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1、- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 有答案 ) 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构 造全等三角形 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“旋转”法 构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模 式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分 线
2、上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离 角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特 定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类 的题目 6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊
3、方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形 面积的知识解答 - 2 - D C B A E D F C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、已知，如图ABC中， AB=5，AC=3 ，则中线AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDC B A 应用： 1 、 （ 09崇 文 二 模 ） 以 ABC 的 两 边 AB、AC 为 腰 分 别 向 外 作
4、 等 腰 Rt ABD和 等 腰 Rt ACE ， 90 ,BADCAE 连接 DE，M、N分别是 BC、DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系 （1）如图当 ABC 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是， 线段 AM与DE的数量关系是； （2）将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE. ED CB A - 5 - O E D CB A F E D CB A 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB
5、于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 应用： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （ 1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、 CE 相交于点F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系； （ 2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是 否仍然成立？若成立，请证明；若不
6、成立，请说明理由。 五、旋转 例 1 正方形ABCD中， E 为 BC 上的一点， F 为 CD上的一点，BE+DF=EF ， 求 EAF的 E D G F C B A (第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 6 - N M E F A C B A 度数 . 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。 （1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。 （2）若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。 0 120BDC， 以例3 如 图 ，ABC是 边 长 为3 的 等 边
7、 三 角 形 ，BDC是 等 腰 三 角 形 ， 且 D为顶点做一个 0 60角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为； B C D N M A 应用： 1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN，MBN绕 B点旋转，它的两边分别交 ADDC，（或它们的延长线）于EF， 当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予 证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （图 1
8、） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N - 7 - 2、（西城09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD,使 P、D两点落在直线AB的两侧 . (1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 3 、 在 等 边ABC的 两 边AB 、 AC所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M 、 N ， D为ABC外 一 点 ， 且 60MDN,120BDC,BD=DC. 探究
9、：当 M、N 分别在直线AB、AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的 数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （ I） 如图 1，当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM=DN时，BM 、 NC、 MN 之间的数量关系是； 此时 L Q ； （ II）如图 2，点 M、N 边 AB、 AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜 想并加以证明； （ III ） 如图 3，当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 -
10、 8 - D C B A E D F C B A 例 1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中， AB=5 ，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _. 解：延长AD至 E使 AE 2AD ，连 BE ，由三角形性质知 AB-BE BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA - 12 - O E D CB A 例 2 如图，在 ABC的边上取两点D、E，且 BD=CE ，求证： AB+ACAD+AE. 证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN. BD=CE, DM=EM, DMNEMA(SAS), DN=A
11、E, 同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD ，DC+AE =AC 证明(角平分线在三种添辅助线, 计算数值法 )B=60 度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE= COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF. 又 A
12、O=AO; OAE= OAF .则OAEOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度. 则COF=AOC-AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD= OCF. 故OCDOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. - 13 - F E D CB A 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . 解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD ，DC DG垂直平分
13、 BC，故 BD DC 由于 AD平分 BAC ， DEAB于 E，DF AC于 F，故有 ED DF 故 RTDBE RTDFC （HL ） 故有 BE CF 。 AB+AC 2AE AE （ a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用： 1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （ 1）如图，在ABC 中， ACB 是直角， B=60， AD、CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、 CE 相交于点F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系； （ 2）如图，在ABC 中，
14、如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是 否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中， E为 BC上的一点， F为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . ABG 证明：将三角形ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG ， E D G F C B A (第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 14 - 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF=GAE
15、=BAE+ GAB= BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以 EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。 (1) 当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。 (2) 若 AB=2 ，求四边形DECF的面积。 解： ( 计算数值法 ) （1）连接 DC ， D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，故有CD AB ，CD DA CD平分 BCA 90， ECD DCA 45 由于 DM DN ，有 EDN 90 由于 CDAB ，有 CD A90 从而 CDE FD A 故有 CDE ADF （ASA ）
16、 故有 DE=DF （2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1 例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形， 且 0 120BDC，以 D为顶点做一个 0 60 角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为； 解： (图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F，在线段 CF 上 取点 E，使 CE BM ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120 ， MBD= MBC+ DBC=60 +30 =90 ， DCE=180 -ACD=180 -ABD=90
17、， 又 BM=CE ， BD=CD ， CDE BDM ， CDE= BDM ，DE=DM ， NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 -60 =60 ， - 15 - 在 DMN 和 DEN 中， DM=DE MDN= EDN=60 DN=DN DMN DEN ， MN=NE 在 DMA 和 DEF 中， DM=DE MDA=60 - MDB=60 - CDE= EDF ( CDE= BDM) DAM= DFE=30 DMN DEN (AAS) ， MA=FE AMN的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用： 1、已知四边形ABCD中，
18、ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN，MBN绕 B点旋转，它的两边分别交 ADDC，（或它们的延长线）于EF， 当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF 当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予 证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 2、（西城09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD,使 P、D两点落在直线AB的两侧 . (1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它
19、条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . （图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N - 16 - 3 、 在 等 边ABC的 两 边AB 、 AC所 在 直 线 上 分 别 有 两 点M 、 N ， D为ABC外 一 点 ， 且 60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线AB、AC 上移动时， BM 、NC、MN 之间的 数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （ I） 如图 1，当点 M、 N 边 AB、 AC 上，且 DM=DN时，BM 、 NC、 MN 之间的数量关系是； 此时 L Q ； （ II）如图 2，点 M、N 边 AB、 AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜 想并加以证明； （ III ） 如图 3，当 M、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）