石景山一模(数学理)解析版.pdf

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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 2012 年石景山区高三统一测试 数学（理科） 考生 须知 1.本试卷为闭卷考试，满分为150 分，考试时间为120 分钟 2.本试卷共6 页各题答案均答在答题卡上 题号一二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 第卷选择题 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 【2012 北京市石景山区一模理】1设集合032| 2 xxxM,0log| 2 1 xxN， 则NM等于（） A)1 ,1(B)3 , 1(C)1 ,0(D)0, 1( 【答案】 B

2、 【解析】31|032| 2 xxxxxM， 1|0log| 2 1 xxxxN， 所以 31xxNM ，答案选B. 【2012 北京市石景山区一模理】2在复平面内，复数 2 1 i i 对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【答案】 D 【解析】i i ii ii i i 2 3 2 1 2 31 )1(1 )1)(2( 1 2 ）（ ，所以对应点在第四象限，答案选D. 3【 2012 北京市石景山区一模理】圆 2cos , 2sin2 x y 的圆心坐标是（） A(0, 2)B(2,0)C(0,2)D( 2,0) -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收

3、藏！ - 【答案】 A 【解析】消去参数，得圆的方程为4)2( 22 yx，所以圆心坐标为)2, 0(，选 A. 4【2012 北京市石景山区一模理】设 nm, 是两条不同的直线，,是三个不同的平面，下 列命题正确的是（） A/,/,/nmnm则若B/,则若 Cnmnm/,/,/则若Dnmnm则若,/, 【答案】 D 【解析】 根据线面垂直的性质可知选项D 正确。 【2012 北京市石景山区一模理】5 执行右面的框图， 若输入的N是6， 则输出p的值是（） A120 B720 C 1440 D 5040 【答案】 B 【解析】 第一次循环：2, 1, 1kpk，第二次循环：3,2, 2kpk，

4、第三次循环： 4, 6, 3kpk， 第 四 次 循 环 ：5,24,4kpk， 第 五 次 循 环 ： 6,120, 5kpk，第六次循环：,720,6 pk此时条件不成立，输出720p， 选 B. 【2012 北京市石景山区一模理】6若 2 1 () n x x 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展 开式中的常数项为（） -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - A84B84 C36 D 36 【答案】 B 【 解 析 】 二 项 展 开 式 的 系 数 和 为5 1 22 n ， 所 以9n， 二 项 展 开 式 为 kkkkkkkkkk k xCxxCxxC

5、T)1() 1()()( 318 9 218 9 192 91 ， 令0318k， 得 6k，所以常数项为84)1( 66 97 CT,选 B。 【2012 北京市石景山区一模理】7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） 、 A 4 3 8 3 B 42 8 3 C 2 3 8 3 D 32 3 【答案】 A 【解析】 由三视图可知，该组合体下面是边长为2 的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2 的四棱锥。四棱锥的高为3，四棱锥的体积为 3 32 32 3 1 ，所以组合体的体积 为 3 32 8，答案选A. 【2012 北京市石景山区一模理】8如图，已知平面l，A、B是l上的两个 点，C

6、、D在平面内，且,DACB 4AD，6,8ABBC，在平面上有一个 动点P，使得APDBPC，则PABCD体积 的最大值是（） A24 3 B16C48D144 A C B D P -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【答案】 C 【解析】 因为APDBPC，所以在直角三角形PAD,PBC中，BPCAPDtantan, 即 PB BC PA AD , 即 2 1 BC AD PB PA , 设xPBxPA2,，过点 P做 AB的垂线，设高为h， 如图，在三角形中有 6)2( 2222 hxhx，整理得 222 412hxx，所以 16 16 256 16 14440

7、 24 2xx h，所以h的最大值为4，底面积为36 2 684）（ ， 此时体积最大为48436 3 1 选 C. 第卷非选择题 二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分 【2012 北京市石景山区一模理】9设向量)cos3 , 1(),1 ,(cosba，且ba/ ，则 2cos= 【答案】 3 1 【 解 析 】 因 为ba/ ， 所 以01cos3cos， 即1c os3 2 ， 3 1 cos 2 ， 所 以 3 1 1 3 2 1cos22cos 2 。 【2012 北京市石景山区一模理】10 等差数列 n a前 9 项的和等于前4 项的和若 4 0 k aa，

