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1、2019-2020 年高三数学第一轮复习教案人教版(I) 【教学目标】1让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的 值域 【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用 【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及 注意点 【教学过程】 第一课时 例 1已知函数 3 ( )2logf xx（19x） ，求函数 22 ( )( )()g xf xf x的最值 错解：令 3 log0,2tx，则 222222 33 ( )( )()(2log)(2lo
2、g)(2)22(3)3g xf xf xxxttt 当0t时， min ( )6g x；当2t时， max2 ( )( )|22 t g xg x 错因分析：当2t时，9x， 2 (9)(9)(81)gff无意义产生错误的原因主要是 忽略了定义域这个前提条件 正解：由 2 19 19 x x ，得( )g x的定义域为1,3， 3 log0,1tx ，则 222222 33 ( )( )()(2log)(2log)(2)22(3)3g xf xf xxxttt 当0t时， min ( )6g x；当1t时， max2 ( )( )|13 t g xg x 点评： 1求函数的值域( 最值 ) 同
3、样得在定义域上进行； 2运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 2 ( )( )( )F xafxbf xc的函数 的值域问题，均可用此法解决该法常与换元法结合使用 例 2 求下列函数的值域： 1 21 21 x x y ； 法一：（直接法） 1 212(21)11 2 212121 xx xxx y 由20 x ，211 x ， 1 01 21 x ，故12y，即原函数的值域为(1,2) 法二： （逆求法） 由 1 21 21 x x y 得 1 20 2 x y y ， 故12y， 即原函数的值域为(1,2) 点评： 1
4、对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可； 2若原函数中有某一元素的范围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用y来表示 该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域 24 1yxx； 法一：（换元法）令10tx，则 2 1xt，故 222 2(1)42422(1)4yttttt 当0t时， max 2y；当t时，y，无最小值 原函数的值域为(,2 法二：由10x得原函数的定义域为(,1，易知函数 1 2yx和 2 4 1yx在 (,1都为增函数，故原函数在(,1也为增函数，故 1 |2 x yy 原函数的值域为(,2 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性 2 1yxx； 解：由
5、 2 10x得原函数的定义域为 1,1，设cos,0,x，则 cos|sin|cossin2sin() 4 y 0， 3 444 ， 2 1sin() 42 21y，即原函数的值域为2,1 点评：用三角换元时，在不改变x的范围的前提下，应尽可能缩小的范围，这 样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的|sin|去绝对值 2 2 1 x y xx 解：由 2 2 1 x y xx 得 2 (2)0yxyxy，则该方程有解 当0y时，方程可化为20x，方程有解，符合题意 当0y时，要使方程有解，当且仅当 22 (2)40yy，解得 2 2 3 y， 且0y 综上所述， 2 2 3 y，即原函数的值域为
6、 2 2, 3 这里可能只有极少 学生会考虑到限制 的范围，可结合 后面去绝对值，强 调限制的范围的 必要性 2 21 (1) 1 xx yx x 解：令10tx，则1xt，故 22 2(1)(1)12321 2()32237 tttt yt ttt 当且仅当 1 t t 且0t，即1t时取等号 另一方面，当t时，y，故原函数无最大值 原函数的值域为7,) 点评：当函数的定义域为R时才比较适用判别法 【课堂小结】 1求函数的值域( 最值 ) 同样得在定义域上进行； 2本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法 直接法：一些简单的函数可利用该法求解； 配方法：求“二次函数类”值域的基本
7、方法，该法常与换元法结合使用； 换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值范 围换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2； 逆求法：若原函数中有某一元素的范围易确定，用y来表示该元素，通过该元素 的范围来确定原函数的值域； 不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一 不可； 判别式法：该法只有当定义域为R时才比较适用； 利用函数的单调性（注意导数的应用）； 具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性 【教后反思】 1思考： 该题为什么不采 用判别式法？ 若用判别式法，则所方程 2 2(1)10xyxy 应是在 (1,)上有解，情
8、况较为复杂 2该法采用了换元法，这 要比拼凑法和待定系数法 更容易让学生接受 第二课时 例 3求下列函数的值域 2 |1|(2)yxx 解：|1|2|yxx表示数轴上点x到 1与 2 的距离之和，故 3y，即原函数的 值域为3,) |3|1|yxx 解：|3 |1|yxx表示数轴上点x到 3 的距离与点x到 1的距离的差，故 44y，即原函数的值域为 4,4 22 4(1)9yxx 解 ： 2222 (0 )( 02 )(1 )( 03 )yxx表 示 动 点(, 0 )x到 两 定 点 ( 0 , 2 )(1AB、的距离之和，由图象分析知： min |26yAB，当x时， y，故原函数的值域
9、为26,) 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法 例 4实数,x y满足 22 (2)3xy ，求以下各式的最值： y x ；xy； 1 y x 解：因实数 ,x y满足 22 (2)3xy，故圆 22 (2)3xy可看作点( , )x y的可行域 令 y k x ，即ykx，k表示目标函数中的斜率，由图可知33k，即 ma x ()3 y x ， min ()3 y x 令mxy，即yxm，m表示目标函数中的纵截距 由 |2| 3 2 m d，解得26m，故 minmax ()26 , ()26xyxy 令 1 y k x ，即(1 )yk x，目标函数过定点( 1,
10、0)，k表示目标函数中的斜率， 由 2 |3 | 3 1 t d t 得 2 2 k，故 maxmin 22 (),() 1212 yy xx 点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西 在目标函数中表示什么 变式：求函数 1sin 2cos x y x 的值域 解： sin( 1) cos( 2) x y x ，表示动点(cos ,sin)Pxx与定点( 2, 1)A连线的斜率， 而动点 P 的轨迹为单位圆，由图象分析知： 4 0 3 y，即原函数的值域为 4 0, 3 【课堂小结】 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察题型特征，然后再选择恰当 的方法，一般优先考虑直接法、函数单调法和均值不等式，然后才考虑用其它各种特 殊方法 【教后反思】