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1、数列 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实 际问题 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际 问题 数列基础知识 定义 项，通项 数列表示法 数列分类 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 特殊数列 其他特殊数列求和 数列 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的 比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内
2、 容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点 从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程( 组) ，例如等 差、等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问 题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用 1数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整 数 N * 或其子集 1 ，2，3， n的函数f(n) 数列的一般形式为a1，a2， an，简记为 an，其中 an是数列 an 的第项 2数列的通项公式 一个数列 an的与之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n) 来表 示，我们就把这个公式叫
3、做这个数列的通项公式 3在数列 an中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为： 基础过关 知识网络 考纲导读 2019-2020 n a 2 1 n n an 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差( 公比 ) 确定的方法 观察归纳法： 先观察哪些因素随项数n 的变化而变化， 哪些因素不变； 初步归纳出公式， 再取 n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推 关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例 1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式
4、31 2 ， 53 4 ， 75 8 ， 97 16 ； 1 ， 2，6，13， 23，36，； 1 ， 1，2，2，3，3， 解： an( 1) n ) 12)(12( 12 nn n an) 673( 2 1 2 nn （提示： a2a11，a3a24，a4a37，a5a410，anan113(n 2)=3n 5各 式相加得 ) 673( 2 1 )43)(1( 2 1 1 )53(107411 2 nn nn nan 将 1，1，2， 2，3，3，变形为, 2 13 , 2 02 , 2 11 , 2 06 , 2 15 , 2 04 4 )1(12 2 2 )1(1 1 1 n n n
5、 n n a 变式训练1. 某数列 an 的前四项为0，2，0，2，则以下各式： an 2 2 1 ( 1) n a n n )( 11 an )(0 )(2 为奇数 为偶数 n n 其中可作为 an 的通项公式的是（） AB CD 解： D 典型例题 例 2.已知数列 an的前 n 项和 Sn，求通项 Sn3 n2 Snn 23n1 解 anSnSn1(n2) a 1S1 解得： an )1(1 )2(32 1 n n n an )2(22 )1(5 nn n 变式训练2：已知数列 an的前 n 项的和 Sn满足关系式lg(Sn1) n，(n N * ) ，则数列 an 的通项公式为 解：,
6、 110101) 1lg( n n n nnSSnS当 n1 时， a1S111；当 n2 时， anSnSn1 10 n10n1910 n 1故 a n )2(109 ) 1(11 1 n n n 例 3. 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an 11 (n2) a11，an 1 1 3 n n a(n 2) a11，an 1 1 na n n (n2) 解： an2an11(an1) 2(an11)(n 2)， a11 2故：a112 n，a n2 n1 an（ an an1）（ an1an2）（ a3a2）（ a2a1） a13 n13n2 33 31) 1
7、3( 2 1 n (3) n n a a n n1 1 an 1 21 1 1 2 3 2 2 1 1n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n1 1 2 1 2 3 变式训练3. 已知数列 an中， a11，an1 2 2 n n a a (n N * )，求该数列的通项公式 解：方法一 ：由 an1 2 2 n n a a 得 2 111 1nn aa ， n a 1 是以1 1 1 a 为首项， 2 1 为公差的等差数列 na 1 1(n1) 2 1 ,即 an 1 2 n 方法二： 求出前 5 项，归纳猜想出an 1 2 n ，然后用数学归纳证
