （x） 0， x0， 2ax2+2 0 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当 a 0 时， f （x） 0 在（ 0，+）上恒成立，f（x）递增区间是（0，+） ； 当 a0 时，由 2ax 2+20 可得 x x0， f（x）递增区间是（0，） ，递减区间为； （）（ i）解：设F（x）=f（1+x）+f（1x）=2ln（1+x）+2ln

31、（1x）+2x 2，则 F （ x）= 0xl， F （x） 0在（ 0，1）上恒成立，F（x）在（ 0， 1）上为减函数 F（x） F（0）=0， m 0，实数m 的取值范围为0，+） ； （ ii）证明： f（ x1）+f（x2）=0， 21nx1+x12 1+21nx2+x221=0 2lnx1x2+（x1+x2） 22x 1x22=0 （ x1+x2） 2=2x 1x22lnx1x2+2 设 t=x1x2，则 t0，g（t）=2t 2lnt+2， g （t）= 令 g （t） 0，得 t1， g（t）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 g（t）min=g（ 1）=4，（ x1+x2） 24， x 1+x22 点评：本 题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是构造 函数，正确运用导数