8、则 k =_ 【答案】10 【 解 析 】 法1 ： 有 题 意 知 49 SS,即0 98765 aaaaa， 所 以0 7 a， 又 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 74 20aaa k ，所以10,144kk。 法 2：利用方程组法求解。 【2012 北京市石景山区一模理】11. 如图，已知圆中两条弦 AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点 E，若2 2DFCF， :4: 2:1AFFB BE，则线段CE的长为 【答案】7 【解析】 设 AF=4k ，BF=2k，BE=k ，DF?FC=AF?BF，即kk 242222，所以 1, 1, 88

9、 22 kkkAF=4 ，BF=2 ，BE=1 ，AE=7 ，771 2 EABECE, 所以 7CE。 【2012 北京市石景山区一模理】 12设函数 2 1 , 2 ( ) 1 log, 2 xa x f x x x 的最小值为 1， 则实数a的取值范围是 【答案】 2 1 a 【解析】 因为当 2 1 x时，1log2x，所以要使函数的最小值1，则必须有当 2 1 x时， 1)(axxf， 又 函 数axxf)(单 调 递 减 ， 所 以axf 2 1 )(所 以 由 1 2 1 a得 2 1 a。 【2012 北京市石景山区一模理】13如图，圆 222 :O xy内的正弦曲线sinyx

10、 与x轴围成的区域记为M ( 图中阴影部分) ，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区 B A E D F C -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 域M内的概率是 【答案】 3 4 【解析】 阴影部分的面积为4)cos(2sin2 0 0 xxdx，圆的面积为 3 ，所以点A落在区 域M内的概率是 3 4 。 【2012 北京市石景山区一模理】14集合 ,|),(,|),(ayxyxMRyRxyxU,)(| ),(xfyyxP 现给出下列函数： x ay ， xy a log= ， sin()yxa ，cosyax， 若10a时，恒有,PMCP U 则所有满足条件的函

11、数)(xf的编号是 【答案】 【解析】由,PMCP U 可知 PM ,画出相应的图象可知， 满足条件。 三、解答题：本大题共6 个小题，共80 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【2012 北京市石景山区一模理】15 （本小题满分13 分） 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且CbBcacoscos)2( （）求角B的大小； （）若 2 cos,2 2 Aa，求ABC的面积 . 【答案】 解： （）因为CbBcacoscos)2(，由正弦定理，得 CBBCAcossincos)sinsin2( 2 分 ACBCBBCBAsin)sin(cossincossincossin

12、2 4 分 0A , 0sinA， 2 1 cosB又B0， 3 B 6 分 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - （）由正弦定理 B b A a sinsin ，得6b， 8 分 由 2 cos 2 A可得 4 A，由 3 B，可得 62 sin 4 C ， 11 分 116233 sin26 2242 sabC 13 分 16【2012 北京市石景山区一模理】（本小题满分13 分） 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为 3 1 ，乙每次投中的概率 为 2 1 ，每人分别进行三次投篮 （）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望E； （）求乙至多投

13、中2 次的概率； （）求乙恰好比甲多投进2 次的概率 【答案】 解： （）的可能取值为：0，1，2，3 1 分 ; 27 8 3 2 )0( 3 0 3 CP; 9 4 3 2 3 1 )1( 2 1 3 CP ; 9 2 3 2 3 1 )2( 2 2 3CP. 27 1 3 1 )3( 3 3 3CP 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 27 8 9 4 9 2 27 1 4 分 1 27 1 3 9 2 2 9 4 1 27 8 0E 5 分 （）乙至多投中2 次的概率为 8 7 2 1 1 3 3 3 C 8 分 （）设乙比甲多投中2 次为事件A，乙恰投中2 次且甲恰投中0 次为事件