8、明 例 4. 已知函数)(xf2 x 2x，数列 a n满足)(log 2n af 2n，求数列 an通项公式 解：naf n a n a n222)(log 2 log 2 log 2 n a a n n 2 1 得nnan1 2 变式训练4. 知数列 an 的首项 a1 5前 n 项和为 Sn且 Sn12Snn5（nN *） (1) 证明数列 an1 是等比数列； (2) 令 f (x)a1xa2x 2 a nx n，求函数 f (x) 在点 x1 处导数 f 1 (1) 解： (1) 由已知 Sn1 2Snn5， n 2 时， Sn2Sn1n4，两式相减，得： Sn1Sn2(SnSn1)
9、 1，即 an 12an 1 从而 an11 2(an1) 当 n1 时， S2 2S115， a1a22a16, 又 a15， a211 1 1 1 n n a a 2，即 an1 是以 a116 为首项， 2 为公比的等比数列. (2) 由(1) 知 an32 n1 )(xfa1xa2x 2 a nx n )( xfa12a2x nanx n1 从而) 1 ( fa12a2 nan (32 1) 2(32 2 1) n(32n1) 3(2 22 2 n2n) (1 2 n) 3n 2 n1(2 2n) 2 )1(nn 3(n 1)2 n 1 2 ) 1(nn 6 1根据数列的前几项，写出它
10、的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系， 常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等. 2由 Sn求 an时，用公式anSnSn1要注意 n2这个条件， a1应由 a1 S1来确定，最后看 二者能否统一 3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)， n n a a 1 f(n)，an1panq，分 别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法） 第 2 课时等差数列 1等差数列的定义：d（d 为常数） 2等差数列的通项公式： ana1d anamd 3等差数列的前n 项和公式： Sn 4等差中项：如果a、b、c 成等差数列，则b 叫做 a 与 c 的等差中项，即b 5数列
11、an是等差数列的两个充要条件是： 数列 an的通项公式可写成anpnq(p, q R) 数列 an的前 n 项和公式可写成Snan 2bn 基础过关 归纳小结 (a, b R) 6等差数列 an 的两个重要性质： m, n, p, qN *，若 m np q，则 数列 an的前 n 项和为 Sn， S2nSn，S3nS2n成数列 例 1.在等差数列 an中， (1) 已知 a1510，a45 90，求 a60； (2) 已知 S1284，S20 460，求 S28； (3) 已知 a610，S55，求 a8和 S8 解： (1) 方法一： 3 8 3 82 9044 1014 1 145 11
12、5 d a daa daa a60a159d130 方法二： 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn ，由 anam(n m)da60a45 (60 45)d 9015 3 8 130 (2) 不妨设 SnAn 2Bn， 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn2n 217n S28228 21728 1092 (3) S6S5a651015， 又 S6 2 )10(6 2 )(6 161 aaa 15 2 )10(6 1a 即 a1 5 而 d3 16 16 aa a8a62 d 16 S844 2 )( 8 81 aa 变式训练1. 在等差数
13、列 an中， a53，a6 2，则 a4 a5 a10 解： d a6a5 5， a4a5 a10 49)2(7 2 )(7 5 104 da aa 例 2. 已知数列 an 满足 a1 2a， an2a 1 2 n a a （n2） 其中 a 是不为 0的常数，令 bn aan 1 求证：数列 bn 是等差数列 求数列 an的通项公式 解： an2a 1 2 n a a (n2) 典型例题 bn )( 11 1 1 1 2 aaa a a a a aa n n n n (n2) bnbn1 aaaaaa a nn n 11 )( 11 1 (n2) 数列 bn是公差为 a 1 的等差数列 b
14、1 aa1 1 a 1 故由得： bn a 1 (n 1) a 1 a n 即： aan 1 a n 得： ana(1 n 1 ) 变式训练2. 已知公比为3 的等比数列 n b与数列 n a满足 * ,3Nnb n a n ，且1 1 a， （1）判断 n a是何种数列，并给出证明； （2）若 1 1 nn n aa C，求数列 n C的前 n 项和 解： 1） 1 1 1 1 3 33,1 3 n nn n a aa n nn a n b aa b ，即 n a为等差数列。 （2） 11111 111111 ,1 1 nn nnnnnn n CS na aaaaaa 。 例 3. 已知 a
15、n为等差数列， Sn为数列 an 的前 n项和， 已知 S77，S1575，Tn为数列 n Sn 前 n 项和。求 Tn 解： 设an 首项为 a1公差为 d，由 75 2 1415 15 7 2 67 7 115 17 daS daS 1 2 1 d a Snnn 2 5 2 1 2 2 5 2 1 n n Sn 3 1 1 S Tnnn 4 11 4 1 2 变式训练3 两等差数列 an、 bn的前 n 项和的比 53 27 n n Sn Sn ， 则 5 5 a b 的值是（） A 28 17 B 48 25 C 53 27 D 23 15 解： B 解析： 19 559 559 19
16、9 () 248 2 9 252 () 2 aa aaS bbS bb 。 例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000 美元；二是每半年结束 时加 300 美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10 年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300 美元改为每半年加a 美元 问 a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 解： 设工作年数为n（nN * ） ，第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资 为 S2则： S11000110002100031000n 500(n
17、 1)n S2300130023003 3002n 300(2n 1)n 由 S2S1，即： 300(2n 1)n500(n 1)n 解得： n2 从第 3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当 n10 时，由得：S15001011 55000 S23001021 63000 S2S18000 在该公司干10 年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000 美元 若第二种方案中的300 美元改成 a 美元 则 1 2 San(2n 1) nN * a 12 )1(500 n n 250 12 250 n 250 3 250 3 1000 变式训练 4. 假设某市2004 年新建住房4
18、00 万平方米 , 其中有 250 万平方米是中低价房. 预计 在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外 , 每年新建住房中, 中 低价房的面积均比上一年增加50 万平方米 . 那么 , 到哪一年底 , (1) 该市历年所建中低价房的累计面积( 以 2004 年为累计的第一年) 将首次不少于4750 万平 方米 ? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解： (1) 设中低价房面积形成数列an, 由题意可知 an是等差数列 , 其中 a1=250,d=50, 则 Sn=250n+50 2 )1(nn =25n 2+225n, 令 25
19、n 2+225n4750,即 n 2+9n- 1900, 而 n 是正整数 , n10. 到 2013 年底 , 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米 . (2) 设新建住房面积形成数列bn, 由题意可知 bn 是等比数列 , 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08) n-1 0.85. 由题意可知an0.85 bn, 有 250+(n- 1)50400(1.08) n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到 2009 年底 , 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 1欲证 an为等差数列，最常
20、见的做法是证明：an1 and(d 是一个与n 无关的常数 ) 2a1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算 较繁 3对等差数列 an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为 d 的等 差数列进行求和 4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题 第 3 课时等比数列 1等比数列的定义： )( )( q（q 为不等于零的常数） 2等比数列的通项公式： ana1q n1 anamq nm 3等比数列的前n 项和公式： S n )1( )1( q q 4等比中项： 如果 a，b，c 成等比数列， 那么 b 叫做 a 与
21、c 的等比中项， 即 b 2 （或 b） 5等比数列 an 的几个重要性质： m， n，p，qN *，若 m np q，则 Sn是等比数列 an 的前 n 项和且 Sn0，则 Sn，S2nSn， S3nS2n成数列 若等比数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn是等差数列，则an的公比 q 例 1.已知等比数列an中， a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n 和公比 q 的值 解： an 是等比数列， a1ana2an1， 128 66 1 1 n n aa aa ，解得 64 2 1 na a 或 2 64 1 na a 若 a12，an 64，则 2q n1 64 q n3