14、B1， 乙恰投中3 次且甲恰投中1 次为事件B2， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 则 2121 ,BBBBA为互斥事件 10 分 )()()( 21 BPBPAP 6 1 8 1 9 4 8 3 27 8 所以乙恰好比甲多投中2 次的概率为 6 1 13 分 【2012 北京市石景山区一模理】17 （本小题满分14 分） 如图，三棱柱 111 CBAABC中， 1 AA面ABC，2,ACBCACBC， 1 3AA，D为AC的中点 . （）求证： 11/ BDCAB面； （）求二面角CBDC1的余弦值； （）在侧棱 1 AA上是否存在点P，使得 1 BDCCP面

15、？请证明你的结论. 【答案】（I ）证明：连接B1C，与 BC1相交于 O，连接 OD1 分 BCC1B1是矩形， O 是 B1C 的中点 又 D 是 AC的中点， OD/AB1 AB1 面 BDC1，OD 面 BDC 1， AB1/ 面 BDC1 4 分 （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则 C1（0， 0，0） ，B（0，3，2） ， C（0，3， 0） ，A（2，3，0） ， D（1，3， 0） ， 1 (0,3,2)C B， 1 (1,3,0)C D， 5 分 设 111 (,)nx y z是面 BDC1的一个法向量，则 1 1 0, 0 n C B n C D 即 11 11

16、320, 30 yz xy ，取 1 1 (1,) 3 2 n . 7 分 易知 1 (0,3,0)CC是面 ABC的一个法向量 . 8 分 C1 A1 C B1 A B D A1A C1 z x y C B1 B D -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 1 1 1 2 cos, 7 n C C n C C nC C . 二面角C1BDC的余弦值为 2 7 . 9 分 （ III）假设侧棱AA1上存在一点 P使得 CP 面 BDC1. 设 P（2，y，0） （0 y3） ，则 (2,3,0)CPy ， 10 分 则 1 1 0, 0 CP C B CP C D ，即

17、 3(3)0, 23(3)0 y y . 12 分 解之 3, 7 3 y y 方程组无解 . 13 分 侧棱 AA1上不存在点 P，使 CP 面 BDC 1. 14 分 【2012 北京市石景山区一模理】18 （本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )2 lnf xxax. （）若函数( )f x的图象在(2,(2)f处的切线斜率为 1，求实数a的值； （）求函数( )f x的单调区间； （）若函数 2 ( )( )g xf x x 在1,2上是减函数，求实数a的取值范围 . 【答案】 解：（） 2 222 ( )2 axa fxx xx 1 分 由已知(2)1f，解得3a. 3 分 （I

18、I ）函数( )f x的定义域为(0,). （1）当0a时, ( )0fx，( )f x的单调递增区间为(0,)； 5 分 （2）当0a时 2()() ( ) xaxa fx x . 当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下： x (0,)a a (,)a -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - ( )fx- 0+ ( )f x极小值 由上表可知，函数( )f x的单调递减区间是(0,)a； 单调递增区间是(,)a. 8 分 （ II ）由 2 2 ( )2 lng xxax x 得 2 22 ( )2 a gxx xx ， 9 分 由已知函数( )g x为1

19、,2上的单调减函数， 则( )0gx在1,2上恒成立， 即 2 22 20 a x xx 在1,2上恒成立 . 即 2 1 ax x 在1,2上恒成立 . 11 分 令 2 1 ( )h xx x ，在1,2上 22 11 ( )2(2 )0h xxx xx ， 所以( )h x在1,2为减函数 . min 7 ( )(2) 2 h xh, 所以 7 2 a. 14 分 【2012 北京市石景山区一模理】19 （本小题满分13 分） 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba）右顶点与右焦点的距离为31， 短轴长为2 2. （）求椭圆的方程； （）过左焦点F的直线与椭圆分别交于 A、

20、B两点，若三角形OAB的 面积为 3 2 4 ，求直线AB的方程 【答案】 解： （）由题意， 222 31 2 ac b abc -1 分 解得 3,1ac . -2 分 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 即：椭圆方程为.1 23 22 yx -3 分 （）当直线 AB 与x轴垂直时， 4 3 AB ， 此时3 AOB S不符合题意故舍掉；-4 分 当直线 AB 与x轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(xky， 代入消去y得： 2222 (23)6(36)0kxk xk. -6 分 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 2 122 2 122