22、2q 由 Sn126 1 )321 (2 1 )1 ( 1 q q q qa n ， 解得 q 2，于是 n6 若 a164，an2，则 64q n12 q n q 32 1 由 Sn126 1 ) 32 1 1(64 1 )1 ( 1 q q q qa n 解得 q 2 1 ，n 6 变式训练1. 已知等比数列 an中， a1a9 64，a3a720，则 a11 典型例题 基础过关 归纳小结 解： 64 或 1 由 20 64 73 91 aa aa 20 64 73 73 aa aa 4 16 7 3 a a 或 16 4 7 3 a a q 2 2 1 或 q 22， a 11a7 q
23、2， a 1164 或 a111 例 2. 设等比数列 an的公比为q(q0) ，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项 中数值最大项为27，求数列的第2n 项 解：若 q1，则 na140，2na13280 矛盾， q 1 3280 1 )1 ( 40 1 )1 ( 2 1 1 q qa q qa n n 两式相除得： q n81，q12a 1 又q0， q1， a10 a n 是递增数列 an27a1q n1 1 1 21 81 a a 解得 a 11，q3，n 4 变式训练2. 已知等比数列 an前 n 项和 Sn2 n1，a n 2前 n 项和为 T n，求
24、 Tn的表达式 解： (1) a12a2 20，公比 q 2 1 1 2 a a 又S4 S2 8 1 ， 将 q 2 1 代入上式得a11， ana1q n1( 2 1 ) n1 (nN *) (2) a n 16 1 ( 2 1 ) n 1( 2 1 ) 4 n5 原不等式的解为n1 或 n3 或 n 5 例 3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个 数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数 解： 设这四个数为ad，a，ad， a da 2 )( 依题意有： 12 16 )( 2 daa a da da 解得： 4 4 d a 或 6 9
25、 d a 这四个数为0，4，8，16 或 15，9，3，1 变式训练3. 设 n S是等差数列 n a的前n项和， 66 36,324,144(6) nn SSSn，则n等于 （） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 答案： D。解析：由 6 324,144 nn SS得 12345 180 nnnnnn aaaaaa，再由 1 61 () 326,36,324,18 2 n nn n aa SaaSn。 例 4. 已知函数f(x)(x 1) 2，数列 a n 是公差为d 的等差数列， 数列 bn 是公比为q的等 比数列 (q 1)，若 a1f(d 1) ，a3f(d 1) ，b1
26、f(q 1) ，b3f(q 1)， (1) 求数列 an ，bn的通项公式； (2) 设数列 cn 对任意的自然数n 均有： 1 2 2 1 1 )1( n n n an b c b c b c ，求数列 cn前 n 项和 Sn 解： (1) a 1(d2) 2，a 3d 2 ，a3a12d 即 d 2(d 2)2 2d，解之得d2 a10，an2(n 1) 又 b1(q 2) 2 ，b3q 2，b 3b1q 2 即 q 2(q 2)2 q 2，解之得 q 3 b11，bn3 n1 (2) 1 1 34,4) 1( n nnn n n ncnnaan b C SnC1C2C3 Cn 4(132
27、3 1332 n3 n 1 ) 设 n S1 3 2 3 33 2 n3 n 1 3 n S13 1232333 n3 n 2 nS133 233 3 n1n3 n 2 ) 13( 1 n 3 n n 4 13 3 2 n n n n S Sn2n3 n3n1 变式训练4. 已知等差数列 an的首项 a11，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别 是 等比数列 bn的第二项，第三项，第四项 求数列 an与bn的通项公式； 设数列 cn对任意正整数n，均有 1 3 3 2 2 1 1 n n n a b c b c b c b c ，求 c1c2c3 c2007 的值 解： 由题意得（a1
28、d）(a113d)(a14d) 2(d0) 解得 d2， an2n1，bn3 n1 当 n1 时， c13 当 n2时， , 1nn n n aa b c )2(32 ) 1(3 1 n n c n n 故 1 32 n n c 220062007 12200732323233ccc 1在等比数列的求和公式中，当公比q1 时，适用公式Sn q qa n 1 )1( 1 ，且要注意n 表示项 数；当 q1 时，适用公式Snna1；若 q 的范围未确定时，应对q1 和 q1 讨论求和 归纳小结 2在等比数列中，若公比q 0 且 q1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或 最小项 3若有四个
29、数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地 设这四个数，一般是设为xd， x，xd， x dx 2 )( 再依题意列出方程求x、d 即可 4a1与 q 是等比数列 an中最活跃的两个基本量 第 4 课时等差数列和等比数列的综合应用 1等差数列的常用性质： m， n，p，r N *，若 m np r ，则有 an 是等差数列，则 akn (k N * ，k 为常数 ) 是数列 Sn，S2nSn，S3nS2n构成数列 2在等差数列中，求Sn的最大 ( 小 )值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正 ( 负) 值或 0，而它后面的各项皆取负( 正) 值 a1 0 ，
30、d 0 时，解不等式组可解得 Sn达到最小值时n 的值 3等比数列的常用性质： m， n，p，r N *，若 m np r ，则有 a n 是等比数列，则a 2 n 、 n a 1 是数列 若 Sn0，则 Sn，S2nSn，S3nS2n构成数列 例 1.是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件： a bc6 a 、 b、c 成等差数列 将 a、b、c 适当排列后成等比数列 解： 设存在这样的三位数a，b，c 由 abc6， 2ba c 得： b2，ac 4 若 b 为等比中项，则ac4， a c2 与题设 ac相矛盾 若 a 为等比中项，则a 22c，则 ac2( 舍去
31、 ) 或 a 4，c 8 若 c 为等比中项，则c 22a，解得 ca2( 舍去 ) 或 c 4，a8 存在着满足条件的三个数：4，2，8 或 8，2， 4 变式训练1. 若 a、 b、c 成等差数列，b、c、d 成等比数列， 1 1 1 , , c d e 成等差数列，则a、c、e 成（） A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D以上答案都不是 答案： B。解析：由2, 2 ac bacb，由 2 2 2 , c cbdd ac ，由 211 , dce 典型例题 基础过关 2 2 , acce cae cce ，即, ,a c e成等比数列。 例 2.已知公差大于0的等差数列
32、 na 1 满足 a2a4 a4a6a6a21， a2， a4，a8依次成等比数列， 求数列 an 的通项公式an 解： 设 na 1 的公差为 d(d 0) ，由 a2，a4，a8成等比数列可知 2 1 a ， 4 1 a ， 8 1 a 也成等比数列， ( 4 1 a ) 2 2 1 a 8 1 a ( 1 1 a 3d) 2( 1 1 a d)( 1 1 a 7d) 化简得 d 2 1a d ， 1 1 a d 又 a2a4 a4a6 a6a21 化简为 2 1 a 4 1 a 6 1 a 642 1 aaa 3 4 1 a 62 1 aa 4 1 a 2 1 a 6 1 a 3，即 (
33、 1 1 a d)( 1 1 a 5d)3 2d6d3 d 2 1 ， 1 1 a 2 1 na 1 1 1 a (n 1)d 2 n an n 2 变式训练2. 已知 1 1 1 , a b c 成等差数列，求证：, bc ac ab abc 也成等差数列。 解析： 由 1 1 1 , a b c 成等差数列，则 211 ,2(),acb ac bac 22222 ()()()()2()bcabbcca abbccaabb acacacac acacacacacb 即, bc ac ab abc 成等差数列。 例 3. 已知 ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c 依次成等
34、比数列求 证： ABC是等边三角形 解： 由 2BAC，且 ABC180， B60，由a、b、c 成等比数列，有b 2 ac cosB ac bca 2 222 ac acca 2 22 2 1 得(a c) 20， a c ABC 为等边三角形 变式训练3. 若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且 103cba，则a= （） A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案： D. 解析：依题意有 2 2 , , 310. acb bca abc 4, 2, 8. a b c 例 4.数列 an的前 n 项和 Sn，且 a11，an1 3 1 Sn，n1，2，3 求： a 2
35、、a3、a4的值及 an 的通项公式； a2a4a6 a2n的值 . 解析： (1) 由 a11，an1 3 1 Sn，n1，2，3，得 a2 3 1 S1 3 1 a1 3 1 ， a3 3 1 S2 3 1 (a1 a2) 9 4 ，a4 3 1 S3 3 1 (a1a2a3) 27 16 由 an1an 3 1 (SnSn1) 3 1 an(n2)，得 an1 3 4 an(n2)，又 a2 3 1 ，an 3 1 ( 3 4 ) n 2(n2) a n 通项公式为an 2) 3 4 ( 3 1 11 2 n n n (2) 由(1) 可知 a2、a4、a2n是首项为 3 1 ，公比为
36、( 3 4 ) 2，项数为 n 的等比数列 . a2a4a6 a2n 3 1 2 2 ) 3 4 (1 ) 3 4 (1 n 7 3 ( 3 4 ) 2n1 变式训练4. 设数列 n a的前n项的和 1412 2 333 n nn Sa，3 ,2 , 1n 求首项 1 a与通项 n a。 解析： （I ） 2 111 412 2 333 aSa，解得： 1 2a 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa 1 1 242 nn nn aa 所以数列 2 n n a 是公比为 4 的等比数列 所以： 11 1 224 nn n aa 得： 42 nn n a （其中 n 为