21、 6 23 36 23 k xx k k xx k ，-7 分 所以 2 2 4 3(1) 23 k AB k . -9 分 原点到直线的 AB 距离 2 1 k d k ， 所以三角形的面积 2 2 2 114 3(1) 2223 1 k k SAB d k k . 由 2 3 2 22 4 Skk，-12 分 所以直线:220 ABlxy 或:220 ABlxy . -13 分 【2012 北京市石景山区一模理】20 （本小题满分13 分） 若数列n A 满足 2 1nnAA ， 则称数列 n A 为“平方递推数列”已知数列 n a 中， 2 1 a，点 ( 1 , nn aa)在函数xx

22、xf22)( 2 的图像上，其中n 为正整数 （）证明数列 12 n a是“平方递推数列” ，且数列)1lg(2 n a为等比数列； （）设（）中“平方递推数列”的前n 项之积为 n T ，即 ) 12) 12)(12( 21nn aaaT（，求数列 n a的通项及 n T关于n的表达式； （）记 21 log n nan bT，求数列 n b的前n项和 n S ，并求使 2012 n S 的n的最小值 【答案】 解： （ I ）因为 222 11 22,212(22)1(21) nnnnnnn aaaaaaa -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 所以数列 12 n

23、 a是“平方递推数列”. -2 分 由以上结论 2 1 lg(21)lg(21)2lg(21) nnn aaa ， 所以数列)1lg(2 n a为首项是 lg5 公比为 2 的等比数列 . -3 分 （II） 1 112 1 lg(21)lg(21)22lg5lg5 n nn n aa ， 11 22 1 215,(51) 2 nn nn aa . -5 分 1 l gl g ( 21 )l g ( 21 )( 21 ) l g 5 n nn Taa ， 21 5 n n T. -7 分 （III） 11 lg(21)lg51 2 lg(21)2lg52 n n n nn n T b a 1

24、1 22 2 nn Sn . -10 分 1 1 222 0 1 2 2 n n 1 1007 2 n n m i n 1007n . -13 分 2012 年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BDADBBA C 二、填空题：本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分 三、解答题：本大题共6 个小题，共80 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 题号91011121314 答案 3 1 10 7 2 1 a 3 4 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！

25、- 15 （本小题满分13 分） 解： （）因为CbBcacoscos)2(，由正弦定理，得 CBBCAcossincos)sinsin2( 2 分 ACBCBBCBAsin)sin(cossincossincossin2 4 分 0A , 0sinA， 2 1 cosB又B0， 3 B 6 分 （）由正弦定理 B b A a sinsin ，得6b， 8 分 由 2 cos 2 A可得 4 A，由 3 B，可得 62 sin 4 C ， 11 分 116233 sin26 2242 sabC 13 分 16 （本小题满分13 分） 解： （）的可能取值为：0，1， 2，3 1 分 ; 27

26、8 3 2 )0( 3 0 3 CP; 9 4 3 2 3 1 ) 1( 2 1 3 CP ; 9 2 3 2 3 1 )2( 2 2 3 CP. 27 1 3 1 )3( 3 3 3 CP 的分布列如下表： 0 1 2 3 P 27 8 9 4 9 2 27 1 4 分 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 1 27 1 3 9 2 2 9 4 1 27 8 0E 5 分 （）乙至多投中2 次的概率为 8 7 2 1 1 3 3 3 C 8 分 （）设乙比甲多投中2 次为事件A，乙恰投中2 次且甲恰投中0 次为事件B1， 乙恰投中3 次且甲恰投中1 次为事件B2，

27、则 2121 ,BBBBA为互斥事件 10 分 )()()( 21 BPBPAP 6 1 8 1 9 4 8 3 27 8 所以乙恰好比甲多投中2 次的概率为 6 1 13 分 17 （本小题满分14 分） （I ）证明：连接B1C，与 BC1相交于 O，连接 OD1 分 BCC1B1是矩形， O 是 B1C的中点 又 D 是 AC的中点， OD/AB1 AB1 面 BDC1，OD 面 BDC1， AB1/ 面 BDC1 4 分 （II）解：如图，建立空间直角坐标系， 则 C1（0， 0，0） ，B（0，3，2） ， C（0，3， 0） ，A（2，3，0） ， D（1，3， 0） ， 1 (0

28、,3,2)C B， 1 (1,3,0)C D， 5 分 设 111 (,)nx y z是面 BDC1的一个法向量，则 1 1 0, 0 n C B n C D 即 11 11 320, 30 yz xy ，取 1 1 (1, ) 3 2 n . 7 分 易知 1(0,3,0)CC 是面 ABC的一个法向量 . 8 分 A1A C1 z x y C B1 B D -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 1 1 1 2 cos, 7 n C C n C C nC C . 二面角C1BDC的余弦值为 2 7 . 9 分 （ III）假设侧棱AA1上存在一点 P使得 CP 面

29、BDC1. 设 P（2，y，0） （0 y3） ，则(2,3,0)CPy， 10 分 则 1 1 0, 0 CP C B CP C D ，即 3(3)0, 23(3)0 y y . 12 分 解之 3, 7 3 y y 方程组无解 . 13 分 侧棱 AA1上不存在点 P，使 CP 面 BDC 1. 14 分 18 （本小题满分14 分） 解：（） 2 222 ( )2 axa fxx xx 1 分 由已知(2)1f，解得3a. 3 分 （II ）函数( )f x的定义域为(0,). （1）当0a时, ( )0fx，( )f x的单调递增区间为(0,)； 5 分 （2）当0a时 2()() (

30、 ) xaxa fx x . 当x变化时，( ),( )fxf x的变化情况如下： x (0,)a a (,)a ( )fx - 0+ ( )f x极小值 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 由上表可知，函数( )f x的单调递减区间是(0,)a； 单调递增区间是(,)a. 8 分 （ II ）由 22 ( )2 lng xxax x 得 2 22 ( )2 a g xx xx ， 9 分 由已知函数( )g x为1,2上的单调减函数， 则( )0g x在1,2上恒成立， 即 2 22 20 a x xx 在1,2上恒成立 . 即 21 ax x 在1,2上恒成立

31、. 11 分 令 2 1 ( )h xx x ，在1,2上 22 11 ( )2(2 )0h xxx xx ， 所以( )h x在1,2为减函数 . min 7 ( )(2) 2 h xh, 所以 7 2 a. 14 分 19 （本小题满分13 分） 解： （）由题意， 222 31 2 ac b abc -1 分 解得3,1ac. -2 分 即：椭圆方程为.1 23 22 yx -3 分 （）当直线AB与x轴垂直时， 4 3 AB， 此时3 AOB S不符合题意故舍掉；-4 分 当直线 AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：) 1(xky ， 代入消去y得： 2222 (23)6(36)0

32、kxk xk. -6 分 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 2 12 2 2 12 2 6 23 36 23 k xx k k x x k ，-7 分 所以 2 2 4 3(1) 23 k AB k . -9 分 原点到直线的 AB距离 2 1 k d k ， 所以三角形的面积 2 2 2 114 3(1) 2223 1 k k SAB d k k . 由 2 3 2 22 4 Skk，-12 分 所以直线:220 AB lxy或:220 AB lxy. -13 分 20 （本小题满分13 分） 解： （I ）因

33、为 222 11 22,212(22)1(21) nnnnnnn aaaaaaa 所以数列 12 n a是“平方递推数列”. -2 分 由以上结论 2 1 lg(21)lg(21)2lg(21) nnn aaa ， 所以数列)1lg(2 n a为首项是lg5公比为 2 的等比数列 . -3 分 （II） 1 112 1 lg(21)lg(21)22lg5lg5 n nn n aa ， 11 22 1 215,(51) 2 nn nn aa. -5 分 1 l gl g ( 21 )l g ( 21 )( 21 ) l g 5 n nn Taa ， 21 5 n n T. -7 分 （III） 11 lg(21)lg51 2 lg(21)2lg52 n n nnn n T b a 1 1 22 2 nn Sn. -10 分 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 1 1 222 0 1 2 2 n n 1 1007 2 n n m i n 1007n. -13 分 注：若有其它解法，请酌情给分