37、正整数） 1在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差 （或等比）时，可用性质：m 、n、 p、r N*，若m npr，则 amanapar（或 aman apar）进行解答 2若 a、b、c 成等差（或等比）数列，则有2bac（或 b 2ac） 归纳小结 3遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和 等于 180这一性质 4在涉及an与 Sn相关式子中用Sn1和 Sn的关系表示an时应该注意“ n2”这个特点 第 5 课时数列求和 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1等差数列的前n 项和公式： Sn 2等比数列的前n
38、 项和公式： 当 q1 时， Sn 当 q1 时， Sn 3倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有 公因子可提的数列求和 4错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 5裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列 例 1. 已知数列： 1， 2 1 1， 4 1 2 1 1， 8 1 4 1 2 1 1， 1 2 1 4 1 2 1 1 n ，求它的前 n 项的和 Sn 解： an1 2 1 4 1 1 2 1 n n n 2 1 12 2 1 1 2 1 1 an2 1 2 1 n 则原数列可以表示为： (2 1) ， 2 1
39、 2， 2 2 1 2， 3 2 1 2， 1 2 1 2 n 前 n项和 Sn(2 1) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n 2n 12 2 1 2 1 2 1 1 n 2n 2 1 1 2 1 1 n 2n2 n 2 1 1 1 2 1 n 2n2 变式训练1. 数列, 16 1 4 , 8 1 3 , 4 1 2, 2 1 1前 n 项的和为（） A 22 1 2 nn n B1 22 1 2 nn n 典型例题 基础过关 C 22 1 2 nn n D 22 1 2 1 nn n 答案 :B。解析： 2 111(1)1 12341 22222 n nn n n Sn 例 2
40、.求 Sn1 21 1 321 1 n.321 1 解： an n321 1 ) 1( 2 nn 2( n 1 1 1 n ) Sn2(1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 1 n ) 1 2 n n 变式训练2：数列 an的通项公式是an 1 1 nn ，若前 n 项之和为10，则项数 n 为（） A 11 B99 C120 D121 解： C .a n 1 1 nn nn1， Sn11n，由11n10，1n 11， n 11 例 3. 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn)() 2 1 ( *2 Nn an ，bnan2 n ，求数列 bn的 前 n 项和 Tn 解： 取 n
41、1，则 a1 21 ) 2 1 ( a a11 又 Sn 2 )( 1naan 可得： 2 )( 1naan 2 ) 2 1 ( na an1(nN *) an2n1 Tn1232 2523 (2n 1)2n 2Tn1 2 2323524 (2n1)2n1 得： Tn 22 32425 2n1(2n 1)2n1 2 21 )21(2 13n (2n1)2 n1 6(1 n)2n 2 Tn6(n 1)2 n2 变式训练3. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn2n 2， b n为等比数列，且a1b1，b2(a2a1) b1. 求数列 an和 bn 通项公式 设 Cn n n b a ，求数列 C
42、n 前 n 项和 Tn 解： （1）当 n1 时 a1S12，当 n2时， anSnSn14n 2，故 an 通项公式为an 4n 2，即 an是 a12， d4 的等差数列，设bn的公比为q，则 b1qdb1，d4， q 4 1 ， 故 bnb1q n1 1 4 2 n （2）Cn n n b a 1 4) 12( 14 2 24n n n n TnC1C2 Cn13454 2（ 2n1）4n1 4Tn1434 2543（ 2n3）4n n（ 2n1） 4n 两式相减 3Tn54)56( 3 1n n Tn54)56( 9 1 n n 例 4. 求 Sn1! 22！33！ nn！ 解： an
43、nn! (n 1)! n! Sn(n 1)! 1! (n 1)! 1 变式训练4. 以数列 an 的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、 an1) 均在一次函数y2xk 的图 象上，数列 bn 满足条件： bnan1an，且 b10 求证：数列 bn 为等比数列 设数列 an、 bn 的前 n 项和分别为Sn、Tn，若 S6 T4，S5 9，求 k 的值 解： 由题意， an12ank bnan1an2an kanank bn1an1k2an2k2bn b10， n n b b 1 2 b n 是公比为2 的等比数列 由知 anbnk bnb12 n1 Tn) 12( 21 )21( 1 1n n b b S n a1 a2 an(b1 b2 bn)nk Tnnkb1(2 n1)nk 9 5 46 S TS 9531 15663 1 11 kb bkb 解得： k8 1求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然 数的方幂和， 从而可用基本求和公式；其二是消项， 把较复杂的数列求和转化为求不多的几 项的和 2对通项中含有( 1) n 的数列，求前n